¡Descarga Funciones Trigonométricas: Conceptos, Gráficas y Aplicaciones y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
funciones trigonométricas
Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x. Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno , coseno y tangente de un ángulo. Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente , es decir: El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa. La tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.
- Algunas observaciones y propiedades.
- En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el concepto de "radian".
- Como c > a y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, lo valores de a y b pueden ser positivos o negativos:
En la figura 1, tanto "a" como "b" son positivos ("a" se halla a la derecha, "b" está arriba). En la figura 2, "a" es positivo, y "b" es negativo. En la figura 3, ambos son negativos. En la figura 4, "a" es negativo y "b" positivo.
- Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del seno y coseno estos valores están comprendidos entre -1 y +1. Por contra, la tangente de un ángulo puede tener cualquier valor.
- Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental: lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales como:
- La circunferencia trigonométrica. Se trata de una circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y la tangente. Seguir el vínculo para conocer más sobre esta circunferencia.
- La función seno. Por y = sin x (o castellanizado y = sen x ) se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniéndose en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida. Por otra parte, se considera a x positivo cuando partiendo de las "3 horas" -siga imaginando el punto dando vueltas como si fuera un reloj- ha girado en sentido contrario al normal del reloj, y se considera a x negativo cuando partiendo de esa misma posición hubiera girado en sentido del reloj.
Observe cómo la función y = cos x es positiva en los intervalos [0, /2] y [3 /2, 2 ], y es negativa en el intervalo [ /2, 3 /2], asimismo se anula en los puntos x= /2, x =3 /2.
- La función tangente. Por y = tg x (también denotado tan x ) se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades ) en los puntos x = k /2, para k entero (positivo o negativo).
- Gráfica de la función y = tg x. Observe cómo la función y = tg x es positiva en el intervalo [0, /2], y es negativa en el intervalo [- /2, 0], se anula en los puntos x=0, x= , x =2 ... (al igual que el seno). En los punto x = k /2 tiene un tipo específico de discontinuidad: tendiendo hacia - por la derecha de ellos, y tendiendo hacia + por la izquierda.
funciones trigonométricas elementales de ángulos agudos
- Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que: 0<sin(α)<10<cos(α)<
- A partir del teorema de pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica: sin2(α)+cos2(α)=
IDENTIDADES DE TRANSFORMACIÓN DE OPERACIONES
PASO DE SUMA A PRODUCTO
sen α + sen β = 2 sen [(α + β) / 2] cos [(α – β) / 2] sen α – sen β = 2 cos [(α + β) / 2] sen [(α – β) / 2] cos α + cos β = 2 cos [(α + β) / 2] cos [(α – β) / 2] cos α – cos β = – 2 sen [(α + β) / 2] sen [(α – β) / 2] PASO DE PRODUCTO A SUMA sen α · cos β = 1/2 [sen (α + β) + cos (α – β)] cos α · sen β = 1/2 [cos (α + β) + cos (α – β)] cos α · cos β = 1/2 [cos (α + β) + cos (α – β) ] sen α · sen β = – 1/2 [sen (α + β) – cos (α – β)]
aplicaciones a los triángulos rectángulos
TÉCNICA DE LA OBSERVACIÓN DIRECTA Se utiliza para calcular alturas de objetos de pie accesible como edificios, farolas, árboles, postes de luz y también para calcular distancias entre puntos, uno de ellos inaccesible como anchura de ríos, distancia de la costa a un barco, etc… La distancia “d” se mide sobre el terreno, porque podemos llegar al pie (punto B). Para saber la amplitud del ángulo “α” utilizamos el teodolito. CÁLCULO DE LA ALTURA USANDO LA SOMBRA Podemos averiguar la altura de un objeto midiendo la sombra que proyecta, por semejanza de triángulos. Colocamos un banderín o palo, de altura conocida, y medimos su sombra. A continuación medimos la sombra del objeto y, por semejanza, calculamos su altura. PENDIENTE DE UNA CARRETERA Esta señal de tráfico corresponde a la pendiente de una carretera y nos indica que de cada 100 m que recorremos sobre la horizontal subimos (bajamos) 27 m. Matemáticamente esta razón es la tangente del ángulo que forma la carretera con la horizontal. Como es más fácil saber la distancia recorrida, a veces, se usa el seno del ángulo en lugar de la tangente. TÉCNICA DE LA DOBLE OBSERVACIÓN Se utiliza para calcular alturas de objetos de pie inaccesible como montañas, faros, torres eléctricas, altura de globos, objetos en la orilla opuesta de un rio, etc… Nos situamos en el punto “P” (en la horizontal del pie inaccesible) y con el teodolito medimos el ángulo “β”. Avanzamos una distancia conocida “d” hasta el punto “Q” y medimos el ángulo “α”.
Con estos datos podemos averiguar la altura del objeto sin necesidad de llegar hasta el pie de éste. En los dos casos siguientes suponemos que α > β
Funciones trigonométricas de cualquier ángulo
Para determinar las razones trigonométricas de cualquier tipo de ánguloutilizaremos unacircunferencia goniométrica. Circunferencia goniométrica Circunferencia cuyo radio es la unidad y se encuentra centrada en el origen de un sistema de coordenadas. A cada uno de suspuntos P(x,y) lescorresponden un único anguloα definido entre el semieje positivo de las abcisas y el segmentoOP. Su intersección con los ejes de coordenas la divide en cuatro partes denominadas cuadrantes. La utilización de una circunferencia goniométrica no es casual, ya que dado que el radio es la unidad: sinα=yr=ycosα=xr=x Por tanto, las razones trigonométricas de cualquier ángulo: Razones Razones inversas sinα=y cscα=1y
Variaciones con repetición n elementos
