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Consideremos el triángulo rectángulo de ángulos A;B y C y lados a,b y c
hipotenusa C
a b Cateto opuesto
cateto adyacente
B c A
Cateto adyacente
Cateto opuesto
Para el ángulo B Para el ángulo C
SenoB =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑏
𝑎
SenoC =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐
𝑎
CosenoB =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐
𝑎
CosenoC =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑏
𝑎
TangenteB =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑏
𝑐
TangenteC =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐
𝑏
cotangenteB=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐
𝑏
cotangenteC=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑏
𝑐
secanteB=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎
𝑐
secanteC=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎
𝑏
CosecanteB=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑎
𝑏
CosecanteC=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑎
𝑐
Ejemplo: Dado el triángulo rectángulo hallar las funciones trigonométricas.
C
b= hipotenusa
a
B
c A
Para A Para C
Sen A=
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
𝑎
𝑏
SenC =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
𝑐
𝑏
Cos A =
𝐶𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
ℎ𝑖𝑝
𝑐
𝑏
CosC =
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
ℎ𝑖𝑝
𝑎
𝑏
Tan A =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
𝑎
𝑐
TanC =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
𝑐
𝑎
Cot A =
𝑐 𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐
𝑎
Cot C =
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑎
𝑐
SecA =
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
𝑏
𝑐
SecC =
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
𝑏
𝑎
Cosec A =
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑏
𝑎
CosecC=
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑏
𝑐
Ejemplo: Dado el triángulo rectángulo hallar las funciones trigonométricas.
C
b= 10
a= x
B c= y A
Para A Para C
SenA =
𝑎
𝑏
𝑥
10
SenC =
𝑐
𝑏
𝑦
10
CosA =
𝑐
𝑏
𝑦
10
CosC =
𝑎
𝑏
𝑥
10
TanA =
𝑎
𝑐
𝑥
𝑦
TanC =
𝑐
𝑎
𝑦
𝑥
CotA =
𝑐
𝑎
𝑦
𝑥
CotC =
𝑎
𝑐
𝑥
𝑦
SecA =
𝑏
𝑐
10
𝑦
Sec C =
𝑏
𝑎
10
𝑥
CosecA=
𝑏
𝑎
10
𝑥
CosecC =
𝑏
𝑐
10
𝑦
“En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de sus catetos”
F d =5 d
2
= e
2
2
e=3 5
2
2
2
D f=4 E 25 = 9 + 16
f = 19,
Para J
SenJ =
𝑗
𝑔
16
25
Ejemplo. Hallar las funciones trigonométricas si senA =
4
5
C
a= 4 b= 5
B A
c
Ejemplo. Hallar las funciones trigonométricas si Cos M =
17
35
d=35 F
El seno de un ángulo ∝ es la longitud del segmento vertical que representa el cateto
opuesto al ángulo ∝ del triángulo rectángulo que tiene hipotenusa igual al radio (1)
∝ en el I cuadrante ∝ en el II cuadrante.
Y Y
II I Sen ∝ (+) II I
∝ X ∝ X
III IV III IV
∝ en el III cuadrante ∝ en el IV cuadrante.
Y Y
II I Sen ∝ (−) II I
X X
∝ III IV III ∝ IV
Ejemplo:
El seno tiene signo (+) cuando el segmento esta hacia arriba y negativo cuando es hacia abajo.
El seno ∝ no puede ser mayor que 1 ni menor que - 1
El coseno de un ángulo ∝ es la longitud del segmento horizontal que representa el cateto
adyacente al ángulo ∝ del triángulo rectángulo que tiene hipotenusa igual al radio ( r=1)
∝ en el I cuadrante ∝ en el II cuadrante.
Y Y
II I II I
∝ X ∝ X
III IV III IV
Cos∝ (+) Cos∝ (−)
∝ en el III cuadrante ∝ en el IV cuadrante.
Y Y
II I II I
X X
∝ III IV III ∝ IV
Cos∝ (−) Cos∝ (+)
Ejemplo:
El coseno tiene signo positivo cuando el segmento que la representa está a la derecha sobre el eje
X y negativo si está a la izquierda
La tangente de un ángulo ∝ es la longitud de un segmento vertical que coincide con la
tangente geométrica a la circunferencia en el origen de arcos, trazando desde el eje X hasta la
prolongación del radio.
Y Y
II I II I
X X
∝ III IV III ∝ IV
Cot∝ (+) Cot∝ (−)
Ejemplo:
Cot8° =
1
𝑡𝑎𝑛 8 °
Dado que la cotangente es un segmento horizontal, es positivo si esta hacia la derecha y negativa
si esta hacia la izquierda.
La secante de un ángulo ∝ es igual a la longitud del segmento, que coincide con el eje
X, trazado desde el centro del círculo hasta la intersección con la tangente geométrica a la
circunferencia en el punto de intersección con el radio para el ángulo ∝.
∝ en el I cuadrante ∝ en el II cuadrante.
Y Y
II I II I
∝ X ∝ X
III IV III IV
Sec∝ (+) Sec∝ (−)
∝ en el III cuadrante ∝ en el IV cuadrante.
Y Y
II I II I
X X
∝ III IV III ∝ IV
Sec∝ (−) Sec∝ (+)
Ejemplo:
La secante es siempre mayor o igual que uno y menor o igual que – 1.
Tiene signo positivo si esta hacia la derecha y negativo si esta hacia la izquierda.
La cosecante de un ángulo ∝ es igual a la longitud del segmento, que coincide con el
eje Y, trazando desde el centro del círculo hasta la intersección con la tangente geométrica a la
circunferencia en el punto de intersección con el radio para el ángulo ∝
∝ en el I cuadrante ∝ en el II cuadrante.
Y Y
II I Cosec ∝ (+) II I
∝ X ∝ X
III IV III IV
∝ en el III cuadrante ∝ en el IV cuadrante.
Y Y
II I Cosec ∝ (−) II I
X X
∝ III IV III ∝ IV
Ejemplo:
Cosec80° =
1
𝑠𝑒𝑛 80 °
La cosecante es siempre mayor o igual a 1 y menor o igual a - 1. Tiene digno positivo si está hacia
arriba y negativo si esta hacia abajo.
Ejemplo: Si Sec∝= −
5
3
Hallar las demás funciones trigonométricas (II)
2
2
2
4 ∝ cat
2
Cat= 4
Grafica de Y = senX
x 0 ° 30 ° 60 ° 90 ° 120 ° 150 ° 180 ° 210 ° 240 ° 270 ° 300 ° 330 ° 360 °
y 0 0,5 0,87 1 0,87 0,5 0 - 0,5 -
1 Y
X
I)Dados los siguientes triángulos hallar las funciones trigonométricas para los ángulos agudos.
a) 3 b)
c) 5 d)
II.- Dadas las funciones trigonométricas, hallar las demás funciones.
a) CosN = −
3
5
b) Sen ∝=
1
2
c) SecM = −
5
4
(II)
Grafica de Y =CosX
x 0 ° 30 ° 60 ° 90 ° 120 ° 150 ° 180 ° 210 ° 240 ° 270 ° 300 ° 330 ° 360 °
y 1 0,
Y
X
