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FIGURAS PLANAS
1. POLÍGONOS
Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos. a. Elementos de un polígono :
- Lados: Son los segmentos que lo limitan.
- Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados.
- Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados consecutivos.
- Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos.
b. Suma de ángulos interiores de un polígono = (n − 2) · 180°
c. Número de diagonales de un polígono = n · (n − 3) : 2
Si n es el número de lados de un polígono.
d) RELACIÓN DE EULER.
En todos los poliedros convexos se verifica la relación aritmética:
caras + vértices = aristas + 2 C + V = A + 2
expresión conocida como relación de Euler, matemático suizo del siglo XVIII
En polígonos regulares también distinguimos los siguientes elementos:
- Centro : Es un punto equidistante de todos los ángulos y lados.
- Apotema : Es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera de sus lados.
- Radio : Es el segmento que une el centro del polígono con cualquiera de sus vértices.
- Ángulo central : es el formado por dos radios que parten del centro a los dos extremos de un mismo lado.
e) Semejanza de polígonos
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales.
- (^) Endecágono : Tienen 11 lados. - (^) Dodecágono : Tienen 12 lados. - (^) Tridecágono: Tienen 13 lados. - (^) Tetradecágono : Tienen 14 lados. - (^) Pentadecágono : Tienen 15 lados. **b) Según sus ángulos:
- Convexos : -** Todos sus ángulos menores que 180°. - Todas sus diagonales son interiores. - Cóncavos : - Si un ángulo mide más de 180°. - Si una de sus diagonales es exterior.
2. TRIÁNGULO
2.1. CLASIFICACIÓN
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
a) Por las longitudes de sus lados
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
- Como triángulo equilátero , cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados).
- Como triángulo isósceles , si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. ( Tales de Mileto).
- Como triángulo escaleno , si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
Equilátero Isósceles
Escaleno
b) Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
- Triángulo rectángulo : si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
- (^) Triángulo oblicuángulo : cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
- Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°)
- Triángulo acutángulo : cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
Oblicuángulos
c) Clasificación según los lados y los ángulos
Los triángulos rectángulos pueden ser:
obtusángulo
d) Propiedades
- Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
- El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).
- (^) Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triangulares.
- Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n-2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.
- En geometría euclidiana 6 la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180º.
Otras propiedades
- La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
- El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.
- Los triángulos ( polígonos de tres lados ) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados.
e) Centros de un triángulo
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:
- Baricentro o Centroide : es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad.
- Circuncentro : es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.
- Incentro : es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de losángulos.
- (^) Ortocentro : es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.
- Exincentros son los centros de las circunferencias exinscritas. Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.
El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.
f) Elementos
■ Mediana
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo se llama mediana.
Algunas propiedades de las medianas son:
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro y radio que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.
- En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
- En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
- En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.
Propiedad mediatriz
Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.
Bisectriz
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.
Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. 13
Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.
CABO
La distancia desde un vértice el triángulo hasta los puntos de intersección de la circunferencia inscrita en el triángulo con los lados que se cruzan en dicho vértice por potencia de un punto es la misma por lo que las longitudes de los lados de un triángulo son a=x+y, b=y+z, c=z+x, a esta forma de denotar a los lados de un triángulo se le conoce como Transformación de Ravi , en un triángulo rectángulo los lados son x+r, r+y, y+x con r el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Alturas y ortocentro
Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas. Estas 3 alturas se cortan en un punto único (son concurrentes ), llamado ortocentro del triángulo.
Propiedades
- Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.
- Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
CBA
Alturas por longitud de sus lados
Para un triángulo Δ ABC cualquiera, conociendo la longitud de sus lados ( a , b , c ), se pueden calcular las respectivas longitudes de las alturas ( ha , hb , hc ) aplicando las siguientes fórmulas:
Donde ha es la altura correspondiente al lado a , hb es la altura correspondiente al lado b , h (^) c es la altura correspondiente al lado c y el término es:
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Recta de Euler de un triángulo
Los tres puntos , y están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:
Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos , y están en una misma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.
Área con la fórmula de Herón
Conociendo la longitud de los tres lados a , b y c , se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo. Primero se calcula el semiperímetro s y luego se aplica la fórmula de Herón, ( no se requiere conocer la altura ).
Si se aplica la Transformación de Ravi a los lados del triángulo tenemos que los lados son x+y, y+z, z+x y el área del triángulo es
Área con la longitud de sus lados
Conociendo la longitud de los tres lados a , b y c , se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo, ( éstas fórmulas no requieren pre calcular el semiperímetro ni conocer la altura ).
TEOREMA DE THALES
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos :
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
Criterios de Semejanza
- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
- Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
- Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
- El polígono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia inscrita.
- El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados del polígono circunscrito.
- La apotema del polígono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.
- Ángulos interiores concéntricos de las apotemas α = 360º /n, siendo n el nº de lados
5. Lado de un triángulo equilátero inscrito
6. Lado de un cuadrado inscrito
7. Apotema del hexágono inscrito
8. EL CIRCULO
Segmentos relevantes
Radio (R) al segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral, y por extensión también se dice de la longitud de éste.
Diámetro (D) al segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º.
Cuerda (C) : es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su centro. Una cuerda define un arco.
Segmento meridiano : línea que hace parte y sobresale del círculo.
C
