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Algoritmos para el análisis de una red PERT-CPM. Algoritmo matricial de Zaderenko. Técnica PERT: Probabilidad terminación proyecto en plazo. Diagrama de Gantt.
Tipo: Monografías, Ensayos
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Instrumentos Estadísticos Avanzados Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
Estructura y análisis de una red de actividades Algoritmos para el análisis de una red PERT. Algoritmo matricial de Zaderenko. Técnica PERT: Probabilidad terminación proyecto en plazo. Diagrama de Gantt. Diagrama de red.
El desarrollo del método PERT se inició en 1957 cuando la Marina de los Estados Unidos se enfrentó a la problemática de coordinación y control que surgió en la realización del proyecto de submarinos atómicos armados con proyectiles Polaris (proyecto Polaris), teniendo que mantener relacón con 250 contratistas directos y más de 9000 subcontratistas, además de un número elevado de agencias gubernamentales.
El método PERT, igual que su predecesor, el diagrama de Gantt, parte de la descomposición del proyecto en una serie de actividades u obras parciales, donde la actividad se entiende como la ejecución de una tarea, que exige para su realización la utilización de recursos (mano de obra, maquinaría, materiales, etc.)
Definido el concepto de actividad, se establece el concepto de suceso. Un suceso es un acontecimiento, un punto en el tiempo, una fecha en el calendario. El suceso no consume recursos, sólo indica el principio o el fin de una actividad o de un conjunto de actividades.
Para representar las diferentes actividades en que se descompone un proyecto, así como sus correspondientes sucesos, se utiliza una estructura de grafo. Los arcos del grafo representan las actividades, y los vértices, los sucesos. Hay que familiarizarse con la idea de que la longitud del arco no tiene por qué guardar relación con el tiempo previsto para ejecutar la actividad que representa.
Si las actividades son A, B, C, y D. Para poder iniciar las actividades B, C y D es necesario que se haya finalizado la actividad A. El vértice que representa el fin de la actividad A, a su vez, es el comienzo de la actividad B.
Una vez descompuesto el proyecto en actividades, la fase siguiente del método PERT consiste en establecer las prelaciones existentes entre las diferentes actividades. Estas prelaciones indican el orden en que deben ejecutarse dichas actividades. Por razones de tipo técnico, económico o jurídico, las diferentes actividades que constituyen un proyecto deben ejecutarse según un cierto orden.
El método PERT (Proyect Evaluation and Review Techniques) es un algoritmo basado en la teoría de redes diseñado para facilitar la planificación de proyectos.
El resultado final de la aplicación del algoritmo PERT será un cronograma para el proyecto, donde se podrá conocer la duración total del mismo y la clasificación de actividades según su criticidad.
El algoritmo PERT se desarrolla mediante intervalos probabilisticos, considerando tiempos optimistas, probables y pesimistas, lo que lo diferencia del método CPM (método de la ruta crítica) que supone tiempos determinísticos.
En sus inicios la técnica PERT se aplicó para evaluar la programación de proyectos de investigación y desarrollo, actualmente también se utiliza para controlar el avance de otros proyectos como: programas de construcción, preparación de presupuestos, campañas políticas, lanzamientos de nuevos productos, etc.
Ayudar a la planeación y control de un proyecto.
Determinar la probabilidad de cumplir con fechas de entrega específicas.
Identificar aquellas actividades que es más probable que se conviertan en cuellos de botella.
Calificación de actividades y análisis de tiempos.
Evaluación del efecto de los cambios en el proyecto.
Evaluación del efecto al desviarse de lo programado.
Ventajas MÉTODO PERT
Método sencillo, idónedo para proyectos complejos. Proporciona varios planes de ejecición.
Desventajas MÉTODO PERT
Solo admite relaciones de tipo final/comienzo, con demora nula. Se utiliza un método de representación gráfica como complemento.
Cada actividad se debe representar sí y sólo sí por un ramal o arco.
Los vértices del grafo, representados por circunferencias también llamados nodos, son los sucesos o eventos, puntos en el tiempo que marca la terminación de una o más actividades y el comienzo de otras u otras. A estos nodos se incorporan números que indican las fechas en términos relativos. Las fechas en los nodos son: ♦ Número asignado a cada nodo o número de identificación de la actividad. ♦ T 1 =Ocurrencia temprana (Early), momento o punto en el tiempo donde se puede dar la actividad.
♦ T 2 =Ocurrencia tardía o más lejana (Last), momento o punto en el tiempo más tardío que puede ocurrir la actividad. ♦ Ht =Holgura total de que se dispone para la ocurrencia de una actividad
Cada actividad debe estar identificada por dos nodos distintos. En el caso de existir actividades concurrentes (que se inicien al mismo tiempo, o bien que el inicio de una actividad dependa de la finalización de dos o más actividades distintas) se debe recurrir a actividades ficticias (representadas por arcos punteados que no consumen ni tiempo ni recursos).
Restricciones de tipo potencial, se suponen para el que las fechas más temprana y más tardía coinciden y son iguales a la fecha mencionada que una actividad o más no pueden comenzar antes de una determinada fecha, lo que se indica con un suceso ficticio. Este suceso ficticio se liga a las actividades correspondientes mediante actividades ficticias.
PASO 1: Identificar todas las actividades que intervienen en el proyecto, sus interrelaciones, sucesiones, regla de precedencia. Con la inclusión de cada actividad al proyecto se debe cuestionar respecto a que actividades preceden a esta y cual siguen inmediatamente, además, deberán relacionarse los tiempos estimados para el desarrollo de cada actividad.
PASO 2: ASIGNACIÓN DE TIEMPOS A LAS ACTIVIDADES En esta fase se produce la principal diferencia con el método CPM. La duración de una actividad no puede fijarse con exactitud. Depende de circunstancias aleatorias. Este problema es abordado por el método PERT considerando tres estimaciones de tiempo para cada actividad:
∗ Tiempo optimista (a): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma perfecta. En la práctica suele acudirse al tiempo récord de desarrollo de una actividad, es decir, el mínimo tiempo en que una actividad de esas características haya sido ejecutada.
∗ Tiempo más probable (m): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma normal. En la práctica suele tomarse como el tiempo más frecuente de ejecución de una actividad de iguales características.
∗ Tiempo pesimista (b): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma deficiente, o cuando se materializan los riesgos de ejecución de la actividad.
Utilizando estas tres estimaciones, para determinar la ruta crítica del proyecto se acude al tiempo de duración promedio, también conocido como tiempo esperado o tiempo PERT.
Para una determinada actividad A será:
e =
a 4m b t (A) 6
Además de calcular el tiempo estimado para una actividad, deberá calcularse la varianza de cada actividad. El cálculo de esta medida de dispersión se utiliza para determinar la incertidumbre de que finalice el proyecto de acuerdo con el programa.
El cálculo de la varianza de la actividad A en el algoritmo PERT:
2 2 A
(b a) Var(A) 36
σ = =
Determinado el tiempo esperado de todas las actividades, es posible realizar el cálculo de los tres indicadores básicos para cada actividad Ai
Tiempo más temprano (Early) de un suceso T (i 1 ‐ésimo nodo)
Para calcular este indicador debe recorrerse la red de izquierda a derecha, con las consideraciones:
T (primer 1 nodo) = 0 T (nodo 1 i‐ésimo) = T (nodo 1 anterior i − 1) +t (actividade anterior)
Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con mayor valor.
Tiempo más tardío (Last) de un suceso T (i 2 ‐ésimo nodo)
Para calcular este indicador debe recorrerse la red de izquierda a derecha, con las consideraciones:
T (primer 2 nodo, de derecha a izquierda) =T (de 1 este nodo) T (nodo 2 i‐ésimo) = T (nodo 2 anterior i − 1) −t (actividade anterior)
Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con menor valor.
Cuando el grafo PERT es muy grande (muchas actividades) el cálculo de los tiempos T (Early) 1 y
T (Last 2 ) puede ser muy engorroso.
Sergio Gregory Zaderenko (1968) propuso un método matricial de cálculo de tiempos T 1 y T 2 con
aplicación para grafos grandes y pequeños.
Tiempo de Holgura H = T 2 −T 1
El tiempo de holgura es la diferencia entre el tiempo más tardío y el tiempo más temprano de un suceso. En unidades de tiempo corresponde al valor que puede tardar la ocurrencia de un suceso.
Las actividades críticas constituyen la ruta más larga que abarca el proyecto, esto es, la suma de las actividades críticas de una ruta crítica determinará la duración estimada del proyecto.
CAMINO CRÍTICO: Es el que determina la duración del proyecto y esta formado por el conjunto de actividades que determinan el camino más largo. Estas actividades tienen como característica que su holgura total es cero, se llaman actividades y sucesos críticos.
Considerando las actividades o sucesos (1, 2, 3, ... ,k) La longitud o duración del proyecto, de derecha a izquierda. en el camino crítico: t (b)e = T (b) 2 − T (a) 2 en [a −b] Duración del proyecto: μ (^) PROYECTO = t (1)e + t (2)e + t (3)e +... +t (k)e
Varianza del proyecto: σ^2 PROYECTO = σ 21 + σ 22 + σ 23 +.. .+ σ^2 k
Desviación estándar del proyecto: σPROYECTO = σ^2 PROYECTO
En el caso que se encuentren más de una ruta crítica, que existiesen dos o más caminos críticos, se deberá utilizar la distribución con tiempos de finalización con mayor varianza.
ALGORITMO DE ZADERENKO: CÁLCULO DE TIEMPOS Early / Last
Por medio de la matriz se pueden calcular los tiempos más temprano y más tardío de un proyecto, sin necesidad del diseño. Para aplicar este procedimiento se construye una matriz cuadrada con tantas filas/columnas como vértices tengan el grafo. Los elementos de la matriz tomarán como valor numérico las duraciones de las actividades que corresponden al suceso inicial indicado por el número de fila y suceso final indicado por el número de columna correspondiente a dicho elemento. A la matriz así construida, se agrega una fila en la parte inferior, donde se anotarán los tiempos Last de cada suceso identificado por la columna correspondiente, y una columna en la parte izquierda donde se registran los tiempos Early correspondiente a los sucesos indicados por las respectivas filas.
DIAGRAMA DE GANTT
El cronograma de barras o gráficos de Gantt es una herramienta gráfica cuyo objetivo es exponer el tiempo de dedicación previsto para diferentes tareas o actividades a lo largo de un tiempo total determinado.
El diagrama permite seguir el curso de cada actividad, al proporcionar información del porcentaje ejecutado en cada una de ellas, así como el grado de adelanto o retraso con respecto al plazo previsto. A pesar de esto, no indica las relaciones existentes entre actividades.
El diagrama de Gantt consiste en una representación gráfica sobre dos ejes, en el vertical se disponen las actividades del proyecto y en el horizontal se representa el tiempo, con las siguientes características:
∗ Cada actividad se representa mediante un bloque rectangular cuya longitud indica su duración, la altura carece de significado. ∗ La posición de cada bloque en el diagrama indica los instantes de inicio y finalización de las actividades a que corresponden. ∗ Los bloques correspondientes a las actividades del camino crítico acostumbran a rellenarse en otro color diferente.
CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE GANTT:
Dependencia inicio‐inicio: Se representan alineando los inicios de los bloques de las actividades predecesora y dependiente Retardos: Los retardos se representan desplazando la actividad dependiente hacia la derecha en el caso de retardos positivos y hacia la izquierda cuando los retardos son negativos.
ESQUEMA DIAGRAMA DE GANTT
Construida la red PERT cada actividad no crítica tiene asociada dos números entre paréntesis (margen libre, margen total), es decir, (Ml = T1 j − T1i − t , Mte = T2 j − T1i − t )e.
Las actividades críticas no llevan nada porque sus márgenes son nulos. Se denomina Margen de una actividad al exceso de tiempo disponible para realizar dicha actividad con relación al tiempo previsto de ejecución para la misma.
Cada actividad lleva asociada una barra de longitud igual a su duración, representando al final de cada una de ellas dos barritas que representan el margen libre de la actividad Ml = T1 j − T1i − te(barra superior) y el margen total de la actividad Mt = T2 j − T1i − te(barra inferior). Las actividades críticas no tienen estas dos barritas.
.
Camino crítico: 0 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 5 ‐ 6 ‐ 8
Actividades: B , C , E , F , H
Duración Proyecto: 49 días
En el cuadro adjunto figuran las actividades en que se descompone el lanzamiento de un nuevo producto, así como sus correspondientes tiempos de ejecución (en semanas), y las prelaciones existentes. Construir el correspondiente grafo.
Actividad Actividad Precedente Tiempo Pert A ‐‐‐‐ 2 B A 4 C B , H 1 D ‐‐‐‐ 6 E G 3 F E 5 G D 2 H G 2 I D 3 J I 4 K D 3 L J , K 5 M C , L 2
Camino crítico: 1 ‐ 3 ‐ 5 ‐ 6 ‐ 11 ‐ 12
Actividades críticas: D , I , J , L , M
Duración del proyecto: 20 semanas
CÁLCULO DE LA RED PERT: Se consideran tres indicadores.
Tiempo más temprano de un suceso T (i 1 ‐ésimo nodo) ‐ Se recorre la red de izquierda a derecha.
1 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1
T (1) 0 T (2) T (1) t (A) 0 6 6 T (3) T (1) t (B) 0 2 2 T (4) T (2) t (C) 6 3 9 T (6) T (4) t (E) 9 4 13 T (5) T (3) t (D) 2 3 5 T (7) T (5) t (F) 5 3 8 T (8) T (6) t (G) 13 6 19 T (8) T (7) t (H) 8 4 12 T (9)
= T (8) 1 + t (I)e = 19 + 1 = 20 T (10) 1 = T (9) 1 + t (J)e = 20 + 2 = 22
Para el cálculo de T 1 en el nodo 8, donde concurren la finalización de dos actividades (G y H), se debe
tomar el mayor valor de los T 1 resultantes (19).
Tiempo más tardío de realización de un suceso T (i 2 ‐ésimo nodo) ‐ Se recorre la red de derecha a
izquierda.
2 1 2 2 e 2 2 e 2 2 e 2 2 e 2 2 e 2 2 e 2 2 e 2 2
T (9) T (10) t (J) 22 2 20 T (8) T (9) t (I) 20 1 19 T (7) T (8) t (H) 19 4 15 T (6) T (8) t (G) 19 6 13 T (4) T (6) t (E) 13 4 9 T (2) T (4) t (C) 9 3 6 T (5) T (7) t (F) 15 3 12 T (3) T (5)
= − = − = = (^) e 2 2 e 2 2 e
t (D) 12 3 9 T (1) T (2) t (A) 6 6 0 T (1) T (3) t (B) 9 2 4
Para el cálculo de T 2 en el nodo 1, donde concurren el inicio de dos actividades (A y B), se debe tomar el
menor valor de los T 2 resultantes (0).
Tiempo de Holgura H = T 2 − T 1 ‐ Diferencia entre el tiempo más tardío y el tiempo más temprano de
un suceso. En unidades de tiempo corresponde al valor que puede tardar la ocurrencia de un suceso.
RUTA CRÍTICA: Corresponde a los sucesos con holgura cero, es decir, la ruta crítica está formada por la ocurrencia de sucesos en los que no puede retrasarse una sola unidad de tiempo respecto al cronograma establecido, en otro caso se retrasaría la finalización del proyecto
Las actividades críticas constituyen la ruta más larga que abarca el proyecto, esto es, la suma de las actividades críticas de una ruta crítica determinará la duración estimada del proyecto.
Puede darse el caso en el que se encuentren más de una ruta crítica.
La ruta crítica se encuentra compuesta por las actividades críticas A, C, E, G, I, J con holgura total cero.
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y PROBABILIDADES: Considerando las actividades que comprende la ruta crítica.
Duración del proyecto:
μ (^) PROYECTO = t (2)e + t (4)e + t (6)e + t (8)e + t (9)e + t (10)e = 6 + 3 + 4 + 6 + 1 + 2 = 22 semanas
Varianza del proyecto: 2 2 2 2 2 2 2 σPROYECTO = σ 2 + σ 4 + σ 6 + σ 8 + σ 9 + σ 10 = 1,78 + 0,25 + 1 + 0,44 + 0,09 + 0,11 =3,
Desviación estándar del proyecto: σPROYECTO = 3,67 =1,
Una cadena de tiendas desea adquirir un ordenador que permita llevar la contabilidad y realizar el control de inventarios. Una firma informática presenta un proyecto en días con el correspondiente grafo al Jefe de Marketing de las tiendas.
Actividad Actividad Precedente
Tiempo optimista (a)
Tiempo más probable (m)
Tiempo pesimista (b) (A) Selección del modelo 4 6 8 (B) Sistema de entrada/salida A 5 7 15 (C) Diseño del sistema A 4 8 12 (D) Montaje B 15 20 25 (E) Programas B 10 18 26 (F) Rutinas de entrada/salida C 8 9 16 (G) Bases de datos E 4 8 12 (H) Instalación D, F 1 2 3 (I) Test H 6 7 8
a) Calcular el camino crítico y duración esperada del proyecto.
b) Determinar la probabilidad de finalizar el proyecto a lo sumo en 55 días.
c) Sí el Montaje se retrasa 3 días, ¿en cuántos días termina el proyecto?
d) Sí la Instalación de Programas se retrasa 2 días, ¿en cuántos días termina el proyecto?
a) Se calcula el tiempo esperado y varianza de cada actividad.
2 2 e A 2 2 e B
2 2 e F
x
x
x
a 4m b 4 4 6 8 (8 4) t (A) 6 Var(A) 0, 6 6 36 a 4m b 5 4 7 15 (15 5) t (B) 8 Var(B) 2, 6 6 36
a 4m b 8 4 9 16 (16 8) t (F) 10 Var (F) 1, 6 6 36
= = = σ = = =
= = = σ = = =
Actividad Actividad Precedente
Tiempo esperado (t )e
Varianza Var
(A) Selección del modelo 6 0, (B) Sistema de entrada/salida A 8 2, (C) Diseño del sistema A 8 1, (D) Montaje B 20 2, (E) Programas B 18 7, (F) Rutinas de entrada/salida C 10 1, (G) Bases de datos E 8 1, (H) Instalación D, F 2 0, (I) Test H 7 0,
Se determinan los tiempos más tempranos y tardíos de cada suceso, así como la holgura total de cada actividad.
Tiempo más temprano de un suceso T (i 1 ‐ésimo nodo) ‐ Se recorre la red de izquierda a derecha.
1 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 1 e 1 1 e 1 1
T (1) 0 T (2) T (1) t (A) 0 6 6 T (3) T (2) t (B) 6 8 14 T (4) T (2) t (C) 6 8 14 T (6) T (3) t (D) 14 20 34 T (6) T (4) t (F) 14 10 34 max T (6) 34 T (5) T (3) t (E) 14 18 32 T (7) T (6) t (H) 34 2 36 T (7) T
= + = + = = (^) e 1 1 e
(5) t (G) 32 8 40 T (8) T (7) t (I) 40 7 47
Señalar que para el cálculo de T , 1 si concurre la finalización de dos o más actividades en un nodo, se
toma el tiempo de la actividad con mayor tiempo esperado (tiempo Pert).
Tiempo más tardío de realización de un suceso T (i 2 ‐ésimo nodo) ‐ Se recorre la red de derecha a
izquierda.
