gráficas de funciones, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga gráficas de funciones y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se calculan las razones trigonométricas se expresa en radianes.

Esta tabla recoge las principales características de las distintas funciones trigonométricas:

funciones trigonométricas seno sen x (o sin x )

coseno cos x

tangente tg x

secante sec x

cosecante cosec x

cotangente cotg x

Dominio Todos los reales Todos los reales

Los reales excepto π/

• k π, donde k es un entero

Los reales excepto k π, donde k es un entero

Los reales excepto π/2 + k π, donde k es un entero

Los reales excepto k π, donde k es un entero

Imagen [–1,1] [–1,1] Todos los reales

Todos los reales menos (–1,1)

Todos los reales menos (– 1,1)

Todos los reales

Puntos de corte

( k π,0) donde k es un número entero

((2 k + 1)π/2,0) donde k es un número entero, y (0,1)

( k π, 0) donde k es un número entero

(0,1) ninguno

((2 k + 1)π/2,0) donde k es un número entero

Crecimiento

decreciente: ((4 k + 1)π/2,(4 k + 3)π/2) creciente: ((4 k + 3)π/2,(4 k + 5)π/2)

decreciente: (2 k π, (2 k + 1)π) creciente: ((2 k + 1)π, (2 k + 2)π)

siempre creciente

creciente: (2 k π, (2 k + 1)π) decreciente: ((2 k + 1)π, (2 k + 2)π)

creciente: ((4 k + 1)π/2,(4 k

• 3)π/2) decreciente: ((4 k + 3)π/2,(4 k
• 5)π/2)

siempre decreciente

Máximos

((4 k + 1)π/2,1) donde k es un número entero

(2 k π, 1) donde k es un número entero. no tiene

((4 k + 3)π/2,–1) donde k es un número entero

((2 k + 1)π,–1) donde k es un número entero no tiene

Mínimos

((4 k + 3)π/2,–1) donde k es un número entero

((2 k + 1)π,–

1. donde k es un número entero.

((4 k + 1)π/2,1) donde k es un número entero

(2 k π,1) donde k es un número entero

Las funciones inversas de las funciones seno, coseno y tangente son las funciones arco seno, arco coseno y arco tangente. Las gráficas de dichas funciones son simétricas respecto a la recta y = x , tal como sucede con todas las funciones inversas.

• La función inversa de la función seno: solamente se utilizan los valores de los ángulos entre [–π/2,π/2]. Se designa con el símbolo arc sen.
• La función inversa de la función coseno: solamente se utilizan los valores de los ángulos entre [0, π]. Dicha función se designa con el símbolo arc cos.
• La función inversa de la función tangente se denomina arco tangente: solamente se utilizan los valores de los ángulos entre (–π/2,π/2). Dicha función se designa con el símbolo arc tan.

Función cotangente

y = cotg x

Función secante

Función cosecante:

Funciones inversas

función arco seno función arco coseno

Función arco tangente

• La imagen de la función es el intervalo [–1,1] y el dominio son todos los reales.
• Los puntos de corte son ( k π,0) donde k es cualquier número entero, y (0,1).
• decreciente: ((4 k + 1)π/2,(4 k + 3)π/2), creciente: ((4 k + 3)π/2,(4 k + 5)π/2), donde k es cualquier número entero
• Tiene un máximo en ((4 k + 1)π/2,1) y un mínimo en ((4 k + 3)π/2,–1), siendo k un número entero.

¿Qué es la función coseno y cuáles son sus características?

La función coseno es otra de las funciones trigonométricas que a cada valor (en radianes) le

hace corresponder su coseno. La función coseno es una función periódica, de período 2π. Su

dominio son todos los números y su imagen es [–1,1].

La función coseno es aquella función que asocia a un ángulo en radianes su coseno; la gráfica de esta función se construye como sigue, cuando el ángulo se encuentra entre 0 y 2π, de manera semejante a como se construye la función seno:

Así pues, la gráfica de la función coseno en el intervalo [0,2π) es como sigue:

Algunas de las características fundamentales de la función coseno en el intervalo [0,2π) son:

• La imagen de la función es el intervalo [–1,1].
• Los puntos de corte son (0,1), (π/2,0) y (3π/2,0).
• Es creciente en (π,2π) y decreciente en (0,π).
• Tiene un máximo en el punto (0,1) y un mínimo en el punto (π,–1).

Como la función seno, la función coseno es una función periódica porque repite esta misma forma cada 2 π; de esta manera, la gráfica de la función coseno en un intervalo mayor presenta esta forma: Algunas de las características fundamentales de la función coseno:

• La imagen de la función es el intervalo [–1,1] y el dominio son todos los reales.
• Los puntos de corte son ((2 k + 1)π/2,0) donde k es cualquier número entero, y (0,1).
• Decreciente: (2 k π,(2 k + 1)π), creciente:((2 k + 1)π,(2 k + 2)π), donde k es cualquier número entero
• Tiene un máximo en (2 k π,1) y un mínimo en ((2 k + 1)π,–1), siendo k un número entero.

¿Cuál es la relación entre la función seno y la función coseno?

La forma de las funciones seno y coseno es la misma, aunque hay un desfase de π/2 entre una

y otra. Esto es así porque es sabido que

cos x = sen ( x + π/2).

A primera vista, puede comprobarse que la función seno y la función coseno son muy semejantes. Si representamos ambas funciones en un mismo gráfico, esta semejanza es más patente:

Observamos que su forma es exactamente la misma, pero la función seno (en rojo) está ligeramente "adelantada" (en π/2) respecto a la función coseno (en azul). Esto es así porque, como es sabido: cos x = sen( x + π/2) En esta tabla se muestra esta relación de manera más detallada, describiendo cada una de las funciones según el cuadrante:

x (^0) de 0 a π/

1. er^ cuadrante

π/2 de π/2 a π 2.º cuadrante

π de π a 3π/

3. er^ cuadrante

3 π/2 de 3π/2 a 2π 4.º cuadrante

2 π

sen x 0 positiva y creciente

1 positiva y decreciente

0 negativa y decreciente

–1 negativa y creciente

cos x 1 positiva y decreciente

0 negativa y decreciente

–1 negativa y creciente

0 positiva y creciente

¿Qué es la función tangente y cuáles son sus características?

La función tangente es otra de las funciones trigonométricas que a cada valor (en radianes) le

hace corresponder su tangente. La función tangente es una función periódica, de período π.

Su dominio son todos los números excepto algunos puntos y su imagen son todos los

números.

Las propiedades de esta función son:

• A diferencia de la mayoría de las funciones estudiadas hasta el momento, el dominio de esta función no incluye todos los números: para los valores en los que el coseno es 0, la función no existe (porque se debería dividir entre 0, lo que es imposible); esto sucede cuando x es igual a π/2 + k π (siendo k un número entero cualquiera), es decir, para ... –7π/2, –5π/2, –3π/2, –π/2, π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/ ...
• La imagen de esta función son todos los números reales, positivos o negativos.
• La tangente es siempre una función creciente.
• Los puntos de corte con los ejes tienen coordenada x un múltiplo de π, es decir, los puntos de corte con los ejes son ( k π,0), donde k es un número entero.

¿Qué es la función cotangente y cuáles son sus características?

La función cotangente es otra de las funciones trigonométricas que a cada valor (en radianes)

le hace corresponder su cotangente. La función cotangente es una función periódica, de

período π. Su dominio son todos los números excepto algunos puntos y su imagen son todos

los números.

La función cotangente es aquella función trigonométrica que asocia a un ángulo en radianes, su cotangente. Para construirla, debe tenerse en cuenta que: cos cotg sen

x x x

Para representar esta función, debe recurrirse a la interpretación geométrica de la cotangente. En este gráfico puede observarse el primer cuadrante de una circunferencia de radio 1. El seno del ángulo representado es QP x , el coseno es OQ y la cotangente es MP. Por lo tanto, se puede representar la función tangente de la siguiente forma:

Así pues, si se representa la función cotangente entre 0 y π, ésta es su gráfica:

Algunas de las características fundamentales de la función cotangente en el intervalo [0,π) son:

• La imagen de esta función se compone de todos los números reales, positivos o negativos.
• El único punto de corte es (π/2,0).
• Es una función decreciente.
• No tiene ni máximos ni mínimos.

y la función cosecante:

Se trata, pues, de funciones periódicas de período 2π cuyas características esenciales son:

• Los dominios de estas funciones son:

o la función secante: todos los números excepto π/2 + k π, siendo k un número entero; o la función cosecante: todos los números excepto k π, siendo k un número entero.

• La imagen de estas funciones se compone de todos los números reales, excepto el intervalo (–1,1).

• Los intervalos de crecimiento son (sin contar los puntos que no son del dominio):

o secante: creciente: (2 k π,(2 k + 1)π), decreciente: ((2 k + 1)π,(2 k + 2)π), donde k es cualquier número entero. o cosecante: creciente: ((4 k +1)π/2,(4 k +3)π/2), decreciente: ((4 k +3)π/2,(4 k +5)π/2), donde k es cualquier número entero.

• Máximos y mínimos:

o secante: Tiene un mínimo en (2 k π,1) y un máximo en ((2 k + 1)π,–1), siendo k un número entero. o cosecante: Tiene un mínimo en ((4 k +1)π/2,1) y un máximo en ((4 k +3)π/2,–1), siendo k un número entero.

• La secante tiene un único punto de corte, el (0,1), mientras que la tangente no tiene ninguno.

¿Cuáles son las funciones inversas de las funciones trigonométricas?

Las funciones inversas de las funciones seno, coseno y tangente son las funciones arco seno,

arco coseno y arco tangente. Las gráficas de dichas funciones son simétricas respecto a la

recta y = x , tal como sucede con todas las funciones inversas.

Todas las funciones trigonométricas tienen inversa en el intervalo de periodicidad propio de la función. En cualquier caso, las más importantes son las funciones inversas del seno, coseno y tangente. Para denominarlas, todas ellas preceden el nombre de la función original del término arco.

• La función inversa de la función seno se denomina arco seno y es una función que asigna a cada valor del intervalo [–1,1] el ángulo cuyo seno corresponde a dicho valor. Como existen muchos valores en los que sucede esto, solamente se utilizan los valores de los ángulos entre [–π/2,π/2]. Dicha función se designa con el símbolo arc sen. Por ejemplo, arc sen(0) = 0, ya que el ángulo que corresponde al valor del seno 0 es el ángulo 0 radianes.
• La función inversa de la función coseno se denomina arco coseno y es una función que asigna a cada valor del intervalo [–1,1] el ángulo cuyo coseno corresponde a dicho valor. Como existen muchos valores en los que sucede esto, solamente se utilizan los valores de los ángulos entre [0,π]. Dicha función se designa con el símbolo arc cos. Por ejemplo, arc cos(0) = π/2, ya que el ángulo que corresponde al valor del coseno 0 es el ángulo π/2 radianes.
• La función inversa de la función tangente se denomina arco tangente y es una función que asigna a cada valor real el ángulo cuya tangente corresponde a dicho valor. Como existen muchos valores en los que sucede esto, solamente se utilizan los valores de los ángulos entre (–π/2,π/2). Dicha función se designa con el símbolo arc tan. Por ejemplo, arc tan(0) = 0, ya que el ángulo que corresponde al valor de la tangente 0 es el ángulo 0 radianes. Éstas son las representaciones de dichas funciones, que, como sabemos, son funciones simétricas respecto a la recta y = x de la función original:

Ejercicios

1. ¿Cuáles son las características básicas de la función f ( ) x = cos(2 ) x (dominio, imagen,

período, puntos de corte, crecimiento, máximos, mínimos, ...)?

2. ¿Existe alguna solución de la ecuación sin x = tan x?

3. ¿Cuál es la imagen de las funciones f ( ) x = 3sin x y g x ( ) = 3 + 2cos x.

4. Expresa esta función usando tan solo el seno:

5. Expresa esta función usando tan solo el coseno:

Soluciones

1. f ( ) x = cos(2 ) x es muy semejante a la función coseno, con la única diferencia que su

argumento aumenta más rápidamente, por lo tanto, su gráfica será más

“comprimida”:

• La imagen de la función es el intervalo [–1,1].
• Su período es π.
• Los puntos de corte son (0, 1), (π/4,0) i (3π/4,0).
• Es creciente en (π/2,π) y decreciente en (0, π/2).
• Tiene un máximo en el punto (0,1) y un mínimo en el punto (π/2,–1).

2. Tan solo hace falta resolver

sin

sin tan

cos

x

x x

x

= = , es decir,

cos x

= , por lo tanto,^ cos^ x^ =^1. Así^ x^ =^0 +^2 π k.

3. f ( ) x = 3sin x : la imagen es [-3,3], ya que los valores del seno se multiplican por 3.

g x ( ) = 3 + 2cos x : La imagen de 2cos x es [-2,2], si debemos sumar 3, la imagen de la

función será [1,5].

4. El período es π y el valor en 0 es 0 y a continuación es negativo. Por lo tanto, podría

ser f ( ) x = sin(2 x + π)

5. La imagen es [1,5] i el valor en 0 es el máximo. El período es 2 π. Por lo tanto, podría

ser f ( ) x = 2cos x + 3