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El libro Física, para segundo curso de Bachillerato, es una obra
colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones
Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.
En su elaboración ha participado el siguiente equipo:
Texto:
M.ª del Carmen Vidal Fernández
David Sánchez Gómez
Perfiles profesionales:
José M.ª Prada Carrillo
EDICIÓN
Laura Muñoz Ceballos
EDITOR EJECUTIVO
David Sánchez Gómez
DIRECCIÓN DEL PROYECTO
Antonio Brandi Fernández
Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso
en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen
son modelos para que el alumno los traslade a su cuaderno.
SERIE INVESTIGA
Física
BACHILLERATO
ACTIVIDADES
- Un satélite artificial gira en una órbita circular a 300 km de altura sobre la superficie terrestre. a) Halla la velocidad del satélite. b) Halla su periodo orbital. Datos: G = 6,67? 10 - 11 N? m 2? kg - 2 ; M T = 5,98? 10 24 kg; R T = 6370 km. Solución: a) 7,733? 10 3 m/s; b) 5,419? 10 3 s
- Con el fin de recoger información acerca del planeta rojo se quiere enviar tres naves a Marte para hacer de satélites «marte-estacionarios». Determina: a) Qué tipo de órbita tendrían los satélites. b) A qué altura sobre la superficie de Marte se encontrarían. Datos: G = 6,67? 10 - 11 N? m 2 /kg 2 ; M Marte = 6,42? 10 23 kg; R Marte = 3397 km; T Marte = 5,93? 10 7 s Solución: b) 1,559? 10 6 km 22. El satélite de la NASA Terra está diseñado para recoger información sobre la superficie de la Tierra, los océanos y la atmósfera. Con estos datos conseguimos estudiar la interrelación entre los distintos medios y los sistemas biológicos existentes. El satélite sigue una órbita circular en el plano que pasa por los polos a una altura de 760 km sobre la superficie de la Tierra (circumpolar). Sabiendo que la masa del satélite es de 4,86? 10 3 kg, calcula: a) El periodo del movimiento del satélite en su órbita alrededor de la Tierra. b) La energía necesaria, que hay que suministrar, para lanzar el satélite desde la superficie de la Tierra a su órbita. Datos: G = 6,67? 10 - 11 N? m 2 ? kg - 2 ; M T = 5,98? 10 24 kg; R T = 6370 km. Solución: a) 5,99? 10 3 s; b) 3,24? 10 10 J
EJEMPLO RESUELTO
9 Se ha colocado un satélite de 10 4 kg de masa en órbita alrededor de laTierra a una altura igual a dos veces el radio terrestre. Calcula: a) La energía que se le ha comunicado desde la superficie de laTierra. b) La fuerza centrípeta necesaria para que describa la órbita. c) El periodo del satélite en dicha órbita. Datos: g 0 = 9,8 m? s
- 2 ; RT = 6 370 km. Para resolver el problema utiliza todas las magnitudes en unidades del SI.
R T
R T
F G
a) El satélite estará sometido en todo momento al campo gravitatorio terrestre. Por tanto, se conservará la energía mecánica. En el punto de lanzamiento hay que comunicarle una energía cinética que, sumada a su energía potencial, coincida con la energía mecánica en la órbita: ● Punto de lanzamiento:
E
R
G M m P T
T = -
● En la órbita:? ?
E E E
R
G M m 2
M C P 2
T
T = + = -
E C Lanzamiento + E P Lanzamiento = E M
E C Lanzamiento = E M - E P Lanzamiento
? ?
E
R
G M m R
G M m 2
C Lanzamiento T
T T
T = - - -f p=
R
G M m 4
T
T = [1] Como desconoces el valor de M T , haz uso de g 0
g??
G M
R
G M g R T T 0 2 T 0 T 2 = " = [2]
Sustituye en [1] y calcula la E c en el lanzamiento:
E
R
g R m g R m 4
C Lanzamiento T
0 T T 2 = = 0
Utiliza todos los valores en unidades del SI: ???? ?
E
C Lanzamiento 4,68 10 J
3 4 = = 11
b) Para el satélite que orbita, F C = F G. ?
F G
r
M m C T S 2
Haciendo uso de la expresión [2], y dado que r = 2? R T
F
R
g R m 2 4
C 24 500 N
T
T s 2
0 2 4 = = =
c) La F C permite calcular la velocidad con que orbita el satélite. A partir de ella, calcula su periodo: ??? ??
F
r
m v r
m r m r T
v 2 C S S S
2 2 2
p 2 = = =
Reordena y sustituye los valores:
???? ?
T
1,433 10 s
4 3 2 p 4 = = - 4 h
Esquema de las unidades
Página de introducción a la unidad
Al principio de cada unidad se ilustra para reflexionar alrededor de los contenidos y centrar la atención.
La estructura del desarrollo de los contenidos está compuesta por varios elementos.
Páginas de desarrollo de los contenidos
REPASO
- Magnitudes vectoriales
Son aquellas cuya definición requiere indicar el módulo (la cantidad), la dirección y el sentido, como v o F. Se expresan en función de componentes: A = A xi + A yj Cálculo del módulo: A A x A y 2 2 = +
- Producto de vectores
Se pueden multiplicar de dos formas:
Producto escalar de vectores Dados dos vectores A y B , su producto escalar A? B es un escalar, cuyo valor es: A? B = A? B ?cos a a es el ángulo que forman los vectores. El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero porque cos 90° = 0.
Producto vectorial de vectores Dados dos vectores A y B , su producto vectorial A # B es un vector C , con las siguientes características: ● Módulo: A? B = A? B ?sen a a es el ángulo que forman los vectores. ● Dirección: es perpendicular a A y B. ● Sentido: viene determinado por la regla de la mano derecha o del tornillo. Coincide con el sentido de un tornillo que gire como si el primer vector se acercase al segundo por el camino más corto. El producto vectorial de dos vectores paralelos es cero porque sen 0° = 0.
- La derivada de una función Dada una función y = f ( x ), la derivada de y con respecto
a x , dx
dy e o, representa: D
D
dx
dy x
y lím Dx 0
" ● Derivada de la función constante:
Sea y = K (constante) " dx
dy = 0
● Derivada de la función producto por un número real:
Sea y = K? x " dx
dy = K
● Derivada de la función potencial:
Sea y = x n "? dx
dy n x n 1 =
- Derivada de un producto de funciones vectoriales
d ( A? B ) = dA? B + A? dB d A ( # B ) = dA # B + A # dB
Aplicación: vamos a demostrar que r? dr = r? dr r? r = r? r? cos° 0 = r? r d r (? r ) = dr? r + r? dr = 2 r? dr [1] d r (? r ) = d r (? r ) = dr? r + r? dr = 2 r? dr [2] Igualando [1] y [2]:
2 r? dr = 2 r? dr " r? dr = r? dr
- La integral de una función
La integral de una función f es otra función que, derivada, nos da la función f. Para una función x :
dx = x +cte. y Obtenida la función integral, se puede calcular el valor de la integral definida entre dos límites. Es el valor de la función para el límite superior menos el valor de la fun- ción para el límite inferior:
dx [ ] x [ ] x f i i
f y = -
● Integral indefinida de una constante:
y k? dx = k? x +cte.
● Integral indefinida de una potencia:
x? dx n
x 1
n cte. n 1 =
y , si n! - 1
● Integral indefinida de la función inversa:
? x dx x
y = ln +cte.
Matemáticas
PRACTICA
- Calcula: dr
d r
e o =
Solución: r
2
- Calcula:? r dr
r 2
3
y
Solución: r
8
2.2. Trabajo debido a las fuerzas gravitatorias Cuando un cuerpo de masa m se mueve en el seno del campo gravitatorio creado por otro cuerpo de masa M se realiza un trabajo, ya que el desplaza- miento tiene lugar bajo la acción de una fuerza, la fuerza gravitatoria.
Recuerda
Cálculo del trabajo
Como vimos el curso anterior, cuando un cuerpo experimenta un desplazamiento bajo la acción de una fuerza constante se realiza un trabajo cuyo valor se calcula multiplicando la fuerza por el desplazamiento ( F Figura 1.6): W F? r i f
=D
" Si la fuerza no es constante, solo podremos calcular el trabajo en un desplazamiento infinitesimal, en el que se considera que la fuerza es constante ( F Figura 1.7) : dW = F? d r Para calcular el trabajo que se realiza cuando se produce un desplazamiento entre dos puntos cualesquiera debemos sumar todos los trabajos infinitesimales entre ambos. Matemáticamente esa suma es la integral:
W i f F? d r i
f
" = y
Como su valor cambia en cada punto, utilizamos el cálculo integral:
W F dr? r
G M m u r r
G M m i f d dr i
f r i
f i
f " = y = y - 2 = y- 2 (1) (1) u r es un vector unitario en la dirección y sentido de r. Se puede demos- trar que u? d r dr r
W G M m r
dr G M m r r
G M m r
1 G M m i f i
f
i f i
f " = y- 2 = = G= -
El campo gravitatorio es un campo conservativo porque el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio depende solo del punto inicial y final del desplazamiento, y no de la trayectoria seguida ( F Figura 1.8). ???? W r
G M m r
G M m i f f i
" = - [1]
La fuerza gravitatoria es una fuerza central , ya que está dirigida hacia el centro, y su módulo depende de la distancia al centro. Podemos generalizar y decir que el trabajo debido a una fuerza central es conservativo. En consecuencia:
- El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. - Si r f < r i " W i"f > 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio es positivo cuando el cuerpo se acerca a la masa que crea el campo. - Si r f > r i " W i"f < 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio es negativo cuando el cuerpo se aleja de la masa que crea el campo. Esto es debido a que las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas y cualquier cuerpo que quede libre se acercará al que crea el campo.
Figura 1.6. El trabajo es el área sombreada en la figura (rectángulo).
F x
W
x 1 x 2 x W F = F x? (x 2 - x 1 ) = F x? Dx
Figura 1.7. El trabajo es la suma de las áreas de los rectángulos para aproximar el área encerrada por la curva.
F x
x 1 x 2 x
dW = F? dr " W = y F x? dx
Figura 1.8. El trabajo de la fuerza gravitatoria depende únicamente del punto inicial y final; no de la trayectoria.
M
Punto final
Punto inicial
F f
F
i
r i
r f
HERRAMIENTAS
MATEMÁTICAS
A B A
B A
B
B A
- 2 = 1 - = = G= -
y
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Campo gravitatorio 1
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CONTENIDOS
1 El concepto de campo.
2 Campo gravitatorio creado por masas puntuales.
3 Representación del campo gravitatorio.
4 Campo gravitatorio de los cuerpos celestes.
5 Movimiento de planetas y satélites.
6 Viajes a través del espacio.
SABER HACER: Resolver problemas en los que intervengan campos gravitatorios.
FÍSICA EN TU VIDA: Satélites meteorológicos.
Campo gravitatorio
La sonda Gaia se lanzó al espacio en 2013 para estudiar miles de estrellas de nuestra galaxia, la Vía Láctea. Se situó en un punto del espacio conocido como punto de Lagrange L2, situado en la línea que une la Tierra y el Sol, más allá de la posición ocupada por la Tierra, a 1,5 millones de kilómetros de nuestro planeta. Al estar en ese punto, la sonda rota de manera sincronizada con la Tierra, de modo que permanece sobre el mismo punto del cielo. La ventaja es que así es más sencillo calibrar el instrumento y, además, la sonda se encuentra protegida de la radiación solar, pues los instrumentos pueden permanecer siempre orientados en la dirección opuesta al Sol.
1
PARA COMENZAR
¿Se anula la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol y la Tierra en el punto L2? ¿Y en algún punto situado en la línea que une el Sol y la Tierra? ¿Entonces, por qué permanecerá estacionaria la sonda Gaia en L2?
Sol
Tierra
Luna
L 2
7
3.2. Diferencia de potencial
Si consideramos dos puntos de un campo electrostático, i y f, denominamos diferencia de potencial entre ambos a la relación:
D V = V f - V i"
V
r
Q
r
k kQ f i
D = -
La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos es igual y de signo contrario al trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar la uni- dad positiva de carga entre esos puntos:
q
W
k Q r
dr k Q r r
k Q r
k Q V V V i f 1 i
f
f i f i i
f = 2 = - = + = - - = -D " y e o _i
Conclusión: en un campo electrostático la unidad positiva de carga se des- plaza de forma espontánea en el sentido de los potenciales decrecientes. Para que se desplace en el sentido de los potenciales crecientes se requiere la intervención de una fuerza externa.
En general, en un campo electrostático: ● Las cargas positivas se desplazan de forma espontánea en el sentido de los potenciales decrecientes ( F Figura 2.12). ● Las cargas negativas se desplazan de forma espontánea en el sentido de los potenciales crecientes ( F Figura 2.13).
SABER MÁS
El electronvoltio El electronvoltio es una unidad de energía que no pertenece al SI. 1 electronvoltio (eV) es la energía que adquiere un electrón cuando es acelerado mediante una diferencia de potencial de 1 voltio. 1 eV = 1,602? 10
- 19 J
Figura 2.12. Las cargas positivas se desplazan de forma espontánea en el sentido de los potenciales decrecientes.
+ Q
V
V 1 2
V 2 < V 1
v
- Q
v
ACTIVIDADES
- Sea un campo electrostático generado por una carga puntual negativa, q. Dados dos puntos, A más cercano a la carga y B más alejado de la carga. ¿En cuál de los puntos el potencial será mayor?
Cuando la carga que crea el campo es positiva, Q > 0 Cuando la carga que crea el campo es negativa, Q < 0 Al aproximarse al cuerpo que crea el campo ( r i > rf):
Al alejarse del cuerpo que crea el campo ( r i < r f ):
Al aproximarse al cuerpo que crea el campo ( r i > r f):
Al alejarse del cuerpo que crea el campo ( r i < r f): Aumenta el potencial (D V > 0). Disminuye el potencial (D V < 0). Disminuye el potencial (D V < 0). Aumenta el potencial (D V > 0). El trabajo que realizan las fuerzas del campo sobre la unidad positiva de carga es negativo q
W 0 i f 1 " f p. Se requiere una fuerza exterior para que se produzca este desplazamiento.
El trabajo que realizan las fuerzas del campo sobre la unidad positiva de carga es positivo q
W > 0 i "f f p. El desplazamiento tiene lugar de forma espontánea.
El trabajo que realizan las fuerzas del campo sobre la unidad positiva de carga es positivo q
W > 0 i "f f p. El desplazamiento tiene lugar de forma espontánea.
El trabajo que realizan las fuerzas del campo sobre la unidad positiva de carga es negativo q
W 0 i f 1 " f p. Se requiere una fuerza exterior para que se produzca este desplazamiento.
Figura 2.13. Las cargas negativas se desplazan de forma espontánea en el sentido de los potenciales crecientes.
56
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Contenidos de la unidad.
Un esquema de la exposición
de los contenidos y técnicas
o procedimientos.
Para comenzar. Algunas
preguntas que abran
la reflexión, o el debate,
en relación con los contenidos
que se van a estudiar.
Título de la unidad.
Recuerda. Aquí se incluyen
contenidos de cursos
anteriores o estudiados
en unidades precedentes.
Ilustración. Una fotografía
que acerca a los contenidos
de la unidad.
Texto. Una reflexión
introductoria sobre
la importancia de
los contenidos.
Repaso. Antes de tratar
los contenidos de cada unidad
se recuerdan contenidos
de Matemáticas o Física
y Química necesarios
para abordar la unidad.
Ejemplos resueltos.
A lo largo de toda la unidad se
incluyen numerosos ejemplos
resueltos, numéricos o no, que
ayudan a poner en práctica
los conceptos expuestos.
Actividades al pie. Recoge
actividades que acompañan
el trabajo de los contenidos
próximas a donde se exponen.
Saber más. Se incluyen
contenidos relacionados con
la materia, pero que no son
esenciales para el desarrollo
de la unidad.
Destacados. Los contenidos
y definiciones esenciales
aparecen destacados
con un fondo de color.
1. Campo gravitatorio ........................................................... 7
1. El concepto de campo ............................................................... 10
2. Campo gravitatorio creado por masas puntuales ..................... 11
3. Representación del campo gravitatorio .................................... 23
4. Campo gravitatorio de los cuerpos celestes............................. 25
5. Movimiento de planetas y satélites .......................................... 31
6. Viajes a través del espacio ........................................................ 36
Saber H acer ...................................................................................... 38
actividadeS finaleS ............................................................................. 40
fíSica en tu vida. Satélites meteorológicos ....................................... 44
2. Campo eléctrico ................................................................ 45
1. El campo electrostático ............................................................. 48
2. Energía asociada al campo electrostático ................................ 52
3. Potencial eléctrico ..................................................................... 55
4. Representación del campo electrostático ................................ 60
5. Estudio comparativo del campo gravitatorio
y del campo electrostático ........................................................ 62
6. Campo creado por una distribución continua de carga ........... 63
7. Movimiento de partículas cargadas
en un campo eléctrico uniforme ................................................... 71
Saber H acer ...................................................................................... 73
actividadeS finaleS ............................................................................. 76
fíSica en tu vida. Flashes ................................................................... 80
3. Campo magnético ............................................................. 81
1. El campo magnético .................................................................. 83
2. Efecto de un campo magnético sobre
una carga en movimiento. Ley de Lorentz ................................ 84
3. Movimiento de partículas cargadas en el interior
de campos magnéticos ............................................................. 86
4. Efecto de un campo magnético sobre un hilo de corriente ..... 94
5. Campo magnético creado por cargas y corrientes................... 96
6. Campo magnético creado por agrupaciones de corrientes ..... 103
7. Comparación entre el campo magnético
y el campo electrostático .......................................................... 106
Saber Hacer ...................................................................................... 107
actividadeS finaleS ............................................................................. 109
fíSica en tu vida. Discos duros .......................................................... 112
4. Inducción electromagnética ............................................ 113
1. La inducción electromagnética ................................................. 115
2. Leyes de la inducción electromagnética ................................... 117
3. Aplicaciones de la inducción electromagnética ....................... 126
4. Síntesis de Maxwell para el electromagnetismo ...................... 132
Saber Hacer ...................................................................................... 133
actividadeS finaleS ............................................................................. 135
fíSica en tu vida. La guitarra eléctrica ............................................... 138
Índice
CONTENIDOS
1 El concepto de campo.
2 Campo gravitatorio creado por masas puntuales.
3 Representación del campo gravitatorio.
4 Campo gravitatorio de los cuerpos celestes.
5 Movimiento de planetas y satélites.
6 Viajes a través del espacio.
SABERHACER: Resolver problemas en los que intervengan campos gravitatorios.
FÍSICA EN TU VIDA: Satélites meteorológicos.
Campo gravitatorio
La sonda Gaia se lanzó al espacio en 2013 para estudiar miles de estrellas de nuestra galaxia, la Vía Láctea. Se situó en un punto del espacio conocido como punto de Lagrange L2, situado en la línea que une la Tierra y el Sol, más allá de la posición ocupada por la Tierra, a 1,5 millones de kilómetros de nuestro planeta. Al estar en ese punto, la sonda rota de manera sincronizada con la Tierra, de modo que permanece sobre el mismo punto del cielo. La ventaja es que así es más sencillo calibrar el instrumento y, además, la sonda se encuentra protegida de la radiación solar, pues los instrumentos pueden permanecer siempre orientados en la dirección opuesta al Sol.
1
PARA COMENZAR
¿Se anula la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol y la Tierra en el punto L2? ¿Y en algún punto situado en la línea que une el Sol y la Tierra? ¿Entonces, por qué permanecerá estacionaria la sonda Gaia en L2?
Sol
Tierra
Luna
L 2
7
CONTENIDOS
1 El campo electrostático.
2 Energía asociada al campo eléctrico.
3 Potencial eléctrico.
4 Representación del campo electrostático.
5 Estudio comparativo del campo gravitatorio y del campo electrostático.
6 Campo creado por una distribución continua de carga.
7 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme.
SABER HACER. Resolver problemas en los que intervengan campos eléctricos. FíSICA EN Tu vIDA. Flashes.
Campo eléctrico
El rayo es uno de los fenómenos más espectaculares que nos ofrece la naturaleza. Su longitud puede ser de muchos kilómetros, y la descarga entre las nubes y el suelo, o entre una zona de la nube y otra, es de decenas de culombios. La descarga alcanza una velocidad de miles de km/h. Su explicación se basa en la electrización de la materia de la nube. La descarga eléctrica se produce cuando pasa carga eléctrica desde la nube hasta el suelo (y desde el suelo hasta la nube), donde previamente se ha inducido una carga eléctrica de signo opuesto a la de la nube. Durante esta descarga se ionizan los átomos presentes en el aire, lo que produce un haz de luz que marca el camino recorrido por la descarga.
2
PARA COMENZAR
¿Cómo puede inducirse carga eléctrica en el suelo situado bajo las nubes de una tormenta? Elabora un esquema para ilustrarlo. ¿Cómo se mueven las cargas eléctricas cuando hay otras cargas eléctricas cerca?
45
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CONTENIDOS
1 El campo magnético.
2 Ley de Lorentz.
3 Movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos.
4 Efecto de un campo magnético sobre un hilo de corriente.
5 Campo magnético creado por cargas y corrientes.
6 Campo magnético creado por agrupaciones de corrientes.
7 Comparación entre el campo magnético y el campo electrostático.
SABER HACER. Relacionar corrientes eléctricas y campos magnéticos. FíSICA EN TU VIDA. Discos duros.
Campo magnético
Las auroras polares (llamadas boreales en el hemisferio norte y australes en el hemisferio sur) son ráfagas de luz de diferentes colores que aparecen en los cielos nocturnos en latitudes altas. Son una consecuencia de la interacción entre el campo magnético terrestre y las partículas cargadas que llegan a nuestro planeta procedentes del Sol. Estas partículas cargadas siguen una trayectoria marcada por las líneas del campo magnético terrestre y chocan en su recorrido con átomos de nitrógeno y de oxígeno, excitándolos a niveles de energía por encima del nivel básico o fundamental. Cuando estos átomos «se relajan», emiten la energía sobrante en forma de luz; la luz que forma la aurora. Los diversos colores están relacionados con la energía emitida durante esta relajación. Los tonos azulados corresponden a transiciones más energéticas que los tonos rojos.
3
PARA COMENZAR
¿Por qué las auroras polares se observan casi exclusivamente en latitudes altas, en regiones cercanas a los polos? ¿Qué relación existe entre las auroras polares y las tormentas solares?
81
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CONTENIDOS
1 La inducción electromagnética.
2 Leyes de la inducción electromagnética.
3 Aplicaciones de la inducción electromagnética.
4 Síntesis de Maxwell para el electromagnetismo. SAbEr hACEr. Resolver problemas de corrientes inducidas. FíSICA EN Tu vIDA. La guitarra eléctrica.
Inducción electromagnética
Los aerogeneradores de las centrales eólicas convierten la energía mecánica aprovechada a partir del viento en energía eléctrica. Son la versión moderna de los molinos de viento. Proporcionan energía de una manera limpia, aunque su instalación altera notablemente el paisaje, pues a menudo decenas o cientos de aerogeneradores conforman una central eólica. En el generador hay un conjunto de imanes fijos y bobinas móviles. Cuando el viento mueve las palas a una velocidad de entre 3 y 25 m/s, un sistema de engranajes transmite el movimiento a las bobinas, incrementando la velocidad de giro. La presencia del campo magnético generado por los imanes induce una corriente eléctrica mientras dura el giro de las bobinas.
4
PArA COMENZAr ¿Por qué disponen los aerogeneradores de motores para orientar las palas del molino? ¿Por qué se sitúan las centrales eólicas en las cimas de colinas? ¿En qué centrales eléctricas se genera energía eléctrica de una manera similar al caso de los aerogeneradores?
113
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Pág. 7
5. Ondas. El sonido ................................................................ 139
1. El movimiento ondulatorio ........................................................ 142
2. Ecuación matemática de la onda armónica .............................. 145
3. La propagación de la energía en el movimiento ondulatorio ..... 149
4. Cómo se propagan las ondas. Principio de Huygens ................ 154
5. Propiedades de las ondas ......................................................... 155
6. El sonido, un movimiento ondulatorio....................................... 163
Saber hacer ...................................................................................... 175
actividadeS finaleS ............................................................................. 177
fíSica en tu vida. Ecografías .............................................................. 180
6. Ondas electromagnéticas ................................................ 181
1. La naturaleza de la luz: un problema histórico ......................... 183
2. La luz es una onda electromagnética ....................................... 186
3. El espectro electromagnético ................................................... 190
4. Fenómenos ondulatorios de la luz ............................................ 192
5. El color ....................................................................................... 206
Saber hacer ...................................................................................... 208
actividadeS finaleS ............................................................................. 211
fíSica en tu vida. Polarizadores ......................................................... 214
7. Óptica geométrica ............................................................ 215
1. La óptica geométrica ................................................................. 217
2. Imágenes por reflexión .............................................................. 218
3. Imágenes por refracción............................................................ 224
4. Instrumentos ópticos................................................................. 234
5. El ojo humano ............................................................................ 237
Saber hacer ...................................................................................... 240
actividadeS finaleS ............................................................................. 243
fíSica en tu vida. Objetivos fotográficos ........................................... 246
8. Relatividad ......................................................................... 247
1. La necesidad de una nueva física.............................................. 250
2. La teoría de la relatividad especial ............................................ 252
3. La energía relativista.................................................................. 260
Saber hacer ...................................................................................... 264
actividadeS finaleS ............................................................................. 266
fíSica en tu vida. Sistemas de navegación por satélite .................... 268
CONTENIDOS
1 El movimiento ondulatorio.
2 Ecuación matemática de la onda armónica.
3 La propagación de la energía en el movimiento ondulatorio.
4 Cómo se propagan las ondas. Principio de Huygens.
5 Propiedades de las ondas.
6 El sonido, un movimiento ondulatorio. SabEr HaCEr. Resolver problemas de ondas. FíSICa EN Tu vIDa. Ecografías.
Ondas. El sonido
Las ondas son fenómenos que transportan energía sin transportar materia. El sonido o las ondas que se propagan durante un terremoto son ondas mecánicas que necesitan un medio para transmitirse. Las ondas electromagnéticas , en cambio, no necesitan un medio de transmisión, lo que nos permite usarlas para comunicarnos con sondas enviadas a otros planetas, por ejemplo.
El sonido es una onda en la que se propaga una vibración de las partículas por las que se transmite la onda. El sonido, como otras ondas, puede reflejarse o «doblar esquinas» (difracción), lo que nos permite oír incluso aunque no estemos mirando directamente hacia la fuente sonora.
5
Para COMENZar
Describe el movimiento que sufren las partículas del líquido en la imagen de esta página. ¿Hacia donde se mueven? ¿En qué dirección se desplaza la onda? ¿Qué ocurre cuando dos ondas se encuentran?
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CONTENIDOS
1 La naturaleza de la luz: un problema histórico.
2 La luz es una onda electromagnética.
3 El espectro electromagnético.
4 Fenómenos ondulatorios de la luz.
5 El color.
SABER HACER. Interpretar esquemas analizando la propagación de la luz.
FíSICA EN Tu vIDA. Polarizadores.
Ondas electromagnéticas
Pocos fenómenos naturales cautivan más que un espléndido arcoíris. Su explicación no es sencilla; se base en la refracción y reflexión que experimenta la luz cuando pasa desde el aire a las gotitas de agua y desde las gotitas al aire. Un fenómeno algo más difícil de ver es el arcoíris doble. En este caso, además del arcoíris principal, donde los tonos rojizos se sitúan en la parte externa y los tonos violeta en la parte interna, se observa también otro arcoíris más tenue, llamado secundario, donde los colores aparecen invertidos con respecto al arcoíris principal.
6
PARA COMENZAR
¿Qué zona del cielo aparece más clara en la imagen? Pon ejemplos de otras situaciones que permiten observar todos los colores que contiene la luz blanca. ¿Se produce refracción de la luz?
181
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CONTENIDOS
1 Óptica geométrica.
2 Imágenes por reflexión.
3 Imágenes por refracción. Refracción en lentes delgadas.
4 Instrumentos ópticos.
5 El ojo humano.
SABER HACER. Analizar sistemas ópticos formados por lentes y/o espejos. FíSICA EN Tu vIDA. Lentes para corregir defectos en la vista.
Óptica geométrica
En un telescopio el tamaño del espejo principal es la característica que marca los detalles que podrá observar. El telescopio espacial Herschel fue lanzado al espacio en 2009 para observar el universo en la zona infrarroja del espectro electromagnético. Su espejo principal mide 3,5 m de diámetro, 1 m más que el telescopio espacial Hubble. Tiene tan solo 3 mm de espesor y una masa de 315 kg. Realizó observaciones hasta junio de 2013. En un telescopio es esencial disponer todos sus elementos de manera que el enfoque sea preciso: la curvatura y el espesor de los espejos debe coordinarse de modo que las imágenes obtenidas resulten nítidas.
7
PARA COMENZAR
¿Por qué se dice que los rayos que llegan al espejo de un telescopio lo hacen desde el infinito? ¿Qué forma tiene el espejo principal que aparece en la fotografía, el de mayor tamaño? ¿Por qué se observan distorsionadas las imágenes en el espejo?
Hubble
Herschel
7 James Webb 6 5 4
3 2 1 0
Diámetro (m)
215
ES0000000019028 645259_U07_28120.indd 215 8/3/16 16:
CONTENIDOS
1 La necesidad de una nueva física.
2 La teoría de la relatividad especial.
3 La energía relativista.
SabEr haCEr: Identificar situaciones donde deben aplicarse las ecuaciones relativistas. FÍSICa EN TU VIDa: Sistemas de navegación por satélite.
Relatividad
El LHC ( Large Hadron Collider , Gran Colisionador de Hadrones) del CERN es el mayor acelerador de partículas del mundo. En su túnel circular de 27 km de longitud se aceleran protones y otras partículas hasta que alcanzan una velocidad elevadísima, solo un poco menor que la velocidad de la luz en el vacío. A continuación se hacen chocar unas partículas con otras para estudiar la estructura de la materia. En esos choques se generan nuevas partículas a partir de la energía de las partículas que colisionan, siguiendo la famosa ecuación de Einstein, E = m? c 2.
8
Para COMENZar
¿Qué representa cada una de las letras que aparecen en la fórmula de Einstein? ¿Por qué es necesario acelerar las partículas a velocidades tan altas para generar nuevas partículas de mayor masa?
247
ES0000000019028 645259_U08_28121.indd 247 9/3/16 9:
CONTENIDOS
El concepto de campo.
Campo gravitatorio
creado por masas
puntuales.
Representación
del campo gravitatorio.
Campo gravitatorio
de los cuerpos celestes.
Movimiento de planetas
y satélites.
Viajes a través
del espacio.
SABER HACER. Resolver problemas
en los que intervengan campos
gravitatorios.
FÍSICA EN TU VIDA.
Satélites meteorológicos.
Campo gravitatorio
La sonda Gaia se lanzó al espacio en 2013 para
estudiar miles de estrellas de nuestra galaxia, la Vía
Láctea. Se situó en un punto del espacio conocido
como punto de Lagrange L2, situado en la línea que
une la Tierra y el Sol, más allá de la posición ocupada
por la Tierra, a 1,5 millones de kilómetros de nuestro
planeta. Al estar en ese punto, la sonda rota
de manera sincronizada con la Tierra, de modo
que permanece sobre el mismo punto del cielo.
La ventaja es que así es más sencillo calibrar
el instrumento y, además, la sonda se encuentra
protegida de la radiación solar, pues los instrumentos
pueden permanecer siempre orientados
en la dirección opuesta al Sol.
PARA COMENZAR
¿Se anula la fuerza gravitatoria
ejercida por el Sol y la Tierra
en el punto L2?
¿Y en algún punto situado
en la línea que une el Sol
y la Tierra?
¿Entonces, por qué permanecerá
estacionaria la sonda Gaia en L2?
Sol
Tierra
Luna
L 2
REPASO
- Magnitudes vectoriales
Son aquellas cuya definición requiere indicar el módulo
(la cantidad), la dirección y el sentido, como v o F.
Se expresan en función de componentes: A A i A j x y
= +
Cálculo del módulo:
A A A x y
2 2
= +
- Producto de vectores
Se pueden multiplicar de dos formas:
Producto escalar de vectores
Dados dos vectores A y B , su producto escalar A? B es
un escalar, cuyo valor es:
A? B = A? B ?cos a
a es el ángulo que forman los vectores.
El producto escalar de dos vectores perpendiculares es
cero porque cos 90° = 0.
Producto vectorial de vectores
Dados dos vectores A y B , su producto vectorial A # B
es un vector C , con las siguientes características:
● Módulo:
A? B = A? B ?sen a
a es el ángulo que forman los vectores.
● Dirección: es perpendicular a A y B.
● Sentido: viene determinado por la regla de la mano
derecha o del tornillo. Coincide con el sentido de un
tornillo que gire como si el primer vector se acercase
al segundo por el camino más corto.
El producto vectorial de dos vectores paralelos es cero
porque sen 0° = 0.
- La derivada de una función
Dada una función y = f ( x ), la derivada de y con respecto
a x ,
dx
dy
e o, representa:
D
D
dx
dy
x
y
lím
Dx 0
=
● Derivada de la función constante:
Sea y = K (constante) "
dx
dy
= 0
● Derivada de la función producto por un número real:
Sea y = K? x "
dx
dy
= K
● Derivada de la función potencial:
Sea y = x
n
" ?
dx
dy
n x
n 1
- Derivada de un producto de funciones
vectoriales
d ( A? B ) = dA? B + A? dB
d A ( # B ) = dA # B + A # dB
Aplicación: vamos a demostrar que r? dr = r? dr
r? r = r? r? cos 0 °= r? r
d r (? r )= dr? r + r? dr = 2 r? dr [1]
d r (? r ) = d r (? r ) = dr? r + r? dr = 2 r? dr [2]
Igualando [1] y [2]:
2 r? dr = 2 r? dr r? dr = r? dr "
- La integral de una función
La integral de una función f es otra función que, derivada,
nos da la función f. Para una función x :
dx = x +cte. y
Obtenida la función integral, se puede calcular el valor
de la integral definida entre dos límites. Es el valor de la
función para el límite superior menos el valor de la fun-
ción para el límite inferior:
dx [ ] x [ ] x
f i
i
f
= - y
● Integral indefinida de una constante:
k? dx = k? x +cte. y
● Integral indefinida de una potencia:
x? dx
n
x
1
cte.
n
n 1
=
y , si n! - 1
● Integral indefinida de la función inversa:
?
x
dx x
1
= ln +cte. y
Matemáticas
PRACTICA
1. Calcula:
dr
d
r
e o =
Solución:
r
2
2. Calcula:?
r
dr
r
2
3
y
Solución:
r
El concepto de campo 1
Un cuerpo que se deja libre próximo a la superficie de la Tierra cae hacia
ella. Decimos que la Tierra ejerce atracción gravitatoria sobre el cuerpo.
Cuerpos cargados, separados una cierta distancia, se atraen o se repelen
dependiendo del signo relativo de sus cargas. Los imanes se atraen o se
repelen, según la orientación de sus polos.
Las interacciones gravitatoria, eléctrica y magnética se propagan a distan-
cia. Los cuerpos implicados en la interacción no necesitan estar en contacto.
Para explicar formalmente esta interacción a distancia que se producía en-
tre cuerpos que tenían una propiedad común, Michael Faraday (1791-1887)
acuñó el concepto de campo en 1831. Lo aplicó a la interacción entre cuer-
pos cargados eléctricamente e ideó las líneas de campo para explicar
cómo se transmitía la interacción entre uno de los cuerpos y los otros que
se encontraban en distintos puntos del espacio.
Para explicar la acción a distancia los científicos supusieron la existencia de
un éter que llenaba el espacio y que transmitía la interacción entre los cuer-
pos. La idea del éter se mantuvo vigente hasta que las experiencias realiza-
das por Albert A. Michelson (1852-1931) y Edward Morley (1838-1923)
en 1887 pusieron en duda su existencia, y fue el propio Albert Einstein
(1879-1955) quien, en sus trabajos de 1905, demostró que su existencia no
era necesaria. Einstein justificó que el cuerpo causante de la perturbación
provocaba distorsiones espacio-temporales en la región circundante del es-
pacio y son estas distorsiones las que propagan la perturbación ( F Figura 1.1).
Desde entonces, el concepto de campo se ha generalizado para estudiar
cualquier interacción que se extienda a una región del espacio.
Llamamos campo a una región del espacio en la que se aprecia
el efecto de la perturbación provocada por un cuerpo que tiene
una propiedad que le hace interaccionar con otros cuerpos
que también tienen esa propiedad.
El cuerpo que origina la perturbación crea distorsiones
espacio-temporales que causan interacciones entre cuerpos
que no están en contacto.
Un cuerpo que tiene masa interacciona con otros que también tienen
masa. Un cuerpo que tiene carga interacciona con otros que también tie-
nen carga, etc.
Para definir un campo se utilizan magnitudes que adquieren un valor con-
creto en cada punto del espacio y en el tiempo. Dependiendo de cómo sea
la magnitud que define la perturbación tenemos:
- Campos escalares. Si la magnitud que mide la perturbación es esca-
lar. Por ejemplo, un campo de temperaturas ( F Figura 1.2) o de presiones,
donde basta un número para determinar el valor del campo en un punto
del mismo.
- Campos vectoriales. Si la magnitud que mide la perturbación es
vectorial. Por ejemplo, un campo de fuerzas gravitatorias o eléctricas
( F Figura 1.3). En este caso, el valor del campo viene determinado por
un vector.
Figura 1.1. Según la teoría de Einstein,
la masa del Sol y de la Tierra deforman
el espacio que les rodea. Esta deformación
hace que ambos cuerpos se atraigan
y que atraigan a otros que se les aproximen.
Figura 1.2. La termografía de la mano
muestra la temperatura de cada
punto de la misma. Es la representación
de un campo escalar , ya que la
temperatura es una magnitud escalar.
Sol
Tierra
Figura 1.3. Representación del campo
creado por una distribución de cargas
eléctricas. Su valor en cada punto
representa la fuerza que actúa sobre
la unidad de carga en ese punto.
Es un campo vectorial , ya que
la fuerza es una magnitud vectorial.
Campo gravitatorio creado por masas
puntuales
2
Campo gravitatorio es la región del espacio en la que se aprecia
la perturbación provocada por la masa de un cuerpo.
Para que se ponga de manifiesto es necesario introducir en el campo otro cuer-
po con masa. La interacción que se origina es una fuerza de atracción gravita-
toria entre el cuerpo que crea el campo y el que se introduce en él.
Comenzaremos este estudio calculando el campo gravitatorio creado por
masas puntuales; es decir, supondremos que el o los cuerpos que crean el
campo son puntos, sin dimensiones, que tienen una masa M.
También se puede aceptar esta aproximación cuando el tamaño de los cuer-
pos es mucho menor que el de la distancia entre ellos. Por ejemplo, los
planetas se pueden considerar masas puntuales en su interacción con el Sol.
2.1. Intensidad del campo gravitatorio en un punto
Campo creado por una masa puntual M
Supongamos que en un punto del espacio existe un cuerpo de masa M.
En otro punto, cuya posición respecto a M viene definida por el vector r ,
existe otro cuerpo de masa m. Entre ambos cuerpos aparece una fuerza de
atracción gravitatoria que podemos escribir como:
?
?
F G?
r
M m
u G r 2
= -
● G es la constante de gravitación universal, G = 6,67? 10
N? m
2
/kg
2
.
● u r es un vector unitario en la dirección y sentido de r.
Llamamos intensidad del campo gravitatorio en un punto, g ,
a la fuerza que una masa M ejerce sobre un cuerpo de masa unidad
colocado en ese punto. Es una magnitud vectorial, cuyo valor es:
? u
??
?
g?
m
F
m
r
G M m
g
r
G M
u
G
r 2
2
r
= =
=
"
Como la fuerza gravitatoria es de atracción, g y u r
tienen la misma dirección
y sentidos opuestos ( F Figura 1.4), de ahí el signo negativo en la fórmula. En
el sistema internacional, g se mide en N/kg o en m/s
2
.
Con frecuencia llamamos peso a la fuerza de atracción gravitatoria. Un
cuerpo que cae libremente bajo la acción de la fuerza peso se mueve con un
movimiento uniformemente acelerado; el valor de su aceleración es g.
De acuerdo con esto, la intensidad del campo gravitatorio en un punto, g , es
también la aceleración de caída libre de los cuerpos que se mueven bajo la
acción de la fuerza gravitatoria.
F m? g G =
Figura 1.4. g y r ( u )
r
tienen la misma
dirección y sentidos opuestos, r (morado)
va de la masa M al punto P, mientras
que g (rojo) tiene su origen en P.
M
P
r
g
u
r
Campo gravitatorio 1
2.2. Trabajo debido a las fuerzas gravitatorias
Cuando un cuerpo de masa m se mueve en el seno del campo gravitatorio
creado por otro cuerpo de masa M se realiza un trabajo, ya que el desplaza-
miento tiene lugar bajo la acción de una fuerza, la fuerza gravitatoria.
Recuerda
Cálculo del trabajo
Como vimos el curso anterior, cuando un cuerpo experimenta un desplazamiento
bajo la acción de una fuerza constante se realiza un trabajo cuyo valor se calcula
multiplicando la fuerza por el desplazamiento (
F
Figura 1.6) :
W F? r
i f
= D
"
Si la fuerza no es constante, solo podremos calcular el trabajo en un desplazamiento
infinitesimal, en el que se considera que la fuerza es constante ( F Figura 1.7) :
dW = F? d r
Para calcular el trabajo que se realiza cuando se produce un desplazamiento
entre dos puntos cualesquiera debemos sumar todos los trabajos infinitesimales
entre ambos. Matemáticamente esa suma es la integral:
W F? d r
i f
i
f
" y
Como su valor cambia en cada punto, utilizamos el cálculo integral:
?
???
?
??
W F dr?
r
G M m u
r
r
G M m
d dr i f
i
f
r
i
f
i
f
2 2
= = - = - " y y y
(1)
(1) u r es un vector unitario en la dirección y sentido de r. Se puede demos-
trar que u? d r dr r =.
??????
????
W G M m
r
dr
G M m
r r
G M m
r
1 G M m
i f
i
f
f i i
f
2
= - = = - "
= G y
El campo gravitatorio es un campo conservativo porque el trabajo
realizado por las fuerzas del campo gravitatorio depende solo
del punto inicial y final del desplazamiento, y no de la trayectoria
seguida ( F Figura 1.8).
????
W
r
G M m
r
G M m
i f
f i
= - "
[1]
La fuerza gravitatoria es una fuerza central , ya que está dirigida hacia el
centro, y su módulo depende de la distancia al centro. Podemos generalizar
y decir que el trabajo debido a una fuerza central es conservativo.
En consecuencia:
- El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio a lo largo de una
trayectoria cerrada es cero.
- Si r f < r i " W
i"f
> 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio
es positivo cuando el cuerpo se acerca a la masa que crea el campo.
- Si r f
> r i " W
i"f
< 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio
es negativo cuando el cuerpo se aleja de la masa que crea el campo.
Esto es debido a que las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas
y cualquier cuerpo que quede libre se acercará al que crea el campo.
Figura 1.6. El trabajo es el área
sombreada en la figura (rectángulo).
F
x
W
x
1
x
2
x
W
F
= F
x
? (x
2
) = F
x
? Dx
Figura 1.7. El trabajo es la suma de las
áreas de los rectángulos para aproximar
el área encerrada por la curva.
F
x
x
1
x
2
x
dW = F? dr
"
W = F? dx
yx
Figura 1.8. El trabajo de la fuerza
gravitatoria depende únicamente del punto
inicial y final; no de la trayectoria.
M
Punto final
Punto inicial
F
f
F
i
r
i
r
f
HERRAMIENTAS
MATEMÁTICAS
r? dr [ r ]
r r r
A
B
A
B
A
B
B A
2 1
= G
y
Campo gravitatorio 1
Ejemplo de fuerza conservativa
Observa la figura. Podemos ir del punto P al Q por cualquiera de los dos
caminos señalados. En ambos casos la diferencia de altura es la misma,
pero el camino recorrido es distinto.
Figura 1.9. En cada paso se produce
un desplazamiento en horizontal (D x )
y otro en altura (D h ). La fuerza peso es
perpendicular al desplazamiento
horizontal, por eso no realiza trabajo
en ello. El trabajo de la fuerza peso
depende solo del desplazamiento
en altura.
Q
Q
Q
Camino 1
Subida
camino 2
Subida
camino 1
Bajada
camino 1
Bajada
camino 2
Camino 2
P
P
P
Para subir la diferencia de altura debemos realizar un trabajo en contra de
nuestro propio peso, y para recorrer el camino debemos vencer el roza-
miento con el suelo.
El peso es una fuerza conservativa, pues el trabajo necesario para vencerlo
solo depende del punto inicial y el final, mientras que el rozamiento es una
fuerza no conservativa, pues el trabajo necesario para vencerlo depende del
camino.
Si completamos la ruta para volver al punto de partida P, el trabajo total debido
a la fuerza peso es nulo. En cambio, el trabajo de la fuerza de rozamiento no es
nulo, ya que debemos vencerla tanto en el paso de P a Q como en el inverso.
EJEMPLO RESUELTO
2 Una masa de 50 kg está situada en el punto (0, 0) m
y otra de 30 kg en el punto (3, 0) m.
a) En qué punto (o puntos) del plano XY el campo
gravitatorio resultante es nulo.
b) Calcula el trabajo necesario para trasladar la esfera
de 30 kg hasta el punto (5, 0) m. Interpreta
el resultado obtenido.
Dato: G = 6,67? 10
- 11
N? m
2
/kg
2
Representa el problema gráficamente:
A(0, 0) B(3, 0)
C(5, 0)
d
1
M
1
Y
X
M
2
g
1
g
2
d
2
a) Se trata de encontrar un punto en el que g 0
Total
De acuerdo con el principio de superposición:
g g g
Total 1 2
"
g g 0
1 2
"
Analiza la representación, observa que el punto que
buscas está en la línea que une M
1
y M
2
El dibujo nos ayuda a expresar vectorialmente g
1
y g
2
No olvides expresar todas las magnitudes en unidades
del sistema internacional.
●
g?
r
G M
u
1 r
1
2
1
1
●
g?
r
G M
u
2 r
2
2
2
2
g
d d
i i
kg
N
1
1
2
11
1
2
9
g
d d
i i
kg
N
2
2
2
11
2
2
9
Resuelve teniendo en cuenta que:
g g
d d
i 0
kg
N
i
kg
N
1 2
1
2
9
2
2
9
"
d
d
d
d
1 6 7 1 67 1 29 d 1 29 d
2
2
1
2
2
1
1 2 = " = = " =
Como la distancia entre las dos masas es de 3 m,
sustituye y calcula:
d
1
+ d
2 = 3 " 1 29,? d d 3 2 2
= 1,31 m
d
1 = 3 - 1,31 " d 1
= 1,69 m
b) Utiliza la expresión para calcular el trabajo
en un campo gravitatorio:
W
r
G M M
r
G M M
i f
f i
1 2 1 2
"
W 6 67,? 10? 50? 30?
B C
11
"
e o
W 1,33? 10 J
B C
8
"
Interpretación: el trabajo es negativo, es decir, para que
el cuerpo M
2
se desplace de B a C hay que realizar
un trabajo en contra de las fuerzas del campo.
C está más alejado de M
1
que B. Las fuerzas del campo
acercarán M
2
a M
1
h
f
h
i
P
¿De dónde viene E P = m? g? h****?
Hasta ahora, cuando un cuerpo se encontraba a una altura h de la superficie
de la Tierra tenía una energía potencial E P
= m? g? h. ¿Qué relación tiene
esta expresión con lo que acabamos de deducir para el campo gravitatorio?
Sea un cuerpo que se encuentra sobre la superficie de la Tierra y asciende a
una altura h. La diferencia de energía potencial en ambos puntos es:
E E E G? M? m????
R h
G M m
R
1 1
P P h Psuelo T
T
T
T
D = - = -
e o - -e o=
??????
?
??
( )?
( )
( )
G M m
R R h
G M m
R R h
R h R
G M m
R R h
1 1 h
T
T T
T
T T
T T
T
T T
=
=
e o
Si consideramos que el punto está próximo a la superficie de la Tierra:
h << R T
y R T
; g G?
R
M
T
T
2
=
La expresión se convierte en:
E G? M? m???
R
h
E m g h P T
T
P 2
D = D = " ( F Figura 1.11)
Figura 1.11. Para pequeñas distancias
sobre la superficie de la Tierra se puede
considerar que la E
P
varía linealmente
con la altura ( E
P
= m? g? h ). A mayores
distancias, la E
P
varía con el inverso
de la distancia r y se hace nula en el infinito.
E
P
( r )
E
P
= m? g? h
R
T
r
▶
g
En la figura 1.12 vemos la similitud entre
ambas formas de expresar la energía po-
tencial. La diferencia está en el punto que
tomamos como referencia para considerar
que un cuerpo tiene energía potencial cero.
● Si ese punto es la superficie de la Tierra,
a medida que se aleja de ella el cuerpo
tendrá una energía potencial cada vez
mayor y positiva.
● Si ese punto es el infinito, el cuerpo ten-
drá siempre energía potencial negativa y
de valor cada vez menor a medida que
nos alejamos de la superficie de la Tierra.
En cualquier caso, el cuerpo gana ener-
gía potencial a medida que se aleja de
la superficie de la Tierra.
EJEMPLO RESUELTO
La estación espacial MIR orbitaba laTierra a unos
400 km de su superficie. Calcula la variación de E
P
que
experimentó cuando pasó de estar preparada para su
lanzamiento, a 10 m del suelo, a estar en el espacio.
Datos: G = 6,67? 10
- 11
N? m
2
? kg
- 2
; R
T
= 6370 km;
m = 2 kg; M
T
24
kg; g = 9,8 m? s
- 2
Haz el cálculo con las dos expresiones estudiadas.
Utiliza unidades del SI para cada magnitud.
E ( ) r
r
G M m
T
P
E
P
= m? g?
E
P
= m? g? h
E
P
R
T
h
r
E
G M m
P
E
r
G M m
R h
G M m
P
T
E
R
G M m
P
T
Figura 1.12.
Interpretación: observa que el cálculo de la izquierda tiene el error de suponer que g = 9,8 m? s
a cualquier distancia, cuando en realidad g solo tiene ese valor en la superficie de la Tierra.
E P
= m? g? h
E
R h
G M m
P
T
A 10 m E P A = 2? 9,8? 10 = 196 J
?
????
?
( )
, ,
E ,
6370 10 10
6 67 10 5 98 10 2
125 23 10 J 3
11 24
6
P A = -
= -
A 400 km E P B = 2? 9,8? 400? 10
3 = 7,84? 10
6 J
?
????
?
( )
, ,
E ,
6370 400 10
6 67 10 5 98 10 2
117 83 10 J P B 3
11 24
6
= -
= -
D E P E P B
= 7,84? 10
6
6 J E P B
= - 117,83? 10
3
6 ) = 7,40? 10
6 J
2.4. Conservación de la energía mecánica
en un campo gravitatorio
El curso pasado veíamos el teorema de las fuerzas vivas, que nos dice que
el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo provoca una va-
riación en su energía cinética.
W E E E i f C C f Ci = D = - " [3]
Por trabajo total entendemos el trabajo de todas las fuerzas, tanto las fuer-
zas conservativas como las fuerzas no conservativas (por ejemplo, las fuerzas
de rozamiento).
Si nuestro sistema se ve sometido solo a la acción de fuerzas conservativas
(por ejemplo, a la acción de fuerzas gravitatorias):
W W W
W E 0 E E
i f conservativas no conservativas
i f P P i P f D
= +
= - + = -
"
"
"
" [4]
Relacionando las expresiones [3] y [4]:
E E E E C f Ci P i P f
Esta expresión es el teorema de conservación de la energía mecánica.
Teorema de conservación de la energía mecánica: cuando
un sistema se ve sometido solo a la acción de fuerzas conservativas,
su energía mecánica se conserva ( F Figura 1.13).
E E E E E C f P f Ci P i M
EJEMPLO RESUELTO
Un meteorito de 200 kg que se dirige en caída libre
hacia la Tierra tiene una velocidad de 10 m/s
a una altura h = 750 km sobre la superficie terrestre.
Determina el peso del meteorito a dicha altura
y la velocidad con la que impactará sobre la superficie
terrestre despreciando la fricción con la atmósfera.
Datos: G = 6,67? 10
- 11
N? m
2
? kg
- 2
M
T
24
kg; R
T
= 6 370 km.
Expresa todas las magnitudes en unidades del SI.
El peso coincide con el valor de la fuerza gravitatoria
que la Tierra ejerce sobre él:
P = F
G
( R h )
G M m
T
T
2
P
3 2
11 24
= 1573,6 N
La energía mecánica del meteorito se conserva, ya que
solo está sometido a la fuerza gravitatoria:
E E E E
C i P i C f P f
m
2
3
11 24
v
2
3
11 24
"
v
3 632 m/s
4 10 10
"
Figura 1.13. Si no existiese rozamiento,
el movimiento sería infinito, yendo de un
lado a otro de la pista constantemente,
ya que la energía potencial se estaría
convirtiendo en cinética, y viceversa.
La fuerza de rozamiento es una fuerza
no conservativa.
HERRAMIENTAS
MATEMÁTICAS
Teorema de las fuerzas
vivas
Cuando un cuerpo se desplaza bajo
la acción de una o más fuerzas:
W F? d r m? a? d r
i f
i
f
i
f
" y y
m??
dt
d v
d r
i
f
y
W m? v? d v m? v? dv
i f
i
f
i
f
" y y
m? v
2
f
m? v
2
i
Fuerzas conservativas
Las fuerzas conservativas se llaman
así porque, cuando son las únicas
que actúan sobre un sistema, se
conserva la energía mecánica
del mismo.
Campo gravitatorio 1
Diferencia de potencial
Si consideramos dos puntos de un campo gravitatorio, i y f ,
denominamos diferencia de potencial entre ambos a la relación
V f
:
??
V V V V
r
G M
r
G M
f i
f i
D = - " D = - - -e o
La diferencia de potencial gravitatorio entre dos puntos es igual y de signo
contrario al trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar la uni-
dad de masa entre esos puntos:
?????
??
( )
m
W
m
F
dr G M
r
dr
G M
r
r
G M
r
G M
V V V
m
W
V
1 i f G
i
f
i
f
i
f
f i
f i
i f
2
D D
= = - = =
= - = - - = - = -
"
"
"
= G y y
● Si r i
> r f
, D V < 0. El potencial disminuye al acercarse al cuerpo que crea
el campo.
● Si r i
< r f
, D V > 0. El potencial aumenta al alejarse del cuerpo que crea el
campo.
EJEMPLO RESUELTO
Dos masas puntuales de 300 kg cada una
se encuentran situadas en los vértices opuestos
de un cuadrado de 10 m de lado:
a) Dibuja y calcula el campo gravitatorio producido
por estas dos masas en otro de los vértices
del cuadrado.
b) Halla el potencial gravitatorio debido a las dos
masas en el punto central del cuadrado.
Dato: G = 6,67? 10
- 11
N? m
2
/kg
2
Representa el problema gráficamente:
a) Calcula el campo en el punto P. De acuerdo
con el principio de superposición:
g g g
Total 1 2
El dibujo te ayuda a expresar vectorialmente g
1
y g
2
●
g?
r
G M
u
1 r
1
2
1
1
●
g?
r
G M
u
2 r
2
2
2
2
g ,
m
kg
N m
kg
i i
kg
N
1 2 2
11
2
2
10
g ,
m
kg
N m
kg
j j
kg
N
2 2 2
11
2
2
10
g
Total
= 2 00,? 10 i 2 00,? 10 j
kg
N
10 10
- - - -
b) Para calcular el potencial en el punto C utiliza
el principio de superposición:
V V V
T 1 2
Las dos masas se encuentran a una distancia de C
igual a la mitad de la diagonal del cuadrado:
r ,
D
7 07 m
2 2
V
r
G M
kg
N m
kg
kg
J
m
1
1
1
11
2
2
9
V V V 2? V 2? ( 2 83,? 10 )
T 1 2 1
9
"
V
T
kg
J
9
-
Interpretación: el potencial gravitatorio en un punto
siempre es un número negativo.
m
1
m
2
10 m
10 m
P
g
1
g
2
c
Campo gravitatorio 1
En resumen
Existen dos magnitudes para describir el campo gravitatorio y otras dos
magnitudes para describir la interacción del campo gravitatorio con una
partícula.
Magnitudes que describen el campo gravitatorio Magnitudes que describen la interacción gravitatoria
Intensidad de campo
(función vectorial de punto)
?
g?
m r
G M
u
F G
r 2
= = - Fuerza gravitatoria?
??
m g?
r
G M m
F G u r 2
= = -
Potencial
(función escalar de punto)
?
V
m
E
r
G M P
= = - Energía potencial?
??
E m V
r
G M m
P = = -
En cada caso podremos hacer una descripción dinámica, por medio de las
magnitudes g y F G , o una descripción energética, por medio de las magni-
tudes V y E P
. Los detalles del problema que se nos presente nos llevarán
a realizar el estudio mediante las magnitudes vectoriales o las escalares.
Además, partiendo de las magnitudes que describen la interacción gravitato-
ria se puede establecer una relación entre las dos magnitudes que describen
el campo:
W F? dr ( E E ) i f
i
f
P f P i = = - - " y
m
F
dr
m
E
m
E
i
f
p f p i
" = - - e o y "
" g? dr ( V V )
i
f
f i = - - y
Podemos llegar a esta misma conclusión desarrollando la primera parte de
la igualdad, teniendo en cuenta las definiciones y las herramientas matemá-
ticas que empleamos en los apartados anteriores.
g? dr G???????
r
M
u dr G M
r
dr G M
r
1 1
r
r
r
2 2
i
f
= - = - = -> e- oH = y y y
G? M? ( )? ( )
r r
V V g dr V V
1 1
f i
f i f i
= - = - - = - - " e o y
Campo creado por varias masas puntuales
Cuando en una región del espacio se superpone el campo creado por un
conjunto de masas puntuales, M 1
, M 2
, M 3
, lo más adecuado es calcular el
campo total y el potencial total en un punto, y utilizar este valor para calcu-
lar la fuerza gravitatoria o la energía potencial que actúan sobre una par-
tícula m colocada en ese punto.
Magnitudes que describen el campo gravitatorio Magnitudes que describen la interacción gravitatoria
?
?
?
?
?
g?
r
G M
u
r
G M
u
r
G M
u Total r r r
1
2
1
1
2
2
2
3
2
3
3 2
= - - - Fuerza gravitatoria F m? g G Total
=
???
V
r
G M
r
G M
r
G M
T
1
1
2
2
3
3
= - - - Energía potencial E m? V P T =
Trabajo en un
desplazamiento
W ( E E ) m ?( V V ) i f P f P i T f T i = - - = - - "
