¡Descarga Guía de ejercicios de integrales y más Ejercicios en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!
José Luis Quintero correo electrónico: [email protected] página web: www.joseluisquintero.com
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
Departamento de Matemática Aplicada
Cálculo II (0252) – Semestre 1-
Profesor: José Luis Quintero
Marzo 2018
FACULTAD DE INGENIERÍA
Integral Indefinida o Antiderivada
1. Compruebe los siguientes resultados aplicando las
propiedades de la integral y/o ciertos cálculos
algebraicos:
1.1.
4 3 2
x (a b)x abx
x(x a)(x b)dx C
4 3 2
1.2.
2
2x x
( x 1)(x x 1)dx x C
5
1.3.
7/
4 3
x x 4x
dx C
7
x
= +
1.4.
2 2 4 3 23
3
3 2
(x 1)(x 2) 3x x 3x x
dx 6 x C
13 7
x
= − − +
1.5.
m n 2 2m m n 2n
(x x ) 2x x 4x x 2x x
dx C
x 4m 1 2m 2n 1 4n 1
−
= − + +
1.6.
4 3
2
2
x 2x x
dx x ln(x 1) arctg(x) C
3 x 1
= − + + + +
1.7.
3 2 3
x 3x 3x 1 (x 1)
dx C
x 1 3
− + − −
= +
1.8.
2x x x
x 1
a a 1 a 1
dx. x C
a ln(a) a a
= + +
1.9.
3 2 3 2
2
3 x 3 6
2 x dx 2 x x x C
x x 5 x
− + = − − + +
1.10.
x
x
x
2 ln(2)
dx ln(2 1) C
2 1
= + +
1.11.
2
2
2x 1
dx ln x x C
x x
= + +
1.12.
2x x
x
x
e e sen(x)
dx e cos(x) C
e
−
= + +
1.13.
3 2 5 3
6
2 x dx x C
5
= +
1.14.
n
n 1
2 x
x dx 2ln x C (n 0)
x n
−
1.15.
3
1 3
x 3
dx x C
4x 4
= +
1.16.
a
a
2
e
dx e arctg(x) C
1 x
= +
1.17.
3
x
dx arctg(x) C
x x
= +
1.18.
2x x 2 x
x
a a sec (x) a
dx tg(x) C
ln(a)
a
= + +
1.19.
2
tg (x)dx = tg(x) − x +C
1.20.
2 4
x
dx arcsen(x) C (x 0)
x x
= + >
−
2. Halle una función G cuya tangente tenga como
pendiente 2x para cada x, y que su gráfico pase por el
punto (1, −1).
3. Compruebe los siguientes resultados usando el
cambio de variable necesario:
3.1.
2
1 1 3x
dx arcsen C
3 2
4 9x
= +
−
3.2.
2
3
3
x 2
dx 1 x C
3
1 x
= + +
3.3.
2
3
( x 2) 2
dx ( x 2) C
9 3 x
= + +
3.4.
3 3
x 2 x
3e x dx = e +C
3.5.
dx
ln ln(x) C
x ln(x)
= +
3.6.
5 6
(ln(x)) (ln(x))
dx C
x 6
= +
3.7.
3 2 4
1
tg (x)sec (x)dx tg (x) C
4
= +
3.8.
2
4
x 1
dx arctg(x ) C
2 1 x
= +
3.9.
2
2
x 1 16
dx 3x 4 8ln 3x 4 C
27 3x 4 (3x 4)
= + − + − +
3.10.
12
10 11
(x 2) 3
(x 2) (x 1)dx (x 2) C
12 11
3.11.
2x
2x
10
10 dx C
2ln(10)
−
−
= − +
3.12.
2x
2x 2 2x
e 1
dx C
(1 e ) 2(1 e )
= − +
3.13.
2
1 1 x
dx arctg C
x 11 11 11
= +
3.14.
sen( x)
dx 2 cos( x) C
x
= − +
3.15.
1 x
1 x
2
e
dx e C
x
= − +
3.16.
1
dx ln 1 ln(x) C
x(1 ln(x))
= + +
3.17.
2 2
4sen(x)cos(x)
dx ln cos(2x) C
cos (x) sen (x)
= − +
−
3.18.
2
2 2
2x
dx ln(ln(x 5)) C
(x 5)ln(x 5)
= + +
3.19.
2 2 2
2x 1 1
dx C
2
(2x 3) 2x 3
= − +
− −
3.20.
2 2 2
2
2 2 2
x a b x
dx C (b 0)
b a b x
= + ≠
3.21.
n 1
n
(ax b)
(ax b) dx C (a 0) (n 1)
a(n 1)
3.22.
cos(x) 1
dx ln 1 2sen(x) C
1 2sen(x) 2
= + +
3.23.
2
x ln(x) ln (x)
dx 2 x C
x 2
= + +
3.24. 2 2 2
2 2 2
ax b 1 1 ax
dx ln(a x b ) arctg C (a 0, b 0)
2a a b a x b
= + + + ≠ ≠
3.25.
2
3 6
6
x 1
dx ln x x 1 C
3
x 1
= + − +
−
3.26.
3
2
arcsen(x) 2
dx (arcsen(x)) C
3 1 x
= +
−
3.27.
2
2 2
dx
2 ln(x 1 x ) C
(1 x )ln(x 1 x )
= + + +
3.28.
2 2
x x
1
x.7 dx 7 C
2ln(7)
= +
3.29.
sen(log(x))
dx ln(10) cos(log(x)) C
x
= − +
3.30.
arctg(x) 2 2 2
arctg(x)
2
e x ln(1 x ) 1 ln (1 x )
dx e arctg(x) C
1 x 4
= + + +
4. Compruebe los siguientes resultados aplicando el
método de integración por partes:
4.1.
x x
x
2
xa a
xa dx C (a 0 , a 1)
ln(a)
(ln(a))
= − + > ≠
4.2.
ax
ax
2 2
e
e sen(bx)dx (asen(bx) b cos(bx)) C (a,b 0)
a b
= − − + ≠
∫
4.3.
3
2 3
x 1
x ln(x)dx ln(x) x C
3 9
= − +
4.4.
2
1 1 1
xarctg(x)dx x arctg(x) x arctg(x) C
2 2 2
= − + +
4.5.
2 2
x sen(x)dx = −x cos(x) + 2xsen(x) + 2 cos(x) +C
∫
4.6.
n n n 1
(ln(x)) dx x(ln(x)) n (ln(x)) dx , n N
−
= − ∈
∫ ∫
4.7.
3 3 2
(ln(x)) dx = x(ln(x)) − 3x(ln(x)) + 6x ln(x) − 6x +C
∫
4.8. n n 2 n 2
1 n 2
sec (x)dx sec (x)tg(x) sec (x)dx , n N , n 2
n 1 n 1
− −
−
= + ∈ ≥
4.9. arctg( x)dx = (1 + x)arctg( x) − x +C
4.10.
2
ln(x) ln(x) 1
dx C
x x
−
= − +
4.11.
2
5 2 3 2
x 2
dx (3 x) 4(3 x) 18 3 x C
3 x 5
= − − + − − − +
−
∫
4.12.
2
x 1 x x 1 x
x arccos dx arccos 1 x arcsen C
2 2 2 2 4 2
= − − + +
∫
4.13.
2 2
2
ln(x 1) ln(x 1)
dx 2arctg(x) C
x x
= − + +
4.14.
x x
2
xe dx e
C
x 1 (x 1)
= +
4.15.
2 2
1 1 1
xarcsen(x)dx x arcsen(x) x 1 x C
2 4 4
= − + − +
∫
4.16.
3 2 5 2
2 4
x x 1dx x(x 1) (x 1) C
3 15
− = − − − +
4.17.
2 2
1 1 1
x cos (x)dx x xsen(2x) cos(2x) C
4 4 8
= + + +
4.18.
2 2
1 1
x ln(x 2)dx x ln(x 2) (x 2) 2(x 2) 2 ln x 2 C
2 4
∫
4.19.
n 1
n
a 2
x ( 1 ln(x) nln(x))
x log (x)dx C (a 0,a 1)
(1 n) ln(a)
− + +
= + > ≠
∫
4.20.
3
2 2 2
2
x 1 2
dx x x 1 x 1 C
3 3
1 x
= + − + +
4.21.
x x
arcsen dx xarcsen 2 x 2arctg( x) C
x 1 x 1
= − + +
∫
4.22.
2 2 3 8
1 1 1 1
x sen (x)dx x x sen(2x) x cos(2x) C
6 4 8 4
= − − − +
∫
4.23.
2 x x 1 x 1
2 x
2 3
x 2 2 x 2
x 2 dx C
ln(2)
ln(2) ln(2)
= − + +
4.24.
5
3
3 2 3
x 1 1
dx ln(x 1) C
3 (x 1) 3(x 1)
= + − +
4.25.
x cos(2x) sen(2x)
xsen(x) cos(x)dx C
4 8
= − + +
5. Obtenga una fórmula de reducción integrando una vez
por partes:
5.1.
n
x sen(ax)dx
5.3.
n ax
(x +b) e dx
5.2.
n
x cos(ax)dx
5.4.
n
2
x
dx
1 −x
6. Aplicando las fórmulas obtenidas anteriormente
calcule las siguientes integrales:
6.1.
4
x sen(4x)dx
6.3.
4 8x
(x +2) e dx
6.2.
4
x cos(4x)dx
6.4.
5
2
x
dx
1 −x
7. Demuestre que si P(x) es un polinomio de grado n
con coeficiente principal o de mayor grado igual a 1,
entonces
ax n
ax
2 3 n
e P '(x) P ''(x) P '''(x) ( 1) n!
e P(x)dx P(x) ... C
a a a a a
−
= − + − + + +
8. Aplicando la fórmula obtenida anteriormente calcule
las siguientes integrales:
8.1.
3 2x
(1 x )e dx
−
8.3.
3 3x
(x + x −1)e dx
8.2.
4 x
(x 1) e dx
−
9. Demuestre que
ax
ax
2 2
e [b.sen(bx) a.cos(bx)]
e cos(bx)dx C
a b
= +
con a, b, c, constantes reales no nulas.
10. Sean
sx
A = e cos(tx)dx
y
sx
B = e sen(tx)dx
.
Demuestre que
sx
sB + tA = e sen(tx) + C.
11. Calcule
17.5.
3 3 5 3
1 1
tg (x)sec (x)dx sec (x) sec (x) C
5 3
= − +
17.6.
2
2 2
tg(x) 1 sec (x)
dx ln C
4 1 tg (x) 1 tg (x)
= +
− −
17.7.
2 2
1 1 tg(x) 2
dx ln C
sen (x) 2 cos (x) 2 2 tg(x) 2
−
= +
− +
17.8.
x
2
x
2
tg( ) 2 5
1 1
dx ln C
2sen(x) cos(x) 5 tg( ) 2 5
= +
−
17.9.
1 1
sen(4x)cos(5x)dx cos(9x) cos(x) C
2 9
= − + +
17.10.
1 1
cos(2x)cos(3x)dx sen(x) sen(5x) C
2 5
= + +
17.11.
2 2
1 1 sen(4ax)
cos (ax)sen (ax)dx x C
8 32 a
= − +
17.12.
6 5 3
1 1
tg (2x)dx tg (x) tg (x) tg(x) x C
5 3
= − + − +
17.13.
4
3 1 1
sen (x)dx x sen(2x) sen(4x) C
8 4 32
= − + +
17.14.
2
(sec(x) + csc(x)) dx = tg(x) − ctg(x) + 2ln(tg(x)) +C
∫
17.15.
1 1
cos(4x) cos(5x)dx sen(x) sen(9x) C
2 18
= + +
17.16.
2 3 5
1 1
sen (x)cos (x)dx sen(x) sen (x) C
3 5
= − +
17.17.
x 3x 1 1
sen cos dx cos(2x) cos(x) C
2 2 4 2
= − + +
17.18. 3
5
dx 1 3 3
sec (x)tg(x) sec(x)tg(x) ln sec(x) tg(x) C
4 8 8 cos (x)
= + + + +
17.19.
4
3 1 1
cos (2x)dx x sen(4x) sen(8x) C
8 8 64
= + + +
17.20.
4
5
sen(x) 1
dx sec (x) C
4 cos (x)
= +
17.21.
dx 1 1 1
ln 1 tg(x) ln sec(x) x C
1 tg(x) 2 2 2
= + − + +
17.22.
dx 2
C
1 2sen(x) x
1 tg
2
= − +
17.23.
2
3
sen (x) 1 1
dx sec(x)tg(x) ln sec(x) tg(x) C
2 2 cos (x)
= − + +
∫
17.24.
dx 1 x 1 x
ln tg 3 ln tg 3 C
4 5 cos(x) 3 2 3 2
= − + + +
∫
17.25.
2 2
2 2
sen(x)cos(x) 1
dx ln sen (x) cos (x) C
4
sen (x) cos (x)
= − +
−
17.26.
2 2
cos(x) 1 1 2sen(x)
dx 2 ln C
4 sen (x) cos (x) 1 2sen(x)
= +
− −
17.27.
sen(x) cos(x)
dx ln sen(x) cos(x) 1 C
sen(x) cos(x) 1
= − − +
∫ − −
17.28.
3
dx
2 tg(x) C
sen(x)cos (x)
= +
17.29.
tg(x)
dx ln sec(x) ln sec(x) 1 C
sec(x) 1
= + − +
17.30.
2
2 2
1 cos (x) 1 1
dx ln cos(x) C
2 (1 sen (x))ctg(x) cos (x)
−
= + +
−
∫
17.31.
2
3
(1 cos(2x)) 4
dx 4sen(x) sen (x) C
cos(x) 3
= − +
17.32.
3
2
3
ctg (x) 1
dx ln sen(x) sen (x) C
2 csc (x)
= − +
17.33.
5 3 5
2 1
sen (x)dx cos(x) cos (x) cos (x) C
3 5
= − + − +
17.34.
2
3
ctg (x)
ctg (x)dx ln sen(x) C
2
= − − +
17.35. 5 4 10 16 3 3 3 3
3 3 3
sen (x) cos(x)dx cos (x) cos (x) cos (x) C
4 5 16
= − + − +
18. Compruebe los siguientes resultados de las integrales
irracionales:
18.1.
1 4
3 4 7 12 1 2 5 12 1 3
1 2 1 3
1 4 1 6 1 12 1 2
x 1 4 12 12
dx x x 2x x 3x
3 7 5 x x
4x 6x 12x 12ln x 1 C
= + + + + +
−
18.2.
2 tg(x) 2 tg(x) 1 2
tg(x)dx ln arctg( 2 tg(x) 1)
4 2 tg(x) 2 tg(x) 1
2
arctg( 2 tg(x) 1) C
2
− +
= − + − +
18.3.
5 2 3 2
2
x x 9dx (x 9) 6(x 9) C
5
18.4.
dx x x
2ln x 4 2 x 2ln 1 2ln 1 C
2 2 x 2
= − − + − + + − +
∫
18.5.
3 3 3 2
3
dx
ln x ln x 1 2ln x 1 ln 1 x x C
x(1 x)
= − − − − + + + +
−
∫
18.6. 3 3
3 2 32
dx
2arctg( x) arctg(2 x 3) arctg(x) C
x (1 x )
= + + − +
∫
18.7.
2
2
x 1
dx 2arcsen(x 1) 2x x C
2x x
= − − − +
−
18.8.
3
5 6 1 2 1 3
1 3 1 6 1 6
x 2 1 6
dx (x 2) 2(x 2) 3(x 2)
5 x 2 1
3
3ln (x 2) (x 2) 1 2 3arctg (2(x 2) 1) C
3
= + − + − + +
18.9.
3 3 13 12 5 3
6 5 4
x x x x
dx 12 C
13 20
x x
−
= − + +
18.10.
4
14 3 7 6
3
x x 3 6
dx x x C
14 7 x
−
= − +
19. Calcule las siguientes integrales y verifique el
resultado:
19.1.
4 3 2
3 2
x 6x 12x 6
dx
x 6x 12x 8
− + +
− + −
2
2
x 8 11
R : C
2 x 2 (x 2)
− − +
− −
19.2.
3 2
4 2
x x x 3
dx
x 4x 3
2
1
R : ln x 3 arctg(x) C
2
19.3.
3
dx
x + 1 + (x +1)
R : 2arctg( x + 1) +C
19.4. 1 + xdx
5 3
2 2
4 4
R : (1 x) (1 x) C
5 3
19.5.
2 2
3
(2 tg ( ))sec ( )
d
1 tg ( )
θ
2 (2tg( ) 1)
R : ln 1 tg( ) arctg C
3 3
θ −
20. Calcule las siguientes integrales:
20.1.
4
2
x x 1
dx
x x 1
− +
20.2.
ln(x) ln(5)
dx
5x
20.3.
4
sen (x)cos(x)dx
20.4.
3
1
dx
x(1 + x)
20.5.
5 4 2 3
x − x (20x −10x)dx
20.6.
2 2
x sec (x )dx
20.7.
x x
x x
3 ln(3) 2 ln(2)
dx
3 2
20.8.
2
sen(2x)
dx
1 −cos (x)
20.9.
ln(x 1) ln(x)
dx
x(x 1)
20.10.
x x
2 3 3
(e e ) dx
−
−
20.11.
3
2 1
4
4x
dx
x − x+
20.12.
3
x x +1dx
20.13.
x 1
dx
x
20.14.
3
sec (x)tg(x)dx
20.15.
2
dx
2x −x
20.16.
2
dx
x 4 +ln (x)
20.17.
2x x
dx
e + e − 2
20.18.
dx
1 + 1 +x
20.19.
2
x
dx
x + 1
20.20.
3
2
x
dx
x + 1
20.21.
2
sen(x)
dx
cos(x)(1 +cos (x))
20.22.
3
x x +1dx
20.23.
2
(arcsen(x)) dx
20.24.
2
xtg (x)dx
20.25. x ln(1 + x)dx
20.26.
2
5x arctg(2x)dx
20.27.
3 2
x x +4dx
20.28. xsen(x)cos(x)dx
20.29.
x
3 cos(x)dx
20.30.
ln(x 1)
dx
x 1
20.31. sen x +2dx
20.32.
2
x ln(x)
dx
1 −x
20.33.
2
ln(x + 1 +x )dx
20.34.
2
xarctg(x)
dx
1 +x
20.35.
3
2 2
x
dx
(x +4)
20.36. x ln(x)dx
20.37.
ln(x)
dx
x
20.38.
2
dx
x − 2x + 3
20.39.
2
2x 5
dx
4x x
−
−
20.40.
2
2x 6
dx
x 6x 1
20.41.
2
1
dx
x ln (x) + 3ln(x) − 1
20.42.
x
2x x
e
dx
e + 3e + 1
20.43.
2
x 2
dx
x 4x 3
20.44.
x x
2x x 1 x 2x
2 ln(2) 3 ln(3)
dx
2 2 3 3 1
20.45.
2
x 1
dx
x 4x 3
20.46.
2
2x 3
dx
2x 6x 1
−
− +
20.47.
x
dx
∫ (x + 1)(x +2)
20.48.
3 2
4 3 2
4x 4x x 1
dx
x 2x x
− + +
− +
20.49.
2
1
dx
x − 3x + 2
20.50.
2
2 2
x x 1
dx
(x x 1)
− +
20.51.
3
1
dx
x +x
20.52.
3
1
dx
x − 1
20.53.
2
x
dx
12 + 4x −x
