SEMANA N° 13 – MATEMÁTICA BÁSICA
Escuela Profesional Tecnología Médica
Carrera Profesional de Tecnología Médica
1
Jaén – Perú, junio 2021.
GUÍA DE APRENDIZAJE
SEMANA N° 13
CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA
DOCENTE: Mg. DANETTE PINTADO GARCÍA
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guia de matematica 13, Apuntes de Matemáticas
gua de aprendizaje de matemática básica numero 13
Tipo: Apuntes
2020/2021
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Carrera Profesional de Tecnología Médica
Jaén – Perú, junio 2021.
GUÍA DE APRENDIZAJE
SEMANA N° 13
CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA
DOCENTE: Mg. DANETTE PINTADO GARCÍA
Carrera Profesional de Tecnología Médica
ÍNDICE
Pág.
1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 3
2. CONTENIDO TEMÁTICO ...................................................................................................................... 3
3. DESARROLLO ......................................................................................................................................... 3
3.1. Razones .............................................................................................................................................. 4
3.2. Proporciones....................................................................................................................................... 6
3.3. Magnitudes proporcionales ................................................................................................................ 9
4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN ....................................................................................................... 13
4.1. Actividad 1 ....................................................................................................................................... 13
4.2. Rúbrica para evaluar la resolución de problemas propuestos .......................................................... 15
4.3. Rúbrica de Evaluación Actitudinal .................................................................................................. 16
5. GLOSARIO ............................................................................................................................................. 17
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................... 17
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3.1. Razones
Razón
Una razón entre dos magnitudes es una comparación entre las dos cantidades mediante una
determinada operación.
Ejemplo 1.
Se realiza una encuesta a un grupo de estudiantes sobre “si practica algún deporte”. Luego de un
análisis de las respuestas se concluye que “4 de cada 10 estudiantes practica algún deporte”.
La razón entre los estudiantes que practican deporte y el total de estudiantes es 4:10, razón que es
equivalente a 2:5.
Nota: La razón entre los estudiantes que practican deporte y los que no es 4:.
Observación : Las razones se pueden amplificar y/o simplificar, y se mantiene la razón.
Las razones se estudian de la manera siguiente:
Razón Aritmética (R.A.)
Si la comparación se realiza mediante una diferencia. Es decir:
Razón Geométrica (R.G.)
Si la comparación se realiza mediante una división.
Es decir, en general:
𝑎
Donde
𝑔
= 𝑎 ÷ 𝑏
𝑎
∶ 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑔
∶ 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
Ejemplo 2.
El radio de la Luna es 3/11 del radio de la Tierra, y el radio del Sol es igual a 108 radios terrestres.
Hallar la razón entre los radios de la Luna y del Sol.
Solución :
Datos
𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 ÷ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑅. 𝐺.
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Luego:
Ejemplo 3.
Una cinta de 90cm se divide en dos trozos en la razón 2:3. ¿Cuánto mide cada trozo?
Solución :
Sean a y b las medidas de los trozos. Luego
Como 𝑎 + 𝑏 = 90 ⇒ 2 𝑥 + 3 𝑥 = 90
Por lo tanto 𝑎 = 36 𝑐𝑚 𝑦 𝑏 = 54 𝑐𝑚
Ejemplo 4.
La razón entre población y superficie se conoce (por los demógrafos) como densidad poblacional.
La tabla presenta la cantidad de habitantes de una Región y la superficie correspondiente
Provincia Habitantes Superficie
A 244 053 7280,9 km
2
B 352 966 9937,
C 57 088 3027,
a) Hallar la densidad poblacional de cada provincia.
Solución:
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Clases de Proporciones Geométricas
P. G. Discreta:
Aquella en la que sus 4 términos son diferentes.
Cada término es cuarta proporcional de los demás. Así:
d: es cuarta proporcional de a, b y c
P. G. Continua
Aquella en la que sus términos medios son números iguales.
Cada término igual es media proporcional de los otros dos.
Cada término diferente es tercera proporcional de los demás.
Luego:
b: es media proporcional de a y c
c: es tercera proporcional de a y b
Ejemplo 5:
La cuarta diferencial de A, B y C es 29, la tercera proporcional de A y B es 36 y la media
diferencial de B y C es 39. Hallar la tercera diferencial de A y C.
Solución
La cuarta diferencial de A, B y C es 29
Media diferencial o Aritmética
Cuarta proporcional
Tercera o tercia diferencial
2
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La tercera proporcional de A y B es 36
2
La media diferencial de B y C es 39.
Reemplazando (III) en (I), tenemos:
Reemplazando 𝐴 = 49 en (II), tenemos:
2
2
2
Reemplazando 𝐵 = 42 en (III), tenemos:
La tercera diferencial de A y C es:
Problema 6:
Dos números enteros "x", “y” son proporcionales respectivamente a 3 y 5, y satisfacen la siguiente
relación: 3 𝑥
2
2
− 2 𝑥𝑦 = 488 , Luego la diferencia "𝑦 − 𝑥", es:
Solución:
Como “x” e “y” son proporcionales;
𝑥 = 3 𝑘 y 𝑦 = 5 𝑘
Reemplazando en 3 𝑥
2
2
− 2 𝑥𝑦 = 488 se tiene:
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Problema 8:
Un saco de maíz pesa 45 kg.
a) ¿Cuánto pesan 2 sacos?, ¿3 sacos?.
b) Un cargamento de maíz pesa 1125 kg ¿Cuántos sacos de 45 kg se podrán generar?
Solución
N° sacos 1 2 3 …?
Peso en Kg 45 90 135 … 1125
a) Dos sacos pesan 90 kg; y tres sacos pesan 135 kg
b) Con 1125 kg se puede generar 25 sacos de maíz
En efecto
Nótese que el cociente de las dos magnitudes [cociente de las cantidades correspondientes]. Por
ello se dice que “Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente
proporcionales”.
Problema 9:
Un depósito de agua se llena en 2,5 horas usando seis llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto
tiempo se llenará, si se utiliza una única llave?, ¿dos llaves?, ¿tres?, ¿cuatro?.
Solución
N° llaves 6 4 3 2 1
Tiempo en horas 2,5 3,75 5 7,5 15
En la tabla se observa que, al disminuir el número de llaves de agua, se incrementa el tiempo
necesario para llenar el depósito.
Notar que el producto de las dos magnitudes [producto de las cantidades correspondientes]
N ° llaves * Tiempo en horas, es constante.
Se dice: Las magnitudes número de llaves y Tiempo en hrs son inversamente proporcionales.
Observación.
Cuando se comparan dos magnitudes se dan dos tipos de variación proporcional: la
proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.
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Magnitudes directamente proporcionales
Si al comparar dos magnitudes ocurre que el cociente de las cantidades correspondientes es
constante, entonces se dice que esas dos magnitudes son directamente proporcionales. Ver
ejemplo 1.
Cuando una cantidad aumenta, la otra aumenta, manteniendo el cociente constante.
Magnitudes inversamente proporcionales
Si al comparar dos magnitudes ocurre que el producto de las cantidades correspondientes es
constante, entonces se dice que esas dos magnitudes son inversamente proporcionales.
Cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye, manteniendo el producto constante.
Resumiendo:
Si x e y son dos variables que se encuentran en
Proporcionalidad Directa , entonces se cumple que
Proporcionalidad Inversa , entonces se cumple que
Ejemplos de situaciones de proporcionalidad
Además de los ejemplos que hemos presentado en los apartados anteriores enumeramos algunos
otros para mostrar la variedad de situaciones en las cuales se ponen en juego el modelo
matemático de la proporcionalidad.
- Los numeradores y denominadores de todas las fracciones que son equivalentes entre sí
(representantes del mismo racional).
- La longitud de cualquier circunferencia con su diámetro (o su radio): l = pd (2pr)
- Longitud del arco de circunferencia y la amplitud del ángulo central correspondiente a
dicho arco.
- El área de un sector circular y la amplitud del ángulo correspondiente.
- Las longitudes de diferentes segmentos marcados sobre una recta y sus proyecciones
paralelas sobre otra recta (teorema de Thales)
- El volumen de líquido introducido en un recipiente con una sección regular (prisma,
cilindro, ...)
- la altura del líquido en el recipiente. (Esto permite la lectura del volumen graduando la
altura).
- La masa de un cuerpo homogéneo y su volumen.
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4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN
4.1. Actividad 1
Desarrollar los ejercicios propuestos en hojas A4 y/o Cuadriculadas tamaño oficio, evitando
manchas y/o enmendaduras.
(1) Determine x en cada proporción:
a)
b)
c)
d)
(1) La suma de los cuadrados de dos números es igual a 29, y la suma de sus logaritmos en base
10 es igual a 1, entonces la razón aritmética de estos, es:
(2) Calcular la razón de una serie de razones iguales donde la suma de cuadrados de los
antecedentes es 1/2 y de los consecuentes es 1/8.
(3) Tres números forman una proporción aritmética continua de constante igual a 5. Si los dos
mayores están en la proporción de 4 a 3. Calcula la tercera diferencial.
(4) La media proporcional entre a y b es 12 y la tercera proporcional entre a y b es 96. Hallar
2
(5) Se tienen tres números A es a B como 4 a 5 y B es a C como 10 a 11 si la diferencia entre A
y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos números?
(6) En una serie de 3 razones geométricas continuas la suma de los antecedentes es 42 y la suma
de los consecuentes es 168. Calcular el valor del último consecuente.
(7) A varía proporcionalmente a B y al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si
cuando A = 8, B = 5 y C = 4, entonces D es 2. ¿Cuánto valdrá B, cuando: A = 2D y D = 4C?
(8) Determinar la tercera diferencial de la media diferencial de: 38 y 10 y la cuarta diferencial
de 36, 30 y 20.
(9) Si 7 es la cuarta diferencial de a, b y c (b < c); además 30 es la tercera diferencial de 3a y 45,
entonces el máximo valor de b es:
(10) Repartir 154 en partes directamente proporcionales a:
indicar la mayor cantidad.
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(11) Dos números están en la relación de 2 a 6. Si la cuarta parte del mayor es la tercera
proporcional de 4 y la mitad del otro número. Hallar la suma de los números.
(12) En una proporción aritmética continua, la suma de los cuadrados de sus términos diferentes
es 200 y el producto de los términos extremos es 60. Calcular la media diferencial.
(13) La media proporcional de “a” y “b” es “x”, es lo mismo que la tercera proporcional de “8a”
y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de √
3 𝑎, 2 y √
3 𝑏. El valor de a+b+x es:
(14) Tres cantidades son proporcionales a 6,8 y 10 y el producto de éstos 960. Hallar el número
intermedio
(15) Dos números son entre sí como 4 es a 7. Hallar su razón aritmética, sí la razón aritmética de
sus cuadrados es 4752.
(16) Una cinta de 84cm se divide en tres partes, en la razón 3 : 5 : 6. ¿Cuánto mide cada parte?
(17) En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar
contendrán 5.200 gramos de sal?
(18) Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 80 km. Si en el depósito hay 22 litros, ¿cuántos
kilómetros podrá recorrer el automóvil?
(19) Un automovilista condujo 600 km con 40 litros de bencina. ¿Cuántos litros necesitaría para
recorrer 1500 km?
(20) Para comprar un libro que cuesta $ 4000, dos hermanos decidieron aportar una cantidad
directamente proporcional a sus ahorros. Si Paula tiene $ 6.000 y Danilo tiene $ 10.
¿Cuánto debe aportar cada uno?
(21) Una llave arroja 2,5 litros de agua por minuto. ¿Cuánto demorará esta llave en llenar de agua
un estanque de 1,2 m3?
(22) Un padre paga la mesada a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una cantidad
proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 5000 soles. ¿Cuánto dará a las
otras dos hijas de 15 y 8 años de edad?
(23) Un corredor da 5 vueltas a una pista deportiva en 15 minutos. Si sigue al mismo ritmo,
¿cuánto tardará en dar 25 vueltas?.
(24) Para recorrer los 360 km que hay entre A y B un auto tardó 3 horas a una velocidad de 120
km/h. Si disminuye la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará?
(25) En un taller de modas, si se trabajan 8 horas diarias tardan 6 días en servir un pedido. ¿Cuánto
tardarán en servir el pedido si se trabajan 12 horas diarias?
(26) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en
hora y media?
(27) Con 15 máquinas de escribir durante 6 horas, se escriben 220 documentos. ¿Cuántos
documentos se escribirán con 45 máquinas durante 6 horas?.
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4.3. Rúbrica de Evaluación Actitudinal
Nombre del estudiante: __________________________________________________
Categoría
Muy
Bueno
Bueno
Regular
Malo
0 Calificación
parcial
Asistencia y presentación:
(1) Saluda adecuadamente al
Grupo.
(2) Ingresa puntualmente y
permanece en el horario
establecido de clase.
Cumple
con lo
requerido
al 100%.
Cumple
con lo
requerido
al 80%.
Cumple
con lo
requerido
al 60%.
Cumple
con lo
requerido
al 50%.
No
Cumple
con lo
requerido.
Comunicación y Participación.
(3) Escribe correctamente
usando Leyes Ortográficas.
(4) Participa y debate
asertivamente en el grupo.
(5) Opina responsablemente
sobre los contenidos
desarrollados.
(6) Demuestra seguridad al
expresar resultados.
Cumple
con lo
requerido
al 100%.
Cumple
con lo
requerido
al 80%.
Cumple
con lo
requerido
al 60%.
Cumple
con lo
requerido
al 50%.
No
Cumple
con lo
requerido.
Responsabilidad y Puntualidad.
(7) Respeta el formato
establecido.
(8) Presenta las tareas
asignadas en el tiempo
establecido.
Cumple
con lo
requerido
al 100%.
Cumple
con lo
requerido
al 80%.
Cumple
con lo
requerido
al 60%.
Cumple
con lo
requerido
al 50%.
No
Cumple
con lo
requerido.
Respeto
(9) Utiliza un lenguaje
apropiado y de acuerdo a la
temática.
(10) Evita el uso de emoticones
durante la clase y el
desarrollo de todo el ciclo.
(11) Participa constructivamente
y respeta la apreciación de
sus compañeros.
(12) Asume actitudes éticas
evitando el plagio en el
desarrollo de sus trabajos.
Cumple
con lo
requerido
al 100%.
Cumple
con lo
requerido
al 80%.
Cumple
con lo
requerido
al 60%.
Cumple
con lo
requerido
al 50%.
No
Cumple
con lo
requerido.
NOTA
Nota:
Después de realizado el trabajo, se enviará al WhatsApp personal de la docente en archivo PDF de
acuerdo a las condiciones presentadas, teniendo como plazo máximo 5 días.
El archivo será enviado con el siguiente nombre S1 3 - MB-TM-Apellidos y Nombres del estudiante.
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5. GLOSARIO
No se considera.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Rubiños, L. Razonamiento Matemático: 1era. Edición. Perú. Editorial: Rubiños Ediciones.