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Asignatura: Estadística, Profesor: profesor10demates profesor10demates, Carrera: Ingeniería Mecánica, Universidad: UNED
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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¡No te pierdas las partes importantes!
Esta asignatura de formación básica tiene asignados 6 créditos ECTS (créditos europeos), que hemos dividido en cuatro módulos (unidades didácticas en el programa) con una asignación de 35 horas aproximadas de trabajo real cada uno, lo que con 10 horas más completan las 150 horas. Se considera muy importante que cada estudiante, que tiene un ritmo de trabajo propio, especialmente en la UNED, diseñe su propio plan de trabajo, de acuerdo con su situación. Ésta planificación es muy importante para conseguir los objetivos de aprendizaje y poder superar la asignatura. No obstante, se presenta a continuación un plan de trabajo que puede servir de orientación, junto con un cronograma que marca unas pautas que se consideran adecuadas para el estudiante medio.
En el plan de actividades de aprendizaje hacemos referencia a los siguientes materiales. Por un lado, citamos los libros de texto indicados en la Bibliografía básica y nos referiremos a ellos como libro de teoría (Estadística Teórica y Aplicada) y libro de problemas (Problemas de Cálculo de Probabilidades y Estadística) y, por otro lado, nos referimos al documento llamado Guía-Formulario y Tablas , que es el único documento que el alumno podrá utilizar en la prueba presencial. En el apartado 2.2 de esta guía se puede encontrar el detalle de los contenidos concretos de ambos libros que se corresponden con cada tema del programa.
El plan de trabajo se distribuye en 12 semanas y se asignan 3 semanas por módulo. El resto del tiempo, hasta cubrir el total de créditos ECTS, se considera necesario para disponer de ciertas holguras que permitan al alumno realizar pruebas de autoevaluación o evaluación continua, repasar carencias detectadas durante el aprendizaje, realizar otros ejercicios o preparar la prueba presencial. Le recomendamos que anote en la última columna de las siguientes tablas el tiempo real de estudio invertido en cada tema y distribuya según sus necesidades el tiempo no computado.
El plan de trabajo que se propone a continuación, a título orientativo, está basado en el orden del temario en que se estructura el programa de la asignatura, es decir en los 4 módulos y los 16 temas en que se ha dividido el programa. Se incluye un resumen de los resultados de aprendizaje por tema. Para un mayor detalle véase la sección correspondiente a resultados de aprendizaje para cada módulo en el apartado 2 de esta guía.
El manejo de algún programa de cálculo simbólico, de estadística y otros puede ser de gran ayuda para el estudio y puede servir para mejorar la compresión de los conceptos y de los procedimientos. Es muy recomendable el uso de estos programas, pero no se recomienda en la asignatura ningún programa en particular ni su manejo será objeto de evaluación.
Por último y aunque no será tampoco objeto de examen, como actividad complementaria se recomienda la lectura de las 17 notas biográficas que figuran en el libro de teoría entre las páginas 497 y 526. Pensamos que esta lectura es muy recomendable ya que, a través de esas biografías seleccionadas, se puede tener una primera idea de cómo se han introducido y desarrollado los fundamentos y algunos de los métodos y técnicas estadísticas. No se marcan plazos para estas lecturas, pero una distribución razonable sería la lectura de las 5 primeras a lo largo del estudio del primer módulo y 4 biografías en cada uno de los otros 3 módulos, siguiendo el orden del libro de teoría.
Tiempo de estudio: 3 semanas.
PLAN DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
RESULTADOS ALCANZADOS TIEMPO
Tema 5: Distribuciones de probabilidad de variable discreta
Estudie el tema 6 del libro de teoría. Realice los ejercicios 4.1 a 4.12 del tema 4 del libro de problemas. Realice los ejercicios de autocom- probación de ese tema.
Comprenderá el significado de los modelos usuales de probabilidad. Manejará las distribuciones de variable discreta de Bernouilli, binomial, hipergeométrica, binomial negativa y de Poisson. Conocerá las principales características de las distribuciones anteriores y será capaz de calcularlas.
Tema 6: Distribuciones de probabilidad de variable continua
Estudie el tema 7 del libro de teoría. Realice los ejercicios 4.15 a 4.49 del tema 4 del libro de problemas. Realice los ejercicios de autocom- probación de ese tema.
Comprenderá la distribución normal y sus principales propiedades. Manejará diferentes distribuciones normales. Manejará las distribuciones uniforme y exponencial. Conocerá las definiciones de las distribuciones Gamma, de Pearson, de Student y de Snedecor y manejará las tablas de estas distribuciones de probabilidad. Podrá aplicar las propiedades de las distribuciones discretas y continuas a diferentes problemas.
Tema 7: Distribuciones multivariantes
Estudie el tema 8 del libro de teoría. Realice los ejercicios 4.13 y 4.14 del tema 4 del libro de problemas.
Conocerá las propiedades de las distribuciones multinomial Conocerá las propiedades de la distribución normal multivariante.
Tema 8: Distribuciones en el muestreo
Estudie el tema 10 del libro de teoría. Realice los ejercicios del tema 5 del libro de problemas. Realice los ejercicios de autocom- probación de ese tema.
Comprenderá las distribuciones en el muestreo y el concepto de estimador. Será capaz de obtener las distribuciones en el muestreo de diferentes estimadores. Conocerá las distribuciones en el muestreo de poblaciones paramétricas (media, diferencia de medias, varianza y razón de varianzas). Conocerá las distribuciones en el muestreo de poblaciones no paramétricas (del mínimo valor muestral, del máximo valor muestral, del recorrido y de la mediana).
Se aconseja que realice la prueba de evaluación continua que se propondrá en el curso virtual
VICENTE NOVO Y BIENVENIDO JIMÉNEZ MÓDULO 3: INFERENCIA ESTADÍSTICA
Tiempo de estudio: 3 semanas.
PLAN DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
RESULTADOS ALCANZADOS TIEMPO
Tema 9: Estimación puntual
Estudie el tema 11 del libro de teoría. Realice los ejercicios 6.1 a 6.17 del tema 6 del libro de problemas. Realice los ejercicios de autocom- probación de ese tema.
Entenderá las propiedades que debe de cumplir un buen estimador. Será capaz de estudiar estas propiedades de un estimador dado. Manejará los métodos para obtener estimadores.
Tema 10: Estimación por intervalos
Estudie el tema 12 del libro de teoría. Realice los ejercicios 6.19 a 6.33 del tema 6 del libro de problemas. Realice los ejercicios de autocom- probación de ese tema.
Comprenderá el método de estimación por intervalos de confianza. Podrá construir intervalos de confianza de la media con distintas suposiciones sobre la población. Podrá construir igualmente intervalos de confianza de la varianza, de la diferencia de medias y de proporciones.
Tema 11: Contrastes de hipótesis. Contrastes paramétricos
Estudie el tema 13 del libro de teoría. Realice los ejercicios 7.1 a 7.13 del tema 7 del libro de problemas. Realice los ejercicios de autocom- probación de ese tema.
Conocerá otra metodología esencial en inferencia, como son los contrastes o test de hipótesis. Manejará los conceptos de error de tipo I y de tipo II, de nivel de significación y de potencia de un test. Manejará los contrastes de la media, de la diferencia de medias, de proporciones, de diferencia de proporciones y los relacionados con varianzas. Entenderá la estrecha relación entre estos contrastes paramétricos y los intervalos de confianza.
Tema 12: Contrastes no paramétricos
Estudie el tema 14 del libro de teoría. Realice los ejercicios 7.14 a 7.30 del tema 7 del libro de problemas. Realice los ejercicios de autocom- probación de ese tema.
Conocerá los contrastes no paramétricos y sus diferencias con los paramétricos. Manejará los contrastes de bondad de ajuste de Pearson y de Kolmogorov-Smirnov. Podrá aplicar los contrastes de homogeneidad e independencia. Manejará otros contrastes no paramétricos: el test de los signos, el test de rango con signo, el test de la suma de rangos y el contraste de Kruskal-Wallis.
VICENTE NOVO Y BIENVENIDO JIMÉNEZ
Resultados alcanzados
La asignatura tiene como primer objetivo el conocimiento de los métodos y técnicas estadísticas propias del análisis de fenómenos no deterministas. Estos métodos y técnicas serán herramientas imprescindibles para resolver diversos problemas que se plantearán a lo largo de toda la carrera y de la vida profesional. En consecuencia, el alumno deberá comprender el papel de la Estadística en la solución de problemas reales que se encontrará en la actividad profesional y las técnicas estadísticas usuales.
Una vez que haya realizado el trabajo y las actividades del curso, debería de conocer, comprender y manejar las herramientas básicas de los métodos estadísticos que se presentan en el programa de la asignatura. Una descripción más detallada de los resultados esperados se encuentra en el apartado 2 de esta guía. Aquí se enumeran una serie de objetivos generales a conseguir.
Al finalizar el estudio de esta asignatura, deberá de ser capaz de:
Los cuatro primeros apartados de esta sección son comunes a los cuatro módulos de la asignatura, a partir del epígrafe 5 se dan las orientaciones específicas para el estudio de cada módulo o núcleo temático.
2.1. Recomendaciones generales para el estudio
El método de trabajo en esta asignatura es el común a cualquier asignatura de Ciencias y se basa, por un lado, en conseguir tener los conceptos muy claros (si esto no se consigue en una primera aproximación, es preferible dejarlo reposar y, posteriormente, seguir insistiendo en su clarificación antes de pasar al siguiente) y, por otro lado, en la aplicación de la lógica, la distinción entre tesis, hipótesis y el uso del razonamiento nos permiten conseguir el objetivo. Además del valor en sí mismo de los contenidos, lo fundamental es que van a tener aplicación directa en otras materias y en la actividad profesional posterior.
Para el estudio se recomienda siempre el uso de “ lápiz y papel” , de forma que se pueda ir tomando notas de los principales resultados o de las dudas que vayan surgiendo, para plantearlas en el curso virtual o en la tutoría, y realizando los ejercicios y problemas propuestos en los textos.
El estudio de la asignatura se desarrolla en base a los libros de teoría y de problemas que figuran en la bibliografía básica, con el apoyo de las tutorías presenciales o virtuales. El plan de trabajo ya está detallado
en el punto anterior, pero se considera muy conveniente insistir en que cuando se ha estudiado un tema, se trabaje con otros ejercicios o problemas que se encuentran en el libro de problemas básico o en los libros recomendados y, por último, que se hagan los ejercicios de autocomprobación del tema y se valore el nivel de conocimientos adquirido. No se ha fijado como estrategia del aprendizaje la memorización de todos los contenidos de los distintos temas ya que se permitirá el uso de un formulario para la realización de la prueba presencial. Por el contrario, se propone una lectura minuciosa y comprensiva del material y la elaboración de cuadros, resúmenes y notas aclaratorias, que conducen a la adecuada asimilación de los conceptos sin recurrir a un innecesario esfuerzo memorístico.
Aunque los exámenes ponen más énfasis en la resolución práctica de ejercicios y problemas, también habrá una parte de preguntas de carácter teórico o teórico-práctico, ya que, en esta materia, no debe dejarse de lado el estudio de los fundamentos teóricos. Es muy importante tener claro que no se trata sólo de tener “recetas” para resolver determinadas situaciones, sino que se ha de tratar de conseguir una base de formación en estadística que nos permita enfrentarnos a planteamientos más complejos en los que se tenga que decidir entre la utilización de un método u otro y se pueda argumentar sobre la decisión adoptada.
La importancia del estudio de la Estadística dentro de la formación de un graduado en ingeniería está hoy fuera de toda duda y la aplicación de los métodos y técnicas estadísticas avanzadas ha proporcionado grandes éxitos en Ingeniería y en la Industria.
2.2. Materiales de estudio
La Bibliografía básica, que se considera suficiente, para la preparación de la asignatura está formada por un libro de teoría y un libro de problemas resueltos.
Teoría: Novo, V.: Estadística Teórica y Aplicada. Editorial Sanz y Torres, 2004. Edición revisada 2011. Problemas: Novo, V.: Problemas de Cálculo de Probabilidades y Estadística. Editorial Sanz y Torres, 2003. Edición revisada 2011.
El esquema de relación entre los temas del programa y los capítulos de los libros de teoría y de problemas recomendados como bibliografía básica se muestra en la tabla siguiente. Hay 2 temas en que se debe suprimir un apartado del capítulo correspondiente ya que no será objeto de examen, este hecho se refleja también en la tabla.
TEMA DEL PROGRAMA
LIBRO DE TEORÍA
LIBRO DE PROBLEMAS
1 1
2 2 1
3 3 y 4 2
4 5 3
5 6 4
6 7 (excepto 12) 4
Debe tener siempre presente que no está solo en su formación. Los foros del curso virtual son una herramienta muy útil para resolver dificultades en el aprendizaje y conocer dudas de otros compañeros que pueden mostrarle problemas no percibidos. Intente resolver las dudas planteadas por sus compañeros y acceda a los foros con frecuencia.
Además, recomendamos que al finalizar cada tema realice los ejercicios de autocomprobación que figuran en el libro de teoría para poder detectar las posibles carencias que no haya resuelto con el estudio de estos temas. Así, podrá repasar los aspectos que no le hayan quedado claros antes de continuar su estudio.
2.6. Módulo 1. Estadística descriptiva y probabilidad
2.6.1. Introducción
En este módulo se introducen diversos conceptos que van a ser clave durante el desarrollo de la asignatura. Se comienza con la descripción y el análisis estadístico de una y de varias variables, es decir con la Estadística Descriptiva y se completa el módulo con la parte central del mismo, dedicada al fundamento matemático de la estadística, es decir, al Cálculo de Probabilidades que es básico para cualquier aplicación estadística y para el seguimiento y asimilación de los contenidos de la asignatura. En los dos epígrafes siguientes, se presentan los resultados concretos del aprendizaje y se contextualizan y comentan en detalle los contenidos de este módulo tema por tema.
2.6.2. Resultados del aprendizaje
Al terminar el estudio de este módulo, el estudiante habrá adquirido los conocimientos suficientes y en el nivel adecuado para poder abordar los contenidos de los temas posteriores. Como resultados más concretos: Comprenderá el manejo de los datos estadísticos. Será capaz de clasificar una variable estadística como discreta o continua. Manejará con soltura las distribuciones de frecuencias. Conocerá y manejará las representaciones gráficas usuales en Estadística. Podrá obtener los parámetros estadísticos de centralización y de dispersión, y conocerá sus principales propiedades. Comprenderá y manejará las distribuciones de más de una variable. Podrá calcular las medidas de asociación lineal entre variables, la covarianza y el coeficiente de correlación. Reconocerá los fenómenos deterministas y los fenómenos aleatorios. Comprenderá el concepto de probabilidad. Manejará y aplicará las principales propiedades de la probabilidad. Podrá aplicar a casos prácticos los teoremas fundamentales del producto, de la probabilidad total y de Bayes. Comprenderá el concepto de probabilidad condicionada y de sucesos independientes. Comprenderá los fenómenos aleatorios compuestos. Entenderá el concepto de variable aleatoria y los conceptos de función de densidad y de distribución. Manejará las principales características de las variables aleatorias y comprenderá sus propiedades. Podrá construir modelos de probabilidad. Podrá determinar las características de una variable aleatoria univariante. Podrá determinar las características de una variable multivariante. Manejará las funciones característica y generatriz de momentos. Comprenderá su utilidad de cara a las aplicaciones. Podrá calcular los momentos a partir de una función generatriz.
VICENTE NOVO Y BIENVENIDO JIMÉNEZ Comprenderá la utilidad de las transformaciones de variables aleatorias. Podrá obtener la distribución de transformaciones de variables aleatorias. Podrá obtener la distribución de la suma, del producto o del cociente de variables aleatorias.
2.6.3. Contextualización y descripción de contenidos
En el tema 1 se estudia la naturaleza de los datos, lo más frecuente es que éstos sean numéricos, pero no siempre es así. Las variables estadísticas se clasifican en cualitativas (no medibles) y cuantitativas (medibles) y éstas en discretas (toman un conjunto de valores finito o numerable) y continuas (toman todos los valores de un intervalo). Se introducen las tablas de frecuencias que recogen de una forma abreviada y ordenada los datos obtenidos y las representaciones gráficas más usuales: diagrama de barras, gráfico de sectores, histograma y polígono de frecuencias. El histograma es una excelente herramienta para la presentación de los datos y nos informa con un simple golpe de vista de la distribución de dichos datos.
Los parámetros estadísticos son medidas que recogen la información muestral y se clasifican en parámetros de centralización y parámetros de dispersión. Se estudian como parámetros de centralización la media, la mediana y la moda, con especial atención a la media para la que se demuestra que es invariante por transformaciones lineales. Este hecho es importante ya que las transformaciones son una herramienta que se va a utilizar durante todo el curso. No existe una manera única de medir las cosas y no hay ningún motivo para analizar los datos en la misma métrica en que vienen dados, en este sentido las transformaciones lineales son muy útiles para simplificar los datos. Como parámetros de dispersión se estudian la varianza, la desviación típica y la desviación media, con especial atención a la primera. Se generalizan estos conceptos introduciendo los momentos centrados y no centrados de orden r. El momento no centrado de orden uno es la media y el momento centrado de orden dos es la varianza. Se estudian la relación entre la varianza y los momentos no centrados de orden uno y dos que resulta de gran utilidad práctica, y se introducen los coeficientes de asimetría y apuntamiento de Fisher que miden la forma de la distribución.
En la segunda parte del tema se estudia la descripción conjunta de varias variables. Cuando los datos que se investigan incluyen valores de varias variables es necesario su estudio conjunto con objeto de analizar las relaciones que puedan existir entre ellas. Se introduce el concepto de distribución de frecuencias conjunta, con especial atención al caso de dos variables, así como las distribuciones marginales y las distribuciones condicionadas. Se estudian la covarianza y el coeficiente de correlación como medidas de asociación lineal entre variables. En el caso de las variables k-dimensionales es conveniente adoptar la notación vectorial, considerando a cada elemento o individuo como un vector. Se definen el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas.
Aunque una buena descripción de los datos es necesaria, uno de los principales objetivos del método estadístico es obtener conclusiones acerca de una población a partir de los elementos de una muestra. Los modelos matemáticos apropiados para describir una población son las distribuciones de probabilidad. La teoría de probabilidad es básica en cualquier aplicación estadística y constituye el fundamento matemático de la Estadística. Su comprensión y manejo será esencial para el seguimiento eficaz del resto del programa. Se dedican tres temas, del 2 al 4, a esta parte del programa.
En el tema 2 se establece la diferencia entre fenómenos determinísticos y fenómenos aleatorios, se describen el espacio muestral y el álgebra de sucesos de un fenómeno aleatorio y se da la noción de espacio probabilizable. Se introduce la axiomática de Kolmogorov, el concepto de espacio probabilístico y a partir de la axiomática las principales propiedades de la probabilidad. A continuación, se introduce el concepto de probabilidad condicionada y se demuestran los teoremas del producto, de la probabilidad total y de Bayes. Se estudian la dependencia e independencia de sucesos aleatorios que son conceptos clave en el desarrollo posterior del programa, y se tratan los experimentos compuestos.
VICENTE NOVO Y BIENVENIDO JIMÉNEZ Al terminar el estudio de este módulo, el estudiante conocerá y manejará los modelos de probabilidad más usuales en la práctica de la Estadística y las distribuciones en el muestreo fundamentales para entender la parte inferencial de la Estadística. En particular: Comprenderá el significado de los modelos usuales de probabilidad. Manejará las distribuciones de variable discreta de Bernouilli, binomial, hipergeométrica, binomial negativa y de Poisson. Conocerá las principales características de las distribuciones anteriores y será capaz de calcularlas. Comprenderá la distribución normal y sus principales propiedades. Manejará diferentes distribuciones normales. Conocerá las principales distribuciones de variable continua. Manejará las distribuciones uniforme y exponencial. Conocerá las definiciones de las distribuciones Gamma, de Pearson, de Student y de Snedecor. Manejará las tablas de estas distribuciones de probabilidad. Podrá aplicar las propiedades de las distribuciones discretas y continuas a diferentes problemas. Conocerá la definición y propiedades de la distribución multinomial. Conocerá la definición y propiedades de la distribución normal multivariante. Comprenderá las distribuciones en el muestreo y el concepto de estimador. Será capaz de obtener las distribuciones en el muestreo de diferentes estimadores. Conocerá las distribuciones en el muestreo de poblaciones paramétricas. Manejará las distribuciones en el muestreo de la media, la diferencia de medias, la varianza y la razón de varianzas. Podrá aplicar esas distribuciones a casos prácticos. Conocerá las distribuciones en el muestreo de poblaciones no paramétricas. Manejará las distribuciones en el muestreo del mínimo valor muestral, del máximo valor muestral, del recorrido y de la mediana.
2.7.3. Contextualización y descripción de contenidos
Se dedican los tres primeros temas de esta segunda unidad didáctica a la descripción de los modelos de probabilidad. En el tema 5 se estudian las distribuciones de probabilidad de variable discreta, en el 6, las de variable continua, en ambos casos para variables unidimensionales y, en el tema 7, las distribuciones de probabilidad de variables multidimensionales con especial atención a la normal multivariante.
Se empieza el tema 5 definiendo la variable de Bernouilli y, a través del proceso de pruebas de Bernouilli repetidas e independientes, se introduce la distribución binomial para la que se estudian sus principales características: media, varianza, función generatriz, etc., así como el teorema de la adición que establece que la suma de binomiales independientes, con el mismo parámetro p, es una variable binomial. A continuación se dan las definiciones y principales propiedades de las distribuciones hipergeométrica, geométrica y binomial negativa.
La última parte del tema se dedica al estudio de la distribución de Poisson. Esta distribución es un modelo apropiado para describir el número de ocurrencias de un suceso en un intervalo de tiempo dado, por ejemplo el número de llamadas que se reciben en una central telefónica en un período de tiempo fijado, el número de vehículos que llegan a un control de peaje en una autopista, etc. Se estudian sus principales características, en particular que su media y su varianza coinciden, que esta distribución es reproductiva, es decir, que la suma de variables de Poisson independientes es una variable de Poisson y que se puede obtener como límite de la distribución binomial cuando n tiende a infinito.
En el tema 6 se tratan las distribuciones de probabilidad de variable continua con especial atención a la distribución normal. En primer lugar se describe la distribución uniforme, luego la distribución gamma, demostrándose que es reproductiva y como caso particular de ella la exponencial que tiene muchas
aplicaciones en Estadística, concretamente en áreas como la teoría de fiabilidad, los tiempos de espera o la teoría de colas. Se estudia a continuación la distribución de Weibull que se utiliza en fiabilidad.
Sin duda la distribución de probabilidades más importante es la normal, porque describe bien muchos fenómenos de la naturaleza o de la industria y por su gran interés en inferencia estadística. Se estudia la normal estándar o N(0,1) y la normal general de media y desviación típica dadas, el manejo de tablas y la variable tipificada. Se demuestra que la suma de variables normales independientes es una variable normal y que la media de variables normales independientes e igualmente distribuidas según una normal es también una variable normal. Se demuestra por último que la distribución binomial tiende a la distribución normal lo que permite dar aproximaciones de probabilidades binomiales por la normal.
Las distribuciones unidimensionales de probabilidad que se estudian a continuación son las más utilizadas en inferencia estadística. Se define la variable de Pearson como suma de cuadrados de variables normales N(0,1) independientes, se obtienen sus principales características y se demuestra su carácter reproductivo. Esta distribución se utilizará posteriormente en las pruebas de validación de modelos y en los contrastes de homogeneidad e independencia. Se define a continuación la variable t de Student que es de gran utilidad en estimación por intervalos de confianza y en contrastes de hipótesis relacionados con la media de una población normal al ser su función de densidad independiente de la desviación típica, lo que la hace especialmente útil en el estudio de problemas de estimación para muestras pequeñas. Se introduce seguidamente la distribución F de Snedecor como cociente de variables de Pearson independientes, cada una de ellas dividida por su número de grados de libertad.
En el tema 7 se estudian los modelos de probabilidad multivariantes más usuales como son la distribución multinomial y la distribución normal multivariante.
La parte inferencial de la Estadística se desarrolla a partir de la Unidad Didáctica 3. El nexo que une el Cálculo de Probabilidades con la Inferencia Estadística son las distribuciones en el muestreo que se estudian en el tema 8. Los problemas de inferencia pueden clasificarse en función de la información relevante que decidimos incluir. Si la población está determinada salvo uno o varios parámetros estaremos ante un problema paramétrico, de forma que el conocimiento del valor de ese parámetro o parámetros, determina completamente la distribución de la población. Si, por el contrario, utilizamos únicamente la información contenida en los datos muestrales tendremos un problema de inferencia no paramétrica.
En el tema 8 se estudian las distribuciones en el muestreo. Se introducen en primer lugar los distintos tipos de muestreo. El objetivo de un plan de muestreo es obtener información relevante sobre la población con el menor coste posible. El tipo de muestreo más sencillo es el muestreo aleatorio simple, en el cual cada elemento de la muestra es elegido al azar por medio de elecciones independientes. A continuación se introduce un concepto fundamental en inferencia que es el de estimador o estadístico, como una aplicación que asigna a cada muestra un número real que para una muestra dada es una estimación. Al variar las muestras se obtiene, a través del estadístico, una nueva variable aleatoria para la que será preciso conocer su distribución que se denomina distribución en el muestreo. En particular, se define la media muestral y se obtiene su esperanza y su varianza en el muestreo, así como su distribución bajo distintas suposiciones sobre la distribución poblacional. Se define la varianza muestral, se obtiene su esperanza matemática y su distribución. Se concluye esta parte del tema con el estudio de las distribuciones de la diferencia de medias.
Se finaliza el tema tratando el caso de las distribuciones en el muestreo de poblaciones no paramétricas. Se introduce, en primer lugar, el concepto de estadístico ordenado y se estudian las distribuciones en el muestreo del mínimo valor muestral, del máximo valor muestral, del recorrido y de la mediana.
Se introduce la definición de estimador insesgado como aquel cuya esperanza matemática es el parámetro poblacional. Como ejemplo, se demuestra que la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, mientras que no ocurre lo mismo con la varianza muestral respecto de la poblacional. Se construye un estimador insesgado de la varianza poblacional conocido como cuasivarianza muestral. Si existiera un estimador insesgado de varianza cero, este sería el ideal. Al no darse esta situación en la práctica, es claro que un estimador insesgado será tanto mejor cuanto menor sea su varianza. Cramer, Rao y Fréchet demostraron, bajo condiciones diferentes, que la varianza de un estimador no puede ser menor que un valor que depende de la distribución poblacional y del tamaño muestral. Este valor se conoce como la cota de Cramer-Rao. Se definen los estimadores eficientes como aquellos que son insesgados y de mínima varianza. La cota de Cramer-Rao da una condición suficiente para que un estimador insesgado sea eficiente, que sin embargo no es una condición necesaria. Se introducen los conceptos de estimador consistente y suficiente.
Se estudian a continuación los métodos para construir estimadores. En primer lugar se estudia el método de máxima verosimilitud. Este método de estimación está basado en el concepto de función de verosimilitud dado por Fisher. La idea del método consiste en considerar como mejor estimador del parámetro el valor que haga máxima la verosimilitud para una muestra dada, con lo que el método se reduce al estudio de un problema de optimización. Se demuestra que los estimadores de máxima verosimilitud son invariantes por transformaciones biyectivas, que si existen estimadores eficientes (resp. suficientes) el estimador de máxima verosimilitud es eficiente (resp. función del estimador suficiente) y que sin embargo, en general, pueden no ser insesgados. A continuación se estudia el método de los momentos o de analogía que consiste en igualar los momentos muestrales a los poblacionales. Los estimadores que se obtienen por este método son consistentes aunque en general no son insesgados.
Si en lugar de utilizar una función de los valores de la muestra (estimación puntual), utilizamos dos funciones y damos la estimación del parámetro por medio del intervalo que tiene por extremos los valores de dichas funciones para una muestra dada, se dice que hemos dado una estimación del parámetro por intervalos o que hemos construido un intervalo de confianza. En su construcción hay dos elementos esenciales. La amplitud del intervalo que nos dará la precisión de la estimación y la probabilidad de que el valor del parámetro pertenezca al intervalo. Se dedica el tema 10 al método de estimación por intervalos. Se estudian los intervalos de confianza de la media con distintas suposiciones sobre la población, los de la varianza, los de la diferencia de medias, los de razón de varianzas y los de proporciones. Se estudia por último el problema de la fijación del tamaño de la muestra cuando se pretende dar una estimación del parámetro con una precisión y una confianza dadas.
Otra metodología de la Inferencia Estadística es el contraste de hipótesis. Una hipótesis estadística es una aseveración sobre la distribución de la población o sobre uno o varios parámetros poblacionales. El problema consiste en decidir si los datos obtenidos en la muestra son consistentes con la hipótesis, en cuyo caso será aceptada o si por el contrario debe rechazarse al obtener resultados significativamente diferentes de los que cabría esperar bajo esa hipótesis. Como en el caso de las distribuciones en el muestreo, los contrastes de hipótesis se clasifican en paramétricos y no paramétricos.
En el tema 11 se dan las cuestiones de tipo general y se estudian los contrastes paramétricos. Se establece una hipótesis que se denomina hipótesis nula y frente a ella una hipótesis denominada alternativa. Se clasifican los contrastes en unilaterales y bilaterales y las hipótesis en simples y compuestas. Se dan las definiciones de error de tipo I y error de tipo II y el concepto de potencia de un test. El nivel de significación del test limita la probabilidad de error de tipo I. Se estudian los contrastes de la media, de la diferencia de medias, de proporciones, de diferencia de proporciones, de varianzas y de la razón de verosimilitudes
VICENTE NOVO Y BIENVENIDO JIMÉNEZ haciendo notar el paralelismo existente entre estos contrastes paramétricos y los intervalos de confianza correspondientes.
Si las hipótesis que se realizan son sobre el modelo y no sólo sobre algún parámetro, tenemos los contrastes no paramétricos a los que se dedica el tema 12. Se trata de construir reglas de decisión que nos permitan concluir si el modelo propuesto en la hipótesis es aceptable o no. La aceptación o rechazo del modelo estará en función de las diferencias entre los resultados obtenidos en la muestra y aquellos que cabría esperar suponiendo que la hipótesis es cierta. Se estudian los contrastes de Pearson, llamado también contraste de la bondad del ajuste y el de Kolmogorov-Smirnov conocidos como contrastes de validación del modelo. Se concluye esta parte del tema con la descripción de dos contrastes no paramétricos de gran utilidad relacionados con la distribución de Pearson como son el contraste de homogeneidad y el contraste de independencia.
Se completa el tema describiendo otros contrastes no paramétricos. El test de los signos permite decidir si es aceptable la hipótesis de una media dada cuando no se dispone de otra información sobre la población. Esta prueba utiliza sólo el signo de la diferencia de cada dato con la media, pero no la magnitud de esta diferencia. Una prueba que utiliza el signo y la magnitud es la prueba de rango con signo de Wilcoxon. En esta prueba se supone que la población es simétrica y continua. Una variante de esta prueba, que se estudia a continuación, es el test de la suma de rangos para decidir sobre la igualdad de dos medias en poblaciones independientes. En el tema 13 se estudia, por medio del análisis de la varianza, una prueba para determinar la igualdad de más de dos medias; esta prueba exigirá normalidad. Una alternativa no paramétrica, en este caso, es el contraste de Kruskal-Wallis, que es una generalización del test de la suma de rangos.
2.9. Módulo 4. Modelos lineales, calidad y fiabilidad
2.9.1. Introducción
Este módulo se dedica a los modelos lineales y dos aplicaciones importantes de la Estadística para los futuros graduados en Ingeniería. En primer lugar se introduce el diseño de experimentos y se estudian los modelos de regresión lineal. La segunda parte del módulo se dedica al estudio de las técnicas estadísticas de control de calidad y la fiabilidad. En los dos epígrafes siguientes, se presentan los resultados concretos del aprendizaje y se contextualizan y comentan en detalle los contenidos de este módulo tema por tema.
2.9.2. Resultados del aprendizaje
En la primera parte de este módulo se introducen las técnicas de análisis de la varianza en el diseño de experimentos y los modelos de regresión, y en la segunda parte dos aplicaciones de los métodos estadísticos de gran utilidad en ingeniería y en la industria, como son los gráficos de control y la fiabilidad. En concreto, al finalizar el estudio de este módulo, el estudiante: Comprenderá la descomposición de variabilidad en los problemas de clasificación simple o problemas con un solo factor a estudio. Entenderá su papel en la técnica de análisis de la varianza (ADEVA). Podrá obtener una tabla ADEVA. Podrá evaluar los resultados de experimentos sencillos a través de la técnica de ADEVA. Conocerá diseños sencillos de más de un factor. Podrá aplicar en casos prácticos diseños de bloques aleatorizados o de cuadrados latinos. Comprenderá los modelos de regresión lineal simple de mínimos cuadrados. Podrá ajustar modelos lineales a conjuntos de datos y analizar los resultados. Podrá valorar la existencia o no de relación por medio del coeficiente de correlación lineal. Será capaz de aplicar los contrastes de regresión. Podrá construir intervalos de confianza de la respuesta media e intervalos de predicción.
VICENTE NOVO Y BIENVENIDO JIMÉNEZ predecir la respuesta para ese valor de la variable. Se dan los intervalos de confianza para la respuesta media y de predicción.
En el tema 15 se estudian los gráficos de control de calidad. El interés por el estudio y mejora de la calidad ha crecido sustancialmente en las últimas décadas, de forma que son muchas las empresas y organizaciones que han implantando programas de mejora de la calidad con objeto de conseguir niveles altos de calidad en sus productos o servicios. Estos programas de mejora encuentran en la utilización de los Métodos Estadísticos uno de sus principales puntos de apoyo.
Está demostrado que efectuar una inspección total de la producción, además de conllevar un elevadísimo coste, no siempre proporciona la confianza deseada. Factores como la monotonía, por la repetitividad del proceso de inspección, o el cansancio de quien la realiza, llevan consigo, en la práctica, a la obtención de hasta un quince por ciento de productos aceptados o rechazados incorrectamente, es decir:
La Estadística proporciona técnicas rápidas, sencillas y económicas que permiten obtener resultados con una fiabilidad muy superior a la indicada anteriormente.
En el tema 16 se da una introducción a los problemas de fiabilidad. Desde el punto de vista de la Ingeniería, la fiabilidad es la probabilidad de que un aparato o dispositivo desarrolle una determinada función, bajo condiciones fijadas, durante un período de tiempo determinado. La justificación para la utilización de los Métodos Estadísticos en Fiabilidad reside en el hecho de que éste es un concepto probabilístico y que el tiempo transcurrido hasta que se produce un fallo del dispositivo o sistema es una variable aleatoria. Este tiempo de fallo, que pueden ser horas o minutos pero también ciclos o kilómetros, puede tomar, en principio, cualquier valor entre cero e infinito.
En este tema se introducen las técnicas estadísticas usuales en fiabilidad. Se define la distribución del tiempo de fallo o función de infiabilidad y, a partir de esta distribución, el concepto de fiabilidad. Se clasifican los diferentes tipos de fallos y se introducen los conceptos de vida media, tasa de fallos y la función de tasa de fallos. Se comentan los modelos estadísticos más utilizados en el estudio de la fiabilidad de componentes o de sistemas, tratando, en el caso de los sistemas, los montajes en serie y en paralelo, a partir de los que se pueden diseñar sistemas complejos. Se concluye el tema con una sección dedicada a los contrastes o test de vida en fiabilidad.
En este apartado se dan orientaciones generales para la realización de las actividades propuestas por el equipo docente. Estas actividades, relacionadas con los materiales de estudio y de apoyo al aprendizaje son principalmente pruebas de autoevaluación y la prueba de evaluación a distancia, esta última de carácter voluntario.
En el curso virtual se podrán comunicar, en el momento oportuno, orientaciones específicas de cada módulo, así como actividades complementarias que puedan resultar de interés para los estudiantes.
Proponemos a continuación una planificación orientativa por semanas, sin indicar las fechas exactas, para el estudio de cada módulo. Los objetivos de esta planificación son: Dotar de la mayor flexibilidad y libertad al estudiante, pero dándole una pauta que le oriente sobre los plazos razonables para asegurar que pueda alcanzar los objetivos.
Evitar dudas y preocupaciones innecesarias antes y durante el estudio de la asignatura. Evitar desplazamientos innecesarios (al centro asociado, bibliotecas, etc).
Al igual que sucede con el plan de trabajo (Apartado 1 de este documento), los tiempos propuestos en las actividades son orientativos. Hemos partido de la base de 12 semanas (que numeramos del 1 al 12), dejando el tiempo restante como margen razonable para que cada estudiante lo utilice en las tareas que necesite incluyendo las pruebas de autoevaluación que quiera realizar y la prueba de evaluación continua, el repaso de contenidos que deberían de ser conocidos, la corrección de carencias, la realización de otros ejercicios complementarios o la preparación de los exámenes de la asignatura.
La propuesta orientativa para el estudio de los módulos se resume en la tabla siguiente.
MÓDULO 1 Estudio de contenidos y realización de ejercicios y problemas. Semanas 1, 2 y 3. MÓDULO 2 Estudio de contenidos y realización de ejercicios y problemas. Semanas 4, 5 y 6. Prueba de evaluación continua (PEC)
Realización de la prueba de evaluación continua y voluntaria que se propondrá en el curso virtual MÓDULO 3 Estudio de contenidos y realización de ejercicios y problemas. Semanas 7, 8 y 9. MÓDULO 4 Estudio de contenidos y realización de ejercicios y problemas. Semanas 10, 11 y 12. Preparación de la prueba presencial
Repaso y preparación del examen hasta la realización del mismo
Adicionalmente al estudio de los contenidos, a la realización de ejercicios específicos de cada módulo y a las lecturas recomendadas, hemos propuesto la realización de: Pruebas de autoevaluación por tema, no computable para la nota final. Prueba de evaluación continua o prueba de evaluación a distancia, con influencia en la calificación final.
Los objetivos comunes de todas las actividades son: Ayudar al estudiante en el aprendizaje de la asignatura. Orientar al estudiante en los pasos y pautas que debe ir dando a lo largo del semestre. Permitir que el estudiante se autoevalúe, supere las posibles carencias y pueda valorar si asimila los contenidos de forma adecuada.
Pruebas de autoevaluación
Las pruebas de autoevaluación son pruebas que puede realizar el estudiante si lo desea al final del estudio de cada tema, tratando de resolver los ejercicios de autocomprobación de cada tema. Estos problemas con soluciones los puede encontrar al final de cada tema del texto base de teoría. Son 15 pruebas (una por tema excluyendo el tema 7). Se realizan al finalizar cada tema del programa. Son optativas. NO son obligatorias. NO son computables en la calificación final. Son autoevaluadas (el estudiante se autoevaluará). Al finalizarla, se accede a la solución correcta. No hay tiempo máximo ni fechas de realización.
