Guía Mate IV preparatoria, Exámenes de Matemáticas

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GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS IV

BACHILLERATO

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Dirección General de la Escuela Nacional Preparatoria

Colegio de Matemáticas

Jefatura de Producción Editorial de la ENP

Escuela Nacional Preparatoria

Dirección Genera: Biól. María Dolores Valle Martínez

Secretaria Académica: M. en C. María Josefina Segura Gortares

Departamento de Producción Editorial: Lic. María Elena Jurado Alonso

Diseño de Portada: DCG Edgar Rafael Franco Rodríguez

Diseño editorial: M. en D. Martha Patricia Rodríguez Rosas

Corrección de estilo: M. en D. Martha Patricia Rodríguez Rosas

Cuidado de edición: Jonathan Iván Jiménez Castellanos

Diseño de imagen Elizabeth Ramírez Ochoa

Queda prohibida la reproducción total o parcial del contenido de la presente obra, sin la previa

autorización expresa y por escrito de su titular, en términos de la Ley Federal de Derecho de Autor,

y en su caso de los tratados internacionales aplicables. La persona que infrinja esta disposición se

hará acreedora a las sanciones legales correspondientes.

Primera edición: febrero, 20 20

Derechos reservados por

Universidad Nacional Autónoma de México

Escuela Nacional Preparatoria

Dirección General

Adolfo Prieto 722, Col. Del Valle.

C.P. 03100, Ciudad de México

Impreso en México.

PRESENTACIÓN

La Escuela Nacional Preparatoria, institución educativa con más de 150 años de

experiencia formando jóvenes en el nivel medio superior, busca la constante

actualización y mejora de sus materiales de apoyo a la docencia, así como la

publicación de nuevos ejemplares, siempre teniendo en mente a nuestros alumnos

y su aprovechamiento.

Después de varios años de trabajo, reflexión y discusión, se lograron dar dos

grandes pasos: la actualización e implementación de los programas de estudios de

bachillerato y la publicación de la nueva colección de Guías de Estudio. Sin

embargo, los trabajos, resultado del espíritu crítico de los profesores, siguen dando

fruto con publicaciones constantes de diversa índole, siempre en torno a nuestro

quehacer docente y a nuestros programas actualizados.

Ciertamente, nuestra Escuela Nacional Preparatoria es una institución que no se

detiene, que avanza con paso firme y constante hacia su excelencia académica, así

como preocupada y ocupada por la formación integral, crítica y con valores de

nuestros estudiantes, lo que siempre ha caracterizado a nuestra Universidad

Nacional.

Aún nos falta más por hacer, por mejorarnos cada día, para que tanto nuestros

jóvenes estudiantes como nuestros profesores seamos capaces de responder a

esta sociedad en constante cambio y a la Universidad Nacional Autónoma de

México, la Universidad de la Nación.

“ POR MI RAZA HABLARÁ EL ESPÍRITU”

BIÓL. MARÍA DOLORES VALLE MARTÍNEZ

DIRECTORA GENERAL

ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA

INTRODUCCIÓN

La guía de Matemáticas IV tiene como objetivo brindar los contenidos básicos

necesarios para presentar el examen extraordinario acorde a los propósitos y

enfoque principal del programa de esta asignatura.

El propósito de la asignatura de Matemáticas IV es que los estudiantes

desarrollen sus capacidades de abstracción, generalización, comunicación

matemática y razonamiento lógico mediante el análisis y la resolución de problemas

contextualizados a partir de la construcción de modelos aritméticos, algebraicos y

geométricos. En este sentido, la presente guía se basa en el análisis de situaciones

contextualizadas que permiten que el alumno transite entre los contenidos y las

habilidades de razonamiento para la resolución de las mismas. Los conceptos y

procesos surgen como una necesidad para dar respuesta a cada interrogante

planteada.

En la Unidad 1, Los números reales para contar, comparar y medir , las

situaciones pretenden desarrollar habilidades de razonamiento lógico y el uso de

los números reales en diferentes contextos.

La Unidad 2, Expresiones algebraicas para describir y generalizar, tiene

como objetivo que los alumnos mediante la representación de diversos fenómenos

o eventos a través de expresiones algebraicas desarrollen sus habilidades de

abstracción y generalización.

La Unidad 3, Ecuaciones de primer y segundo grado para modelar

condiciones específicas de una función, permite a través de las situaciones

contextualizadas plantear ecuaciones con una incógnita para representar e

interpretar la solución de fenómenos que se modelen mediante funciones lineales o

cuadráticas.

La Unidad 4, Sistemas de ecuaciones para modelar condiciones simultaneas ,

presenta situaciones contextualizadas que muestran la utilidad de los modelos

lineales en dos y tres variables para representar diversos fenómenos.

La Unidad 5, Inecuaciones para modelar restricciones , permite analizar

situaciones problemáticas bajo ciertas restricciones, interpretar y validar los

resultados mediante modelos gráficos y algebraicos de inecuaciones o sistemas de

inecuaciones.

La Guía de estudios de Matemáticas IV, presenta en cada unidad el objetivo

específico señalado en el programa de estudios, además de situaciones para

introducir los contenidos, actividades de autoevaluación, referencias bibliográficas

y un modelo de examen.

Es importante enfatizar que la guía pretende brindar algunos recursos que

sirvan como modelo para preparar a los alumnos en la presentación del examen,

por esta razón se trabaja con situaciones contextualizadas, de las que se derivan

cuatro o más preguntas de opción múltiple, tal como en los exámenes

extraordinarios. La presente guía no es un libro de texto, se aconseja revisar la

bibliografía sugerida en cada unidad a fin de tener una mejor preparación.

Factorización de un trinomio de la forma

UNIDAD III. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO PARA

MODELAR CONDICIONES ESPECÍFICAS EN UNA FUNCIÓN

Referencias bibliográficas

UNIDAD IV. SISTEMAS DE ECUACIONES PARA MODELAR

CONDICIONES SIMULTANEAS

Procedimiento general para resolver un sistema de dos inecuaciones lineales

• Presentación
• Introducción
• Objetivo
• Medidas de tendencia central
• Tabla de distribución de frecuencia
• Grafica o diagrama de barras
• Gráfica circular
• Rango
• Intervalos de clase
• Histograma de frecuencias
• Números naturales
• Números enteros
• Proporcionalidad
• Números racionales
• Mínimo común múltiplo
• Jerarquía de operaciones
• Leyes de los exponentes
• Porcentaje
• Notación científica
• Actividades de reforzamiento
• Respuestas de las actividades de reforzamiento
• Referencias bibliográficas
• Objetivos específicos
• Lenguaje algebraico
• Expresión y término algebraicos
• Valor de una expresión algebraica
• Monomio
• Términos semejantes
• Grado del polinomio
• Polinomio
• Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
• Valor de un polinomio
• Factor común
• Factorización de una diferencia de cuadrados
• x  px  q
• Factorización por agrupación de términos
• Actividades de reforzamiento
• Anexo
• Respuestas de las actividades de reforzamiento
• Referencias bibliográficas
• Objetivo
• Igualdad, ecuación e identidad
• Ecuación de primer grado
• Propiedades de la igualdad
• Ecuaciones de segundo grado
• Discriminante
• Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas
• Números complejos e imaginarios
• Concepto intuitivo de función
• Actividades de reforzamiento
• Respuestas de las actividades de reforzamiento
• Objetivo específico
• Sistemas de ecuaciones
• Método de sustitución
• Método de suma y resta
• Método de igualación
• Actividades de reforzamiento
• Respuestas de las actividades de reforzamiento
• Referencias bibliográficas
• UNIDAD V INECUACIONES PARA MODELAR RESTRICCIONES
• Objetivo
• Concepto de desigualdad
• Propiedades de las desigualdades
• Tipos de intervalos
• Conceptos de inecuación
• Valor absoluto de un número real
• Conjuntos
• Propiedades de valor absoluto
• Inecuación de primer grado con dos incógnitas
• Actividades de reforzamiento
• Respuestas de las actividades de reforzamiento
• Bibliografía
• Examenes tipo extraordinario
• Respuestas a los exámenes tipo extraordinario

UNIDAD I. LOS NÚMEROS REALES PARA CONTAR, COMPARAR

Y MEDIR

Objetivo

El alumno:

Desarrollará habilidades de razonamiento lógico al: cuantificar fenómenos o eventos

a través de modelos gráficos y aritméticos que involucren la resolución de

operaciones con números reales usando procedimientos diversos y aplicando las

propiedades pertinentes; analizar los factores que intervienen en un fenómeno para

compararlos con estándares nacionales y/o mundiales y fundamentar una opinión;

describir (verbalmente y por escrito) gráficas de diversas fuentes (científicas, de

divulgación, de medios masivos de comunicación), interpretarlas y argumentar una

conclusión y/o una postura personal.

Situación 1. Precios de un celular

La Tabla 1.1 muestra el precio de un celular iPhone X Gris Espacial, en ocho tiendas

distintas.

Tabla 1.1 Precios de un celular

Tienda Precio

1

2

3

4

5

6

7

8

1.1 ¿Qué valor tiene la moda en los precios del celular?

A) $15,999.

B) $15,600.

C) $15,949.

D) $16,949.

Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central en Estadística son valores que se calculan a

partir de un conjunto de datos, permitiendo realizar inferencias sobre la

naturaleza de la población en cuestión. Las medidas centrales más utilizadas

son la Media aritmética , la Mediana y la Moda.

Moda

La moda se define como el valor o clase que tiene mayor frecuencia (el valor del

dato que más se repite) en un conjunto de observaciones

Solución:

Dado que la moda es el valor del dato que más se repite, entonces, el valor de la

moda en los precios de los celulares es $15,999.00ya que es el precio del celular en

tres tiendas.

Respuesta correcta: A) $15,999.

1.2 ¿Cuál es la mediana en los precios del celular?

A) $17,997.

B) $15,997.

C) $17,999.

D) $15,600.

Mediana

La mediana es conocida como una medida de posición, ya que es el valor central

en un conjunto de datos ordenados. Para obtenerla se necesita ordenar los datos

ya sea de menor a mayor o viceversa.

Cuando hay una cantidad impar de datos, la mediana es el valor central de ellos.

Para calcular su posición se aplica la siguiente expresión.

n Posición dela Mediana

Donde n es el total de datos.

1.3 ¿Cuál es el precio promedio del celular?

A) $16 011.

B) $16 949.

C) $15 011.

D) $15 999.

Media aritmética

La media aritmética (media o promedio) para datos no agrupados, es la suma de

los valores de todas las observaciones (datos) dividida entre el número total de

datos, simbólicamente esto es

1

n

i i

x

X

n

 

Donde

1

n

i 

 indica que se realizará la suma del primero hasta el último de los

datos, xi representa cada uno de los datos a sumar y el subíndice (^) i indica la

posición del dato.

Solución:

Para obtener la Media (promedio) de los precios, vamos a realizar la suma de todos

los precios y dividir la suma entre 8 que es la cantidad total de datos.

8

1

8

i i

x

X

 

X

X  

Por tanto, el precio promedio del celular es de$16 011.

La respuesta correcta es: A) $16 011.

1.4 Si Jorge tiene ahorrado $10,000.00 y sus padres deciden apoyar la compra del

celular ¿Cuál es la cantidad de dinero que debe pedirles para alcanzar el costo

promedio?

A) $5,997.

B) $5,999.

C) $6,011.

D) $6,999.

Solución:

Como el costo promedio es el valor de la media aritmética: X 16,011.

(reactivo1.3), entonces, Jorge debe pedirles a sus padres

$16 011.25  $10,000.00 $6,011.

La respuesta corecta es el inciso C) $6,011.

Situación 2. Pesos de 20 estudiantes

Los siguientes datos son los pesos en kilogramos de un grupo de 20 estudiantes de

la ENP número 8

50.00, 52.00, 52.00, 53.00,53.00,54.00,54.00,54.00,55.00, 55.00,

55.00, 55.00, 56.00,56.00,56.00, 56.00,56.00,57.00,57.00,57.

2.1 La Tabla de distribución de frecuencias absolutas de los datos anteriores es:

A) Peso en

kilogramos de

los alumnos

Frecuencia

50.00^1

52.00^2

53.00^2

54.00^3

55.00^4

56.00^5

57.00^3

Total 20

B) Peso en

kilogramos de

los alumnos

Frecuencia

50.00^1

52.00^3

53.00^5

54.00^8

55.00^12

56.00^17

57.00^20

Total 66

2.2 ¿Cuál es la frecuencia relativa de los pesos de los alumnos?

A) Peso en

kilogramos de

los alumnos

f a f r n

50.00^ 0.

52.00^ 0.

53.00^ 0.

54.00^ 0.

57.00^ 0.

Total 1

B) Peso en

kilogramos de

los alumnos

f a f r n

50.00^ 0.

52.00^ 0.

53.00^ 0.

54.00^ 0.

57.00^ 0.

Total 1

C) Peso^ en

kilogramos de

los alumnos

f a f r n

50.00^ 0.

52.00^ 0.

53.00^ 0.

54.00^ 0.

55.00^ 0.

56.00^ 0.

57.00^ 0.

Total 2.

D) Peso en

kilogramos de

los alumnos

f a f r n

50.00^ 0.

52.00^ 0.

53.00^ 0.

54.00^ 0.

55.00^ 0.

56.00^ 0.

57.00^ 0.

Total 2.

Frecuencia relativa

Es el cociente de la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número

total de datos.

Simbólicamente se representa como

f a f r n

La suma de las frecuencias relativas es 1.

Solución:

Dado que la frecuencia relativa es el cociente de la frecuencia absoluta entre el total

de datos, la Tabla 1.3 muestra la forma de calcularla.

Tabla 1. 3 frecuencia relativa de los pesos

Peso en kilogramos de los alumnos f a.. .

f a f r n

50.00^11

52.00^22

53.00^22

54.00^33

55.00^44

56.00^55

57.00^33

Total 20 1

La respuesta correcta es el inciso A):

Peso en kilogramos de los alumnos. .

f a f r n

50.00^ 0.

52.00^ 0.

53.00^ 0.

54.00^ 0.

55.00^ 0.

56.00^ 0.

57.00^ 0.

Total 1