¡Descarga Fundamentos de Programación: Sistemas de Numeración y más Ejercicios en PDF de Historia solo en Docsity!
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Binario, octal y hexadecimal
- Sistemas de numeración
- Sistema de numeración decimal
- Sistema de numeración binario
- Conversión entre números decimales y binarios El tamaño de las cifras binarias Conversión de binario a decimal
- Sistema de numeración octal
- Conversión de un número decimal a octal
- Conversión octal a decimal
- Sistema de numeración hexadecimal
- Conversión de números binarios a octales y viceversa
- Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa
Sistemas de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
1. Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En el sistema decimal el número 528 , por ejemplo, significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 510^2 + 210^1 + 810^0 o, lo que es lo mismo: 500 + 20 + 8 = 528 En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como: 8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos 810^3 + 210^2 + 410^1 + 510^0 + 910-^1 + 710-*^2 , es decir: 8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,
2. Conversión entre números decimales y binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes: 77 : 2 = 38 Resto: 1 38 : 2 = 19 Resto: 0 19 : 2 = 9 Resto: 1 9 : 2 = 4 Resto: 1 4 : 2 = 2 Resto: 0 2 : 2 = 1 Resto: 0 1 : 2 = 0 Resto: 1 y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: 7710 = 1001101 2 Ejercicio 1: Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276 i. El tamaño de las cifras binarias La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77 , que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario. Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 2^8 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos. Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2 n , números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2 n^ – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total
de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15 , porque 24 - 1 = 15. Ejercicio 2: Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso. Ejercicio 3: Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?
3. Conversión de binario a decimal
El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda. Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit: 12^6 + 02^5 + 12^4 + 02^3 + 02^2 + 12^1 + 12*^0 = 83 10100112 = 83 10 Ejercicio 4: Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios: 110111, 111000, 010101, 101010, 1111110
Ejercicio 5: Convierte los siguientes números decimales en octales: 6310 , 51310, 11910
5. Conversión octal a decimal
La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito: 28^2 + 38^1 + 78*^0 = 128 + 24 + 7 = 159 10 2378 = 159 10 Ejercicio 6: Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 458 , (^1258) , 6258
Sistema de numeración hexadecimal
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16. Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F 16 : 1A3F 16 = 116^3 + A16^2 + 316^1 + F16^0 14096 + 10256 + 316 + 151 = 6719 1A3F 16 = 6719 10 Ejercicio 7:** Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC5 16 , 10016 , 1FF 16 Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones: 1735: 16 = 108 Resto: 7 108: 16 = 6 Resto: C es decir, (^1210) 6: 16 = 0 Resto: 6
Ejercicio 9: Convierte los siguientes números binarios en octales: 11011012 , 1011102 , 11011011 2 , 101101011 2 La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos: 78 = 111 2 58 = 101 2 08 = 000 2 y, por tanto: 7508 = 111101000 2 Ejercicio 10: Convierte los siguientes números octales en binarios: 258 , 372 8 , (^27538)
7. Conversión de números binarios a hexadecimales y
viceversa
Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla: DECIMAL BINARIO HEXADECIMAL 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7
DECIMAL BINARIO HEXADECIMAL
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 101001110011 2 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal: 10102 = A 16 01112 = 7 16 00112 = 3 16 y, por tanto: 1010011100112 = A73 16 En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo: 1011102 = 00101110 2 = 2E 16 Ejercicio 11: Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios: 10101001010111010102 , 111000011110000 2 , 1010000111010111 2
ARITMÉTICA BINARIA
Operaciones elementales con números binarios
Suma de números binarios Resta de números binarios
- Complemento a dos
- Complemento a uno
- Restar con el complemento a dos Multiplicar números binarios Dividir números binarios La Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones.
Suma en binario
Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:
- 0 1 0 0 1 1 1 0 + 1 Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes: 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos: 010 + 101 = 111 2 10 + 5 10 = 7 10 001101 + 100101 = 110010 13 10 + 37 10 = 50 10 1011011 + 1011010 = 10110101 91 10 + 90 10 = 181 10 110111011 + 100111011 = 1011110110 443 10 + 315 10 = 758 10 Ejercicio 1: Realiza las siguientes sumas de números binarios: 111011 + 110 111110111 + 111001 10111 + 11011 + 10111
Sustracción en binario
La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo , sustraendo y diferencia.
- 0 1 0 0 1 1 1 + 1 0 Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes: 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1
C2N = 2n^ – N Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 101101 2 , que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos: N = 45 10 n = 6 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 010011 2 Ejercicio 3: Calcula el complemento a dos de los siguientes números: 11001, 10001011, 110011010 ii. Complemento a uno
El complemento a uno de un número N , compuesto por n bits es, por
definición, una unidad menor que el complemento a dos, es decir: C1N = C2N - 1 y, por la misma razón: C2N = C1N + 1 Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior: siendo N = 101101 , y su complemento a dos C2N = 010011 C1N = C2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010 C1N = 010010 Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de complicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece.
En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si:
N = 110100101
obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:
C1N = 001011010
y su complemento a dos es:
C2N = C1N + 1 = 001011011
¡es muy fácil! Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea:
N = 0110110101
El complemento a uno es:
C1N = 1001001010
y el complemento a dos es:
C2N = 1001001011
iii. Restar en binario usando el complemento a dos Y, por fin, vamos a ver cómo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos números puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos: Primer ejemplo: Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45 , en binario: 1011011 – 0101110 = 0101101
Multiplicación binaria
La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender: x 0 1 0 0 0 1 0 1 En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS. Veamos, por ejemplo, una multiplicación:
Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:
¡correcto! Ejercicio 5: Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en el sistema decimal: 10110101000101 x 1011 10100001111011 x 10011
División binaria
Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS. Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7 , en binario:
