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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
MATEM ATICAS PARA LA ECONOM´ ´IA II
PROBLEMAS (SOLUCIONES )
HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciaci´on.
3-1. Calcular ∂f∂x , ∂f∂y para las siguientes funciones. (a) f (x, y) = x cos x sen y (b) f (x, y) = exy 2 (c) f (x, y) = (x^2 + y^2 ) ln(x^2 + y^2 )
Soluci´on: (a) Las derivadas parciales de la funci´on f (x, y) = x(cos x)(sin y) son ∂f (x, y) ∂x = cos x sin y − x sin x sin y, ∂f (x, y) ∂y = x cos x cos y
(b) Las derivadas parciales de la funci´on f (x, y) = exy 2 son ∂f (x, y) ∂x = y^2 exy 2 , ∂f (x, y) ∂y = 2xyexy 2
(c) Las derivadas parciales de la funci´on f (x, y) = (x^2 + y^2 ) ln(x^2 + y^2 ) son ∂f (x, y) ∂x = 2x ln
x^2 + y^2
x^2 + y^2
3-2. Determinar la productividad marginal de cada factor para la siguiente funci´on de producci´on Cobb-Douglas
F (x, y, z) = 12x^1 /^2 y^1 /^3 z^1 /^4
Soluci´on: Calculamos las derivadas parciales respecto a cada uno de los factores ∂F ∂x = 6 x−^1 /^2 y^1 /^3 z^1 /^4 ∂F ∂y =^4 x
1 / (^2) y− 2 / (^3) z 1 / 4
∂F ∂z = 3 x^1 /^2 y^1 /^3 z−^3 /^4
3-3. Calcular el gradiente de las siguientes funciones en el punto p indicado. (a) f (x, y) =
a^2 − x^2 − y^2
en p = (a/ 2 , a/2). (b) g(x, y) = ln(1 + xy)^1 /^2 en p = (1, 1). (c) h(x, y) = ey^ cos(3x + y) en p = (2π/ 3 , 0).
Soluci´on: (a) ∇(a^2 − x^2 − y^2 )^1 /^2 =
√^ −x (a^2 −x^2 −y^2 ) ,^ √ −y (a^2 −x^2 −y^2 )
por lo que el gradiente es ( −x √ (a^2 − x^2 − y^2 )
−y √ (a^2 − x^2 − y^2 )
∣x=y=a/ 2
(b) ∇(ln(1 + xy)^1 /^2 ) = (^12)
y 1+xy ,^ x 1+xy
por lo que el gradiente en el punto pedido es
4 ,^
1 4
(c) ∇ (ey^ cos(3x + y))|x=2π/ 3 ,y=0 = = (− 3 ey^ sin (3x + y) , ey^ cos (3x + y) − ey^ sin (3x + y))|x=2π/ 3 ,y=0 = (0, 1)
1
3-4. Sea la funci´on:
f (x, y) =
2 x (^2) +y 2 |x|+|y| sen(xy)^ si(x, y)^6 = (0,^ 0) 0 si(x, y) = (0, 0) (a) Calcular las derivadas parciales de f en el punto (0, 0). (b) Comprobar que f es continua en R^2. (sug: Utilizar (demostrando primero) que si (x, y) 6 = (0, 0), entonces
0 ≤
x^2 + y^2 |x| + |y|
(c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
Soluci´on: (a) Las derivada parcial respecto a x es ∂f ∂x (0, 0) = lim t→ 0
f (t, 0) − f (0, 0) t
ya que sen(0) = 0. An´alogamente, ∂f ∂y (0,^ 0) = lim t→ 0
f (0, t) − f (0, 0) t = 0 por lo que ∇f (0, 0) = (0, 0) (b) Observamos que si (x, y) 6 = (0, 0), la funci´on f es un cociente de funciones continuas y, por lo tanto es continua en todos los puntos (x, y) 6 = (0, 0). Recordemos que la funci´on f es continua en el punto (0, 0) si lim (x,y)→(0,0) f (x, y) = f (0, 0)
Vamos a demostrar esto. En primer lugar, como |x|, |y| ≥ 0 x^2 + y^2 ≤ |x|^2 + |y|^2 + 2|x||y| = (|x| + |y|)^2 por lo que 0 ≤
x^2 + y^2 |x| + |y|
Dado ε > 0, tomamos δ = ε/2. Supongamos ahora que 0 <
x^2 + y^2 < δ y entonces tenemos que
|f (x, y)| =2 x
(^2) + y 2 |x| + |y| | sen(xy)| (ya que | sen(xy)| ≤ 1)
x^2 + y^2 |x| + |y|
=
x^2 + y^2
x^2 + y^2 |x| + |y| (por la observaci´on anterior)
≤ 2
x^2 + y^2 | < 2 δ = ε
(c) En primer lugar, observamos que f es diferenciable en R^2 \ {(0, 0)}, ya que las parciales existen y son continuas en es conjunto. La funci´on es diferenciable en (0, 0) si
lim (v 1 ,v 2 )→(0,0)
f (v 1 , v 2 ) − f (0, 0) − ∇f (0, 0) · (v 1 , v 2 ) √ v^21 + v^22
Observamos que f (0, 0) = 0, ∇f (0, 0) · (v 1 , v 2 ) = 0. As´ı que consideramos el cociente f (v 1 , v 2 ) √ v^21 + v^22
v^21 + v^22 (|v 1 | + |v 2 |)
v^21 + v 22
sen(v 1 v 2 ) = 2
v^21 + v^22 (|v 1 | + |v 2 |) sen(v 1 v 2 )
con (v 1 , v 2 ) 6 = (0, 0). La funci´on f es diferenciable en (0, 0) si
lim (v 1 ,v 2 )→(0,0)
v^21 + v^22 (|v 1 | + |v 2 |) sen(v 1 v 2 ) = 0
(b) La funci´on es continua en R^2 {(0, 0)}, ya que es un cociente de funciones continuas y el denominador no se anula. Estudiamos ahora la continuidad en (0, 0). Sea ε > 0. Tomamos δ =
ε/2. Si 0 <
x^2 + y^2 < δ entonces, ∣∣ ∣∣ 2 x
(^3) y x^2 + 2y^2 cos(xy)
∣∣ =2 x
(^2) |x||y| x^2 + 2y^2 | cos(xy)|
≤ 2 |x||y| (porque x^2 ≤ x^2 + 2y^2 y | cos(xy)| ≤ 1
x^2
y^2 ≤ 2
x^2 + y^2
x^2 + y^2
< 2 δ^2 = ε
(c) La funci´on es diferenciable en (0, 0) si
(x,ylim)→(0,0)
f (x, y) − f (0 √, 0) − ∇f (0, 0) · (x, y) x^2 + y^2
Como f (0, 0) = 0, ∇f (0, 0) · (x, y) = 0, La funci´on es diferenciable en (0, 0) si
lim (x,y)→(0,0)
x^3 y (x^2 + 2y^2 )
x^2 + y^2
cos(xy) = 0
Dado ε > 0, tomamos δ = ε. Si 0 <
x^2 + y^2 < δ entonces, ∣∣ ∣∣ ∣
x^3 y (x^2 + 2y^2 )
x^2 + y^2
cos(xy)
x^3 y (x^2 + 2y^2 )
x^2 + y^2
x^2 |x||y| (x^2 + 2y^2 )
x^2 + y^2
≤ √|x||y| x^2 + y^2
x^2
√ y^2 x^2 + y^2 ≤
y^2 ≤
x^2 + y^2 < δ = ε por lo que f es diferenciable en (0, 0).
3-7. Calcular las derivadas de las siguientes funciones en el punto p seg´un el vector v indicados en cada caso. (a) f (x, y) = x + 2xy − 3 y^2 , con p = (1, 2), v = (3, 4) (b) g(x, y) = exy^ + y arctg x, con p = (1, 1), v = (1, −1) (c) h(x, y) =
x^2 + y^2
, con p = (0, 5), v = (1, −1).
Soluci´on: (a) ∇(x + 2xy − 3 y^2 )
x=1,y=2 = (1 + 2y,^2 x^ −^6 y)|x=1,y=2^ = (5,^ −10). Por lo que la derivada seg´un el vector (3, 4) es (5, −10) · (3, 4) = − 25 (b) ∇(exy^ + y arctan x)|x=1,y=1 =
yexy^ + (^) 1+yx 2 , xexy^ + arctan x
x=1,y= = (e + 12 , e + arctan 1) = (e + 1 2 , e^ +^ π 4 ). Por lo que la derivada seg´un el vector (1,^ −1) es (e +^1 2 , e + π 4
) · (1, −1) =^1
− π 4
(c) ∇((x^2 + y^2 )^1 /^2 )
x=0,y=5 =
√^ x (x^2 +y^2 ) ,^ √ y (x^2 +y^2 )
x=0,y=
= (0, 1). Por lo que la derivada seg´un el vector (1, −1) es (0, 1) · (1, −1) = − 1
3-8. Sea B(x, y) = 10x − x^2 − 12 xy + 5y los beneficios de una empresa. El a˜no pasado vendi´o x = 4 unidades de la mercanc´ıa 1 e y = 2 unidades de la mercanc´ıa 2. Si este a˜no desea aumentar sus ventas en una peque˜na cantidad de la forma m´as beneficiosa posible, ¿a qu´e deber´a ser igual ∆ ∆xy?
Soluci´on: ∇(10x − x^2 − xy 2
x=4,y=
10 − 2 x − y 2
x 2
x=4,y=
Como el gradiente indica la direcci´on de m´aximo crecimiento de la funci´on, si hay un incremento ( 4 x, 4 y), para que ese aumento sea lo m´as beneficioso posible, se debe cumplir que ( 4 x, 4 y) = k(1, 3). De ah´ı obtenemos que 4 x = k y 4 y = 3k y, por tanto, 4 x/ 4 y = 1/ 3.
3-9. Se sabe que ∂f∂x (2, 3) = 7 y D( √ (^15) , √ 25 )f(2,3) = 3
5 obtener ∂f∂y (2, 3) y Dv f(2,3) con v = ( 35 , 45 ). Soluci´on: Sabemos que
D( √ (^15) , √ (^25) )f (2, 3) =
∂f ∂x
∂f ∂y
y que ∂f ∂x
Llamando z = ∂f ∂y
se debe cumplir que (7, z) · ( √^1 5
, √^2
Y eso equivale a 7
2 z
y, por tanto ∂f ∂y
Ahora podemos calcular
D( 35 , 45 )f (2, 3) =
∂f ∂x
∂f ∂y
3-10. Dada la funci´on f (x, y, z) = xy^2 + z^2 y, calcula la derivada seg´un el vector v = (1, − 1 , 2) en el punto (1, 1 , 0). Determina la direcci´on para la que se maximiza (resp. minimiza) la derivada direccional en el punto (1, 1 , 0), as´ı como su valor.
Soluci´on: El gradiente de la funci´on f (x, y, z) = xy^2 + z^2 y en el punto (1, 1 , 0) es ∇f (1, 1 , 0) = ∇(xy^2 + z^2 y)
x=1,y=1,z=0 =^
y^2 , 2 xy + z^2 , 2 zy
x=1,y=1,z=0 = (1,^2 ,^ 0) La derivada seg´un vector v es Dv f (1, 1 , 0) = ∇f (1, 1 , 0) · v = (1, 2 , 0) · (1, − 1 , 2) = − 1 La direcci´on que maximiza la derivada direccional es ∇f (1, 1 , 0) ‖∇f (1, 1 , 0)‖
= √^1
y el valor m´aximo de la derivada direccional es ‖∇f (1, 1 , 0)‖ =
An´alogamente, la direcci´on que minimiza la derivada direccional es
− ∇f^ (1,^1 ,^ 0) ‖∇f (1, 1 , 0)‖
= √^1
y el valor m´ınimo de la derivada direccional es −‖∇f (1, 1 , 0)‖ = −
3-11. Sea f (x, y) = x^2 + y^2 + 1 y g(x, y) = (x + y, ay) determinar, (a) El valor de a para que la funci´on f ◦g tenga como direcci´on de m´aximo crecimiento la del vector v = (5, 7) en el punto p = (1, 1). (b) Las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva xy^2 − 2 x^2 + y + 5x = 6 en el punto (4, 2).
Soluci´on: Consideramos las funciones f (x, y) = x^2 + y^2 + 1 y g(x, y) = (x + y, ay)
(b) ∂z ∂r =^
∂z ∂x
∂x ∂r +^
∂z ∂y
∂y ∂r = − 10 x 2
25 − 5 x^2 − 5 y^2
cos θ − 10 y 2
25 − 5 x^2 − 5 y^2
sin θ
5 r cos^2 θ √ 25 − 5 r^2
5 r sin^2 θ √ 25 − 5 r^2
5 r √ 25 − 5 r^2 ∂z ∂θ
∂z ∂x
∂x ∂θ
∂z ∂y
∂y ∂θ = − 10 x √ 25 − 5 x^2 − 5 y^2
10 y √ 25 − 5 x^2 − 5 y^2 = − 10 x 2
25 − 5 x^2 − 5 y^2
(−r sin θ) − 10 y 2
25 − 5 x^2 − 5 y^2
(r cos θ)
5 r √^2 cos θ sin θ 25 − 5 r^2
5 r √^2 cos θ sin θ 25 − 5 r^2
3-14. La utilizaci´on del capital K en el instante t genera unos beneficios en ese momento de
B(t) = 5(1 + t)^1 /^2 K Supongamos que el capital var´ıa en el tiempo seg´un la ecuaci´on K(t) = 120et/^4. Determinar la tasa de cambio de B.
Soluci´on: Como dK dt = 30et/^4 vemos que d dt B^ =^ =^
2 (1 +^ t)
− 1 / (^2) K + 5(1 + t) 1 / 2 dK dt = 300(1 + t)−^1 /^2 et/^4 + 150(1 + t)^1 /^2 et/^4
3-15. Verificar la regla de la cadena para la funci´on h = xy + yz + zx con x = et, y = et^2 y z = et^3.
Soluci´on: Tenemos h(x, y, z) = xy + yz + xz y x(t) = et, y(t) = et^2 , z(t) = et^3. Sustituyendo,
h(x(t), y(t), z(t)) = et et^2
et^2 et^3
et et^3 = e−t(−1+t)^ + e−t (^2) (−1+t)
- e(−t(−1+t)(t+1)) Ahora derivamos, Dt(e−t(−1+t)^ + e−t (^2) (−1+t)
- e(−t(−1+t)(t+1))) = e−t(−1+t)^ − 2 e−t(−1+t)t + 2e−t (^2) (−1+t) t − 3 e−t (^2) (−1+t) t^2 + e(−t(−1+t)(t+1))^ − 3 e(−t(−1+t)(t+1))t^2. Etc.
Dx( f g^ ((xx)) ) =
∂f ∂x (x )g(x)−f (x) ∂g ∂x(x) g^2 (x) Dt( e t et^2 ) =^ e
−t(−1+t) (^) − 2 te−t(−1+t) Dt( e t^2 et^3 ) = 2te
−t^2 (−1+t) (^) − 3 t (^2) e−t^2 (−1+t) Dt( e t et^3 ) =^ e
(−t(−1+t)(t+1)) (^) − 3 t (^2) e(−t(−1+t)(t+1))
3-16. Verificar la regla de la cadena para la composici´on f ◦ c en los casos.
(a) f (x, y) = xy, c(t) = (et, cos t). (b) f (x, y) = exy^ , c(t) = (3t^2 , t^3 ).
Soluci´on:
(a) Las funciones son f (x, y) = xy y c(t) = (x(t), y(t)) = (et, cos t). Por lo que, f (x(t), y(t)) = f (et, cos t) = et^ cos t y d dt f (x(t), y(t)) = et^ cos t − et^ sin t Ahora calculamos ∇f (c(t)) · dc dt Por un parte, ∇f (x, y) = (y, x) mientras que dc dt = (e
t, − sin t) Por tanto, ∇f (c(t)) · dc dt = y(t)et^ − x(t) sin t que coincide con lo que hemos encontrado m´as arriba. (b) Las funciones son f (x, y) = exy^ y c(t) = (x(t), y(t)) = (3t^2 , t^3 ). Por lo que, f (x(t), y(t)) = f (3t^2 , t^3 ) = e^3 t 5 y d dt f^ (x(t), y(t)) = 15t
(^4) e 3 t^5 Ahora calculamos ∇f (c(t)) · dc dt Por un parte, ∇f (x, y) = (yexy^ , xexy^ ) mientras que dc dt = (6t, 3 t^2 ) Y por tanto, ∇f (c(t)) · dc dt
6 yexy^ t + 3xexy^ t^2
x=3t^2 ,y=t^3 = 15t
(^4) e 3 t^5
3-17. Expresar mediante la regla de la cadena h′(x) en los siguientes casos. (a) h(x) = f (x, u(x, a)), donde a ∈ R es un par´ametro. (b) h(x) = f (x, u(x), v(x)).
Soluci´on: (a) h′(x) = ∂f^ (x, u(x, a)) ∂x
∂u(x, a) ∂x (b) h′(x) = ∂f^ (x, u(x), v(x)) ∂x
- ∂f^ (x, u(x), v(x)) ∂y u′(x) + ∂f^ (x, u(x), v(x)) ∂z v′(x)
3-18. Determinar en qu´e puntos la superficie z = e(x−1)^2 +y^2 tiene un plano tangente horizontal y calcular su ecuaci´on en esos puntos.
Soluci´on: Consideramos la funci´on de 3 variables g(x, y, z) = e(x−1) (^2) +y 2 − z Nos piden el plano tangente a la superficie de nivel A = {(x, y, z) ∈ R^3 : g(x, y, z) = 0} en un punto (x, y, z) en el que ese plano sea horizontal. En ese punto debe verificarse ∇g(x, y, z) = (0, 0 , −1) Como, ∇g(x, y, z) =
2(x − 1)e(x−1) (^2) +y 2 , 2 ye(x−1) (^2) +y 2 , − 1
debe verificarse que x = 1, y = 0. La coordenada z es z = e(x−1)
(^2) +y 2 ∣∣ ∣ x=1,y=
(c) Calculamos el gradiente ∇((y − x^2 )(y − 2 x^2 ) − z)
(x,y,z)=(1, 3 ,2) = (−^2 x(y^ −^2 x
(^2) ) − 4 x(y − x (^2) ), 2 y − 3 x (^2) , −1)∣∣ (x,y,z)=(1, 3 ,2) = (− 10 , 3 , −1) por lo que la ecuaci´on del plano tangente es (− 10 , 3 , −1) · (x − 1 , y − 3 , z − 2) = 0 es decir, 10 x − 3 y + z = 3
3-21. Sean f, g : R^2 → R dos funciones cuyas derivadas parciales son continuas en todo R^2. (a) Probar que si ∂f ∂x (x, y) = ∂g ∂x (x, y) para todos los puntos (x, y) ∈ R^2 , entonces f − g s´olo depende de y. (b) Probar que si ∂f ∂y (x, y) = ∂g ∂y (x, y)
para todos los puntos (x, y) ∈ R^2 , entonces f − g s´olo depende de x. (c) Probar que si ∇(f − g)(x, y) = (0, 0) para todos los puntos (x, y) ∈ R^2 , entonces f − g es constante en todo R^2. (d) Encontrar una funci´on f : R^2 → R tal que ∂f ∂y (x, y) = yx^2 + x + 2y, ∂f ∂x (x, y) = y^2 x + y, f (0, 0) = 1
¿Hay m´as funciones que verifiquen estas condiciones?
Soluci´on: Las funciones f y g son de clase C^1. (a) Fijamos dos puntos (a, b), (x, b) ∈ R^2. Sea h(x, y) = f (x, y) − g(x, y). Por el Teorema del Valor medio, h(x, b) − h(a, b) = ∇h(c) · (x − a, 0) para alg´un punto c = (c 1 , c 2 ) = t(x, b) + (1 − t)(a, b) = (tx + (1 − t)a, b) con 0 < t < 1. Como ∂h ∂x (c) = 0, tenemos que h(x, b) − h(a, b) = 0. Es decir, h(x, b) = h(a, b) para todo x ∈ R y la funci´on h no depende de y (b) An´alogo al caso anterior. (c) Tenemos que en todos los puntos de R^2 , ∂(f − g) ∂x = ∂(f^ −^ g) ∂y
y por tanto f − g no depende ni de x ni de y. (d) Si sabemos que ∂f∂y (x, y) = yx^2 + x + 2y, podemos integrar con respecto a y, es decir
f (x, y) =
(yx^2 + x + 2y)dy =
y^2 x^2 + xy + y^2 + C(x)
donde C(x) es una funci´on que depende s´olo de x. La otra condici´on es que ∂f∂x (x, y) = y^2 x+y ; probamos con la funci´on que hemos obtenido
∂ ∂x
2 y
(^2) x (^2) + xy + y (^2) + C(x)
= y^2 x + y + C′(x) por tanto, C′(x) = 0, por lo que C(x) = c una constante. Para encontrar c usamos la ´ultima condici´on que es f (0, 0) = 1, por tanto
f (x, y) =
y^2 x^2 + xy + y^2 + c f (0, 0) = c por un lado y, por otro, f (0, 0) = 1, por tanto c = 1
La funci´on f (x, y) = 12 y^2 x^2 + xy + y^2 + 1 verifica las condiciones pedidas. Si hubiera otra funci´on g de clase C^1 que verificara estas condiciones tendr´ıamos que ∇(f − g)(x, y) = (0, 0) en todos los puntos (x, y) ∈ R^2. Por el apartado (c) tenemos que hay una constante A ∈ R tal que
(f − g)(x, y) = A
para todo (x, y) ∈ R^2. Pero, como f (0, 0) = 1 = g(0, 0), tenemos que A = 0 y las dos funciones coinciden.
