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NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica, es un sistema que permite expresar cualquier cantidad como el producto de un número entre 1 y 10 (1 ≤ a < 10) multiplicado por una potencia de base 10 y exponente entero. La notación científica permite trabajar con números muy grandes (como 123 450 000
- o muy pequeños (como 0,000 000 000 212). Esta notación, utiliza potencias de base 10 para señalar la posición de la coma o punto decimal sin tener que manejar una gran cantidad de ceros.
En notación científica, expresamos cualquier cantidad como el producto de un número mayor igual a 1 y menor a 10, multiplicado por una potencia de base 10 y exponente entero.
Veamos algunos ejemplos de números en notación científica:
3×10^5
8×10-
1,3×10-
2,9324×10^12
5,32×10-
Ejemplos de números que no están en notación científica:
30×10^5 : no se encuentra en notación científica, porque el valor de “a”, no se encuentra entre 1 y 10, recordemos que en notación científica 1 ≤ a < 10.
8×100-7^ : no se encuentra en notación científica, porque la potencia tiene base 100. En notación científica, se emplean potencias de base 10.
1,3×10-8,2^ : no se encuentra en notación científica, porque el exponente no es un número entero.
Cómo expresar un número en notación científica
En el siguiente cuadro, te mostramos como expresar un número en notación científica, partiendo de la clásica notación decimal.
Ejemplo 1:
Expresar los siguientes números pequeños en notación científica.
0,02 = 2×10-
0,001 = 1×10-
0,000 5 = 5×10-
0,000 53 = 5,3×10-
0,000 000 043 = 4,3 ×10-
0,000 000 000 403 8 = 4,038×10-
Ejemplo 2:
Expresar los siguientes números grandes en notación científica.
500 = 5×10^2
1 200 = 1,2×10^3
25 000 = 2,5×10^4
25 600 = 2,56×10^4
520 000 = 5,2×10^5
4 038 000 000 000 = 4,038×10^12
Cómo pasar de notación científica a decimal
Si quieres convertir un número de notación científica a notación decimal, vamos a realizar el proceso contrario, teniendo en cuenta que en notación científica, los números grandes van acompañados de potencias de base 10 con exponente positivo, y los números pequeños van acompañados de potencias de base 10 con exponente negativo.
En el siguiente cuadro, veremos de forma clara hacia dónde se mueve la coma.
Ahora lo queremos expresar con 10 elevado al -1. Al pasar de 10 elevado a 2 a 10 elevado a -1, estamos haciendo la potencia de 10 1000 veces más pequeña, por tanto, hay que hacer el número 1000 veces más grande, moviendo la coma 3 lugares hacia la derecha:
𝟑, 𝟒𝟓 × 𝟏𝟎𝟐^ = 𝟑𝟒𝟓𝟎 × 𝟏𝟎−𝟏
Vamos a ver otro ejemplo, pero esta vez con el 10 elevado a un número negativo:
𝟐, 𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒
Queremos expresarlo con 10 elevado a -2.
Al pasar de 10 elevado a -4 a 10 elevado a -2 estamos haciendo la potencia de 10, 100 veces más grande (el exponente es menos negativo), por tanto debemos hacer el número 100 veces más pequeño moviendo la coma hacia la izquierda 2 lugares:
𝟐, 𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒^ = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟐
Ahora queremos expresarlo con 10 elevado a -6.
Al pasar de 10 elevado a -4 a 10 elevado a -6 estamos haciendo la potencia de 10 100 veces más pequeño (el exponente es más negativo), por tanto debemos hacer el número 100 veces más grande moviendo la coma hacia la derecha 2 lugares:
𝟐, 𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒^ = 𝟐𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
Es decir, si la potencia de 10 la hacemos más grande, el número hay que hacerlo más pequeño y viceversa. Si al exponente le sumamos, debemos correr la coma hacia la izquierda tantos lugares como cantidad le sumemos al exponente. Si al exponente le restamos una cantidad, debemos correr la coma hacia la derecha la misma cantidad de lugares.
Una vez tenemos esto claro, vamos a ver cómo sumar y restar en notación científica.
Por ejemplo, vamos a realizar la siguiente operación:
𝟏, 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟐^ − 𝟑, 𝟕 × 𝟏𝟎𝟐^ + 𝟔, 𝟏𝟒 × 𝟏𝟎𝟑^ =
El tercer término tienen un 3 en la potencia de 10. Sin embargo el primer y segundo término tienen un 2. Para poderlos sumar o restar, deben tener el mismo exponente en la potencia de
Siempre conviene expresar todos los números con el mayor exponente que aparece (en este caso 3). De esta manera el resultado quedará expresado en notación científica.
Por tanto, hay que pasar el primer y segundo término de 10 elevado a 2 a 10 elevado a 3.
Al pasar de 10 elevado a 2 a 10 elevado a 3, la potencia de 10 se hace 10 veces mayor, por lo que el número hay que hacerlo 10 veces más pequeño, moviendo la coma un lugar hacia la izquierda. Otra forma de verlo es la siguiente, si le sumamos uno al exponente, movemos la coma un lugar a la izquierda :
𝟏, 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟐^ = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟑^ y 𝟑, 𝟕 × 𝟏𝟎𝟐^ = 𝟎, 𝟑𝟕 × 𝟏𝟎𝟑
Ahora ya tenemos todos los términos con exponente 3 en la potencia de 10:
𝟎, 𝟏𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟑^ − 𝟎, 𝟑𝟕 × 𝟏𝟎𝟑^ + 𝟔, 𝟏𝟒 × 𝟏𝟎𝟑^ =
Sacamos factor común a 10 elevado a 3 y operamos con los números:
(𝟎, 𝟏𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟑𝟕 + 𝟔, 𝟏𝟒) × 𝟏𝟎𝟑^ = 𝟓, 𝟖𝟗𝟓 × 𝟏𝟎𝟑
Vamos a ver otro ejemplo con exponentes negativos:
𝟒, 𝟖𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔^ + 𝟗, 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟖^ − 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟕^ =
En este caso, cada potencia de 10 tiene un exponente distinto. Debemos dejar todos con el mismo exponente. Para que el resultado quede directamente en notación científica elegiremos el mayor exponente. En este caso -6 (es el menos negativo).
Segundo término: Al pasar de 10 elevado a -8 a 10 elevado a -6, estoy sumándole 2 al exponente, por lo que debo correr la coma dos lugares hacia la izquierda:
𝟗, 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟖^ = 𝟎, 𝟎𝟗𝟑 × 𝟏𝟎−𝟔
Hacemos lo mismo con el tercer término. Al pasar de 10 elevado a -7 a 10 elevado a -6, le estoy sumando 1 al exponente, por lo que debemos mover la coma un lugar hacia la izquierda:
𝟔 × 𝟏𝟎−𝟕^ = 𝟎, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔
Ya tenemos todos los términos con potencias de 10 elevado a -6:
𝟒, 𝟖𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔^ + 𝟎, 𝟎𝟗𝟑 × 𝟏𝟎−𝟔^ − 𝟎, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔^ =
Tenemos que sumar y restar los números que tienen delante las potencia de 10, sacando como factor común 10 elevado a -6:
(𝟒, 𝟖𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟗𝟑 − 𝟎, 𝟔) × 𝟏𝟎−𝟔^ = 𝟒, 𝟑𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟔
Multiplicar y dividir en notación científica
Para realizar la multiplicación y división de números en notación científica, hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias.
Cómo multiplicar números en notación científica
Para multiplicar números en notación científica, por un lado se multiplican los números que están delante de la potencia de 10 y por otro, se multiplican las potencias de 10, manteniendo la base y sumando los exponentes.
Por ejemplo:
𝟓, 𝟕𝟖 × 𝟏𝟎𝟑^ × 𝟐, 𝟒𝟕 × 𝟏𝟎𝟓^ =
Hay que tener en cuenta que cuando tengas un exponente negativo en la potencia de 10 del denominador, cuando restes los exponentes, al final se sumarán, por restar un número negativo, como por ejemplo:
8,79 × 10^2 2,31 × 10−^
× 102−(−5)^ = 3,805 × 10^7
Operaciones combinadas en notación científica
Vamos a ver ahora cómo realizar operaciones combinadas con números en notación científica, es decir, operaciones donde se mezclen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Tendremos que aplicar la jerarquía de operaciones y cada operación realizarla conforme acabamos de ver.
Por ejemplo:
(3,12 × 10−5^ + 7,03 × 10−4) × 8,3 × 10^8 4,32 × 10^3
En primer lugar, vamos a realizar la suma que está dentro del paréntesis. Para ello, los exponentes de las potencias de 10 deben ser iguales al mayor que aparezca. Modificamos el número en notación científica del primer término para que aparezca un -4 en el exponente:
(0,312 × 10−4^ + 7,3 × 10−4) × 8,3 × 10^8 4,32 × 10^3
Ahora realizamos la suma de dentro del paréntesis:
(7,612 × 10−4) × 8,3 × 10^8 4,32 × 10^3
Seguimos realizando la multiplicación que queda en el numerador. Multiplicamos por un lado los números y por el otro las potencias de 10, manteniendo la base y sumando los exponentes:
(7,612 × 8,13) × 10−4+ 4,32 × 10^3
61,88556 × 10^4
4,32 × 10^3
Finalmente realizamos la división que queda. Dividimos los números por un lado y por el otro las potencias de 10, manteniendo la base y restando los exponentes:
14,325 × 104−3^ = 14,325 × 10^1
El resultado final lo pasamos a notación científica estándar:
14,325 × 10^1 = 1,4325 × 10^2
Comparar números en notación científica
Para comparar números en notación científica, lo primero que debemos mirar es el exponente de la potencia de 10. El de mayor exponente será el mayor. Si tienen el mismo exponente ahí debemos mirar el número que multiplica a la potencia de 10.
Vamos a ver un ejemplo. Comparar los siguientes números en notación científica:
1,19 × 10−
8,5 × 10−
4,9 × 10−
En primer lugar vamos a comparar las potencias de 10. De esta simple comparación surge rápidamente que uno de los números es menor que los otros dos (el primero, con exponente -
- ya que el exponente de la potencia de base 10 es menor a la de los otros dos. Una diferencia de 3 en un exponente de esta potencia de base 10 implica que ese número es 1000 veces menor aproximadamente a los otros dos. Los otros dos números tienen el mismo exponente elevando al 10. Al comparar el número que antecede a la potencia vemos cual es el mayor (8,5 mayor que 4,9).
Los tres números quedan ordenados así:
𝟖, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔^ > 𝟒, 𝟗 × 𝟏𝟎−𝟔^ > 𝟏, 𝟏𝟗 × 𝟏𝟎−𝟗
Ejercicios propuestos
1 – Realiza las siguientes operaciones en notación científica:
2 – Ordena de mayor a menor los siguientes números en notación científica:
