Cálculo Aplicado a la Física 3: Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Ejercicios de Física Médica

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Cálculo aplicado a la física 3

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Semana 07 – Sesión 01

LOGROS

 Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas a ejercicios concretos.

Datos/Observaciones

RECORDANDO

Datos/Observaciones

Una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:

Y se llama lineal homogénea si además g(x) = 0 Se define como problema de valor inicial y problemas de valor frontera a aquellos en que la ecuación diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer.

Problema de valor inicial: Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente (tales condiciones se llaman condiciones iniciales ).

Problemas de valor frontera: Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida, especificadas en dos o más valores de la variable independiente (tales condiciones se llaman condiciones de frontera ).

Ecuaciones diferenciales

Datos/Observaciones

h h

h h h h h

h

h h h h h

y y v x y v x y p x y g x y v x y v x p x y g x y v x p x y v x p x y g x y v x g x d v x g x dx y v x g x dx C y y y v x y g x dx C y y





  0 ( )

' ( ) ( ) ' ( ) 0 ' ( ) ( )

ln ( )

( ) ' ( ) ' ' ( )

h h h h h h h p x dx h h h h

y p x y g x y p x y y p x y dy (^) p x dx y y p x dx C y C e y y v x y y v x y v x



       

       



Ecuaciones diferenciales lineales

Método de variación de parámetros

y  e ^ ^ p x dx(^ )^ g x e ( ) ^ p x dx(^ )^ dx C ep x dx(^ ) 

Datos/Observaciones

Ecuación diferencial de segundo orden

Sea la ecuación diferencial de orden superior de la forma:

Considerando:

La ecuación diferencial de segundo orden puede ser escrita como una ecuación auxiliar.

a 2 ( )x  a ; a 1 ( )x  b ; a 0 ( )x  c y  esx 2 2

0 0

a s e sx^ b s e sx^ c esx a s b s c

     

Si consideramos la solución con la fórmula general:

2

2 2 1 2

4 2 (^4) ; 4 2 2

s b^ b^ ac a s b^ b^ ac^ s b^ b^ ac a a

 ^ ^ ^ 

 ^ ^ ^  ^ ^  1 2 1 2 1 2 y  y  y  C e S x^  C eS x

Datos/Observaciones

Variación de parámetros para E.D. de orden 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

Hallados: ,

u y u y u y u y f x u y f^ x^ u y f^ x y y y y y y y y u u y u y u y c y c y

y ^  p x y( )  q x y( )  f ( )x

1 1 2 2 1 1 2 2

y (^) h C y C y y u y u y

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

y u y u y u y u y y u y u y u y u y u y u y

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

y p x y q x y f x u y u y u y u y u y u y p x u y u y u y u y q x u y u y f x u y u y u y p x y q x y u y u y u y p x y q x y p x u y u y

 (^)     (^)    (^)   (^)   (^)    (^)   (^)   (^)   (^)   (^)       (^)    (^)   (^)   (^)    (^)    (^)   (^)   (^)    (^)     1 1 2 2   1 1 2 2  1 1 2 2

( ) ( ) ( )

f x d (^) u y u y p x u y u y u y u y f x dx ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^  ^ ^ ^  

Bajo la hipótesis de:

Se obtiene la solución de la E.D.

y 1 e y 2 , soluciones de la E.D. homogénea.

Cambiando las constantes por funciones

Datos/Observaciones

Ejemplo 1.

Resuelva las siguientes ecuaciones: 4 𝑦´´ + 𝑦´ = 0

BÁSICA  Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. Dennis G. Zill y Warren S. Wright. Presidente de Cengage Learning.  Ecuaciones diferenciales - Eduardo Espinoza Ramos - Peru  A. Venero B. Análisis Matemático 1. Ed. Gemar – Perú.  A. Venero B. Análisis Matemático 2. Ed. Gemar – Perú.  M. Lázaro C. Cálculo Integral y sus Aplicaciones. Ed. Moshera - Perú.  M. Lázaro C. Cálculo diferencial. Editorial Moshera - Perú.  L. Leithold. Calculo. Oxford University Press.

COMPLEMENTARIA  B. Demidovich. Problemas y ejercicios de Análisis matemático. Ed. MIR  H. E. Taylor , T. L. Wade. Calculo. Ed. Limusa.

BIBLIOGRAFÍA