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UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTIAGO DE GUAYAQUIL
CICLO I – PARALELO F
TAREA
Integrantes: Karolina Achi, Eduardo Ley, Melissa López, Priscilla Quishpe, Isaac Piedra, Daniel Gálvez, Peter Grijalva, Hillary Toledo
LOS CONJUNTOS
Los conjuntos son una colección arbitraria de los elementos, en donde no se encuentran
repeticiones, esta bien definida y puede ser de cualquier clase.
¿Qué es un elemento? Un elemento es el objeto que pertenece al conjunto.
Estos conjuntos deben estar bien definidos, por ejemplo:
A= (Todos los futbolistas ecuatorianos) *¿Enner Valencia es un elemento de A?
¿Como se determinan?
• Descripción con palabras.
Se describe únicamente con oraciones, ejemplo:
El conjunto de letras del alfabeto se compone de 27 letras.
• Por extensión.
Esta se determina enumerando todos los elementos que la componen,
ejemplo:
Vocales = {A,E,I,O,U}
• Por comprensión.
Se determina indicando las condiciones o propiedades que deben cumplir
para pertenecer al conjunto, ejemplo:
El conjunto de los números impares menores a 10 es {1,3,5,7,9}
DIAGRAMAS DE VENN
a = {1,2,3,4} b = {3,4,5,6,7} c = {2,3,8,9}
Ejemplo 1: Realice la unión del conjunto a U b U c
Ejemplo 2 : Realice la intersección del conjunto a∩b∩c
Ejemplo 3: Realice intersección de b∩c
PERTENECE O NO PERTENECE
Ejemplo 1:
El topo ∈ Al grupo de animales mamíferos
Ejemplo 2 :
b = {3,4,5,6,7} 8 ∉ b
Ejemplo 3:
El kiwi ∈ a las frutas
Ejemplo:
{1, 2, 3} es un subconjunto propio de {1, 2, 3, 4} porque el elemento 4 no está en el primer conjunto.
CONTEO DE SUBCONJUNTOS
El número de subconjuntos de un conjunto con n elementos es 2n
Ejemplo:
Un conjunto tiene 5 elementos, entonces el número de subconjuntos es igual a 2 elevado o con exponente 5, resolviendo, es igual a 32 subconjuntos.
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Sean dos conjuntos A y B se dice que son iguales si y solo si tienen los mismos elementos
Sean los conjuntos A= {a,b} y B={b,a}, se puede observar que ambos conjuntos tienen los
mismos elementos por lo tanto son iguales. Ejemplos
A={Números naturales} B={1,2,3,4,5…..}
A=B <=> A ⸦B ᴧ B ⸦A
A=(x/x es una letra de la palabra cama) B=(x/x es una letra de la palabra maca) A=(c, a, m, a ) B=(m, a, c, a )
A=B <=> A ⸦B ᴧ B ⸦A
EQUIVALENCIA DE CONJUNTOS
Los conjuntos equivalentes son los que se componen del mismo cardinal es decir A y B son
equivalentes [A] = [B]. Ejemplos
A={ 1, 2, 3, 4, 5 } B={ - 1, - 2, - 3, - 4, - 5 }
A={ triángulo, cuadrado, circulo } B={ ancho, largo, alto} A»B <=> B »A
CONJUNTOS DISJUNTOS
Sean 2 conjuntos A y B se dicen que son disjuntos si A y B no tienen e lementos en común.
Ejemplos
A={-1, 0, 1} y B={ 2, 3, 4 }
Son disjuntos por cuanto no existe ningún elemento común entre ambos conjuntos.
PARTICIONES
No tiene zona traslapadas
Conjunto finito: es un conjunto que tiene un número finito de elementos.
Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos.
Conjunto Universal (U): es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un
contexto dado.
Por ejemplo , en aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo
que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números
naturales N.
Conjunto Unitario: aquel que está formado por un solo elemento.
Conjunto Vacío : es un conjunto que no contiene elementos
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Es el conjunto: .
Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B. Gráficamente: Ejemplo: C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q} C - D = {x, y, u} Complemento: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no en A. Gráficamente: Ejemplo: A= {1,3,4,5,6,7,20,30} B={2,6,20,40,50}
A∆B= {1, 3,4,5,7, 30} ∪{2,40,50}
A∆Β= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 30,40,50}
Producto Cartesiano Nos expresa que los conjuntos forman pares ordenados, resultando que los valores cardinales del primer conjunto se multipliquen con su mismo conjunto, y el segundo valor, se multiplique por los valores del segundo conjunto. Ejemplo: Conjuntos:
- A = {2,4,6}
- B = {3,5,7,8} Expresión: A x B = { (2,3), (2,5), (2,7), (2,8), (4,3), (4,5), (4,7), (4,8), (6,3), (6,5), (6,7), (6,8)}
Conjunto Potencia Expresa en primera instancia todos los elementos por individual, y seguido empieza a expresarse combinando los elementos ya establecidos. En el Conjunto Potencia siempre incluiremos al conjunto Vacío (∅). Ejemplo: Conjunto:
Expresión: P(C)= { ∅, (1), (4), (6), (1,4), (1,6), (4,6), (1,4,6)}
Leyes Asociativas Al trabajar con tres diferentes conjuntos tenemos que, si un conjunto se encuentra en intersección con una intersección de dos conjuntos va a ser igual a la intersección de estos dos primeros conjuntos mencionados en intersección con el conjunto restante. En esta misma ley tenemos que si un conjunto se encuentra en unión con una unión de dos conjuntos va a ser igual a la unión de estos dos primeros conjuntos mencionados en unión con el conjunto restante. Ejemplos: Intersección
- G n (I n A) = (G n I) n A Unión
- J u (P u V) = (J u P) u V Leyes Conmutativas Si tenemos dos conjuntos en intersección, estas van a ser idénticas a su viceversa; y también tenemos que, si hay dos conjuntos en unión estos dos conjuntos serán igual en su viceversa. Ejemplo: Intersección
- R n N = N n R Unión
- I u A = A u I Leyes Distributivas Si un conjunto se encuentra en unión a la intersección de dos conjuntos, va a ser igual a la unión del primer conjunto con el segundo conjunto en intersección con el primer conjunto en unión al conjunto restante. Sabiendo que, si un conjunto se encuentra en intersección a la unión de dos conjuntos, va a ser igual a la intersección del primer conjunto con el segundo conjunto en unión con el primer conjunto en intersección al conjunto restante.
Leyes de Acotación
Estas leyes establecen que una función continua en un intervalo cerrado está acotada, pero
no que una función acotada en un intervalo cerrado sea continua en él. Por ejemplo:
X + 1 = 1, x0= 0 para todo x E S
Leyes de absorción
La regla establece que si P implica Q, entonces P implica P y Q. La regla hace posible introducir
conjunciones en pruebas. Esto se llama ley de absorción ya que el término P es "absorbido"
por el término Q en la consecuencia. Por ejemplo:
X+ xy = x x(x+y) = x para todo x, y E S
Ley de involución
Una operación tiene la propiedad de involución si posee dos negaciones que implican su
propia anulación. Por ejemplo:
~(~p) ≡ p que se lee “no no p equivale a p”.
Entonces ~(~(p v q) ) quedaría p v q
Leyes 0/
Establece que la probabilidad de cierto tipo de eventos llamados eventos de cola es cero o
uno. Los eventos de cola son aquellos definidos por una sucesión infinita de e ventos
independientes y que son independientes de cualquier subconjunto finito de estos. Por
ejemplo:
Supongamos infinitas realizaciones de una variable aleatoria que vale uno con probabilidad p (1 > p > 0), y cero con probabilidad (1 – p). El evento: "que salga en total una cantidad finita de unos" es independiente de cualquier número finito de realizaciones: examinando una cantidad finita de realizaciones no podemos concluir nada respecto a si la cantidad de unos fue finita o infinita.
Leyes de de Morgan
Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos
de vía negación:
1)La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
2)La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
Por ejemplo:
Demostrar: (B U A) ∩ (Bᶜ ∩ Aᶜ ) ᶜ = B U A = (B U A) ∩ (Bᶜ ∩ Aᶜ ) ᶜ aplicando la Ley de Morgan. En el conjunto (B ᶜ ∩ Aᶜ ) ᶜ obtenemos (B U A) = (B U A) ∩ (B U A)
