¡Descarga Inecuaciones segundo grado y más Diapositivas en PDF de Dibujo técnico solo en Docsity!
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES
1. Resolver las inecuaciones: a) 3 - 2 x ≥ 8 - 7 x b) 6 - 2 x 5 >^
1 - x 10
Solución
a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo quedando 5 x ≥ 5.
Multiplicando por
5 , para despejar la^ x , se obtiene^ x^ ≥^ 1. Por tanto, las soluciones son los números del conjunto [1, +∞).
b) Se eliminan los denominadores de la inecuación, multiplicando por 10, 12 - 4 x > 1 - x
se pasan los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo, -3 x > -
se divide por -3 cambiándose la desigualdad de sentido al ser -3 un número negativo, x <
Por tanto, las soluciones son los números del conjunto ^ - ∞,
2. Resolver las inecuaciones: a) x^2 + 6 x - 1 ≤ 3 x^2 + 3 x - 6 b) 3 x^2 + 4 < x^4 + 3 x^3 + 3 x
Solución
a) Al ser una inecuación polinómica de segundo grado , se agrupan todos los términos en un miembro, por ejemplo, si se pasan al primero queda -2 x^2 + 3 x + 5 ≤ 0.
Como las raíces del polinomio -2 x^2 + 3 x + 5 son x =
la inecuación se puede escribir de la forma -2( x + 1)^ x -
2 ≤^ 0, y multiplicando por^ -1 se obtiene
2( x + 1)^ x -
2 ≥^ 0.
En la siguiente tabla se estudia el signo de los factores, en los intervalos determinados por las raíces, para obtener el signo del polinomio.
Signo (-∞, -1) ^ -1,
x + 1 - + + x -
2 -^ -^ +
2( x + 1)^ x -
2 +^ -^ +
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
Así los puntos del conjunto (-∞, -1) ∪ ^
2 , +∞^ son solución de la inecuación. Además, como los extremos de los intervalos también son solución, por ser la desigualdad no estricta, se tiene que el
conjunto de soluciones es (-∞, -1] ∪ +
b) Se pasan todos términos al segundo miembro quedando 0 < x^4 + 3 x^3 - 3 x^2 + 3 x - 4.
Para factorizar el polinomio se calculan sus raíces dividiendo por Ruffini
1 3 -3 3 - 1 1 4 1 4
1 4 1 4 0 -4 -4 0 -
1 0 1 0
Por tanto, la inecuación queda de la forma 0 < ( x - 1)( x + 4)( x^2 + 1).
Como el último factor es siempre positivo, para determinar el signo del polinomio, basta considerar el signo de los dos primeros factores, como se muestra en la tabla siguiente.
Signo (-∞, -4) (-4, 1) (1, +∞) x - 1 - - + x + 4 - + + ( x - 1)( x + 4)( x^2 + 1) + - +
Sustituyendo los extremos de los intervalos se observa que no son solución de la inecuación. Por tanto, la solución es el conjunto (-∞, -4) ∪ (1, +∞).
3. Resolver la inecuación 4 x + x^2 - 2 x^2 + x >^
x^2 - 2 x
Solución
Observar que si se multiplica en cruz, la desigualdad podría cambiar de sentido dependiendo del signo de los denominadores. Por ello es mejor realizar las siguientes operaciones, con el objeto de agrupar en un miembro todos los términos.
Se pasa restando el segundo miembro al primero, 4 x + x^2 - 2 x^2 + x -^
x^2 - 2 x > 0. Realizando operaciones en el primer miembro de la inecuación queda
4 x + x^2 - 2 x^2 + x -^
x^2 - 2 x =
4 x + x^2 - 2 x ( x + 1) -^
x^2 - 2 x =
4 x + x^2 - 2 - ( x^2 - 2) ( x + 1) x ( x + 1) =
y factorizando el numerador se obtiene
x (6 - x^2 ) x ( x + 1) =^
x ( 6 + x ) ( 6 - x ) x ( x + 1).
Teniendo en cuenta que x no puede ser cero, ya que este valor anula los denominadores de la inecuación inicial, se puede simplificar x en la expresión anterior obteniéndose la siguiente
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
5. Resolver las inecuaciones: a) yx - x ≥ 1 + 2 y b) x^2 + y^2 - 6 x + 2 y < 0
Solución
a) En primer lugar, para despejar la incógnita y , se pasan al primer miembro los términos en los que aparece esa incógnita y el resto se pasan al segundo, quedando yx - 2 y ≥ 1 + x.
Se saca y factor común, obteniéndose y ( x - 2) ≥ 1 + x.
A continuación, se resuelve esta inecuación considerando tres casos según el signo de x - 2:
- Si x = 2 la inecuación queda 0 ≥ 3, desigualdad que es falsa para cualquier valor de y , por tanto, en este caso no existe solución.
- Si x > 2 entonces x - 2 > 0 y dividiendo la inecuación por esta expresión queda y ≥ 1 + x x - 2 ; su solución está representada en la siguiente figura y corresponde al conjunto de puntos del plano ( x , y ) situados a la derecha de la recta x = 2 y por encima o en la curva y = 1 + x x - 2
- Si x < 2 entonces x - 2 < 0 y dividiendo la inecuación por esta expresión queda y ≤ 1 + x x - 2 ; su solución está representada en la siguiente figura
La solución de la inecuación inicial es la unión de las soluciones obtenidas en cada uno de los casos anteriores y corresponde a la región representada en la siguiente figura
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
b) En primer lugar se considera la igualdad, x^2 + y^2 - 6 x + 2 y = 0.
Al ser una ecuación polinómica de segundo grado, tanto en x como en y , veamos si corresponde a una circunferencia. Para ello se suman y se restan los términos necesarios con el objeto de obtener una expresión de la forma ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r^2.
x^2 + y^2 - 6 x + 2 y = 0 ⇔ ( x^2 - 6 x ) + ( y^2 + 2 y ) = 0 ⇔ ( ( x - 3) )
2
– 9 + ( ( y + 1) )
2
- 1 = 0 ⇔ ⇔ ( x - 3) 2 + ( y + 1) 2 = 10
Esta última ecuación corresponde a la circunferencia de centro (3, -1) y radio 10 , que se representa en la figura. Para determinar qué región corresponde a la solución de la inecuación, se elige un punto que no esté en la circunferencia, por ejemplo (1, 0) (está dentro de la circunferencia) y se sustituye en la inecuación x^2 + y^2 - 6 x + 2 y < 0 quedando -5 < 0. Al ser verdadera esta desigualdad, la solución son los puntos de la región interior a la circunferencia y aparecen sombreados en la siguiente figura.
