INFORME FÍSICA. PÉNDULO SIMPLE, Apuntes de Física

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PÉNDULO

SIMPLE.

Carmen Cascón Calvo Grupo 116 Biología 1º Grupo de prácticas 1162 Prácticas realizadas: Formación de imágenes con lentes y péndulo simple.

PÉNDULO SIMPLE.

1) Introducción teórica.

Partimos de una esfera de masa no determinada que cuelga de un soporte gracias a la acción de un hilo. Si hacemos oscilar a esta esfera de modo que el hilo forme un ángulo muy pequeño con la vertical, como este se encuentra en el campo de gravedad de la tierra, describirá un movimiento armónico simple.

Cuando soltemos la espera con un determinado ángulo, fuerza que actuara sobre esta será la componente tangencial del peso:

Pero como los ángulos son muy pequeños, podemos hacer las siguientes aproximaciones:

Sustituyendo las aproximaciones en la primera formula escrita obtenemos la siguiente:

Donde la constante K se corresponde con:

Para esta práctica también tenemos que tener en cuenta el valor de la frecuencia de oscilación, el cual lo podemos hallar con la siguiente ecuación:

Sabiendo la ecuación del periodo de oscilación y las dos anteriores podemos llegar a esto:

El objetivo de esta práctica se basa en, partiendo de esta ecuación y midiendo T y l

experimentalmente, hallar el valor de la gravedad g.

Para comenzar a tomar datos, con las medidas tomadas, calculamos el tiempo que tarda la

esfera en realizar 10 oscilaciones ( N ) y calculamos el periodo:

Se repite este mismo proceso y con las mismas medidas para adquirir los valores de T 1 , T 2 y

T 3. Una vez que los tenemos, sacamos la media de estos tres y el error de la media (desviación

típica). También es necesario calcular la media al cuadrado y su error:

Esto se repite cambiando la medida del hilo a 0’8, 0’6, 0’4, y 0’2 m. Los datos obtenidos se recogen en la siguiente tabla:

l (m) T 1 (s) T 2 (s) T 3 (s) T±T(s) T^2 ±(T^2 ) (s^2 )

Teniendo en cuenta estos datos y la fórmula puesta a continuación,

si representamos los valores de T^2 gráficamente en función de los de l (longitud del péndulo),

los puntos obtenido se deben adaptar de forma aproximada a una recta cuya pendiente es a partir de la cual podemos hallar el valor de g. Este es el objetivo principal de la práctica.

Una vez hallado el valor de m (3,75 s/m^2 ) sacamos el valor de g, con la formula anterior, el cual es del orden de 10,389 m/s^2 (operación en gráfica, pág. 8). A continuación tenemos que hallar su error y, para esto dibujamos las barras de error en cada punto de la grafica. La barra de

error vertical se corresponde con el error de T^2 calculado anteriormente el cual varía en cada

punto y la barra de error horizontal se corresponde con el error de l , obtenido al medir la

longitud del hilo con la regla milimetrada de forma experimental. Este error es el siguiente:

Al ser estos errores muy pequeños, no los podemos dibujar y por lo tanto los despreciamos.

Una vez que hemos dibujado todos los puntos, trazamos una recta (con pendiente m+) de

modo que quede por encima de todos y otra recta (con pendiente m-) de modo que quede por

debajo de estos puntos. Si hubiésemos podido representar las barras de error las rectas deberían pasar por encima y por debajo de estas. Las dos rectas deben de partir del punto de

origen que en este caso es el 0 y, a partir del valor de sus pendientes sacamos el error de m:

El error de m es del orden de 0,2 s^2 /m (Operación en gráfica). Por último para sacar el error de

la gravedad, que es el que nos interesa aplicamos la siguiente fórmula (obtenida a partir de derivadas parciales):

El error de la gravedad es del orden de 0,6 m/s^2. Por lo tanto, como resultado obtenido

mediante este método tenemos que la gravedad es de: g =(10,4 ± 0,6) m/s^2.

Este resultado es aproximado, asique para hallar el resultado exacto, realizamos esto mediante el método de mínimos cuadrados y por último compararemos ambos resultados.

La recta que hemos dibujado en la grafica se acopla a la función y=ax+b donde y es T^2 , x es

l, a es el valor de la pendiente π^2 )/g y por último, b es igual a 0. El valor de a y de b, así

como sus errores los podemos obtener con las siguientes ecuaciones:

En la siguiente tabla se recogen todos los datos necesarios para estas 4 anteriores fórmulas:

n Xj Yj XjYj Xj^2 Yj^2 (Yj-aXj-b)^1/ 1 1 2,07 3,88 1 15,0544 0, 2 0,8 1,68 2,4616 0,64 9,467929 1,444E- 3 0,6 1,5 1,3626 0,36 5,157441 0, 4 0,4 1,14 0,606 0,16 2,295225 0, 5 0,2 0,571 0,1434 0,04 0,514089 6,76E- Suma 3 11,46 8,4536 2,2 32,489084 0,

El error del valor calculado de forma habitual la calculamos como lo hemos hecho

anteriormente:

Para sacar el error del valor obtenido con la nueva fórmula debemos hacer las derivadas parciales de dicha fórmula pasa sacar la ecuación del error:

Donde  es igual a π/360. El Tarm y el Tarm se corresponden con el valor del periodo y su

error obtenido de forma habitual para un ángulo de 5°, ya que como hemos dicho antes este periodo es de referencia ya que al ser el ángulo pequeño sigue siendo un periodo armónico.

Tarm = 1,385 s; Tarm = 0,004 s. El resto de los valores se encuentran en la siguiente tabla:

 (°) t (s) Tanarm±Tanarm

(s)

Tanarm±Tanarm

(calculado, s)

4) Resultados y conclusiones.

Debemos comparar los resultados del primer experimento medidos de forma experimental y por mínimos cuadrados:

EXPERIMENTAL MÍNIMOS CUADRADOS

g = (10,4 ± 0,6) m/s^2. g = (10,02 ± 0,08) m/s^2.

Podemos observar que estos valores son muy parecidos pero que con el método visual el error es más grande ya que es un valor más aproximado

Del segundo experimento deducimos que cuanto más aumentemos el número de oscilaciones para medir el periodo, menor es el error obtenido.

Por último, del tercer experimento deducimos que como hemos dicho antes, si el ángulo que cogemos es muy grande el error es mayor y por lo tanto los resultados no son tan exactos.