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1-1. Determine la matriz de rigidez K para la armadura y la fuerza en cada uno de los elementos que
componen la armadura que se muestra en la figura. Considere que AE=Constante.
Solución:
a. En primer lugar, se establece el origen de coordenadas globales, para lo cual por conveniencia
elegimos el nudo 1 para mantener todas las coordenadas positivas.
b. Seguidamente identificamos cada nodo y cada elemento en forma numérica especificando el
extremo cercano y lejano en forma arbitraria.
c. Luego asignamos 2 números de código en cada junta, se recomienda utilizar los números más
bajos para los GDL no restringidos y los mayores para los GDL restringidos (apoyos).
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d. Establecemos los vectores de carga conocida (Qk) y vector de desplazamientos conocidos (Dk).
GDL [Q] [D]
1 0 D
2 -2 D
3 Q3 0
4 Q4 0
5 Q5 0
6 Q6 0
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
e. Determinamos los cosenos directores λx y λy para lo cual reemplazamos en la siguiente
ecuación:
√(𝑋𝐹 − 𝑋𝑁)^2 + (𝑌𝐹 − 𝑌𝑁)^2
√(𝑋𝐹 − 𝑋𝑁)^2 + (𝑌𝐹 − 𝑌𝑁)^2
En el Elemento 1. Como el nodo 2 es el extremo cercano y 3 el extremo lejano, por lo tanto,
a partir de las ecuaciones anteriores tenemos:
Con esto podemos obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales con
el siguiente arreglo matricial, y en donde consideramos AE=1 para simplificar el cálculo.
[
𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2
−𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 ]
Ke1 = 0.000 0.000 0.000 0.000 2 -0.333 0.000 0.333 0.000 3 0.000 0.000 0.000 0.000 4 Descargado por Felvis de la o ([email protected])
g. Determinamos los desplazamientos desconocidos (Du), mediante la ecuación
En este caso Dk=0, por lo tanto, tenemos:
[Qk] 1 2 [Du] 0 = 0.405 0.096 1 * D -2 0.096 0.128 2 D
Luego al despejar la ecuación anterior de la forma siguiente obtenemos los desplazamientos
desconocidos.
𝐷𝑢 = [𝐾 11 ]−1𝑄𝑘
Entonces, al multiplicar el vector de cargas conocidas por la inversa de la matriz K11 como sigue
obtendríamos los desplazamientos desconocidos de la estructura como sigue.
[Du] 1 2 [Qk] D1 = 3.000 -2.250 1 * 0 D2 -2.250 9.500 2 -
Luego se obtiene los desplazamientos desconocidos:
h. Con los resultados obtenidos podemos conseguir las reacciones en los apoyos (Qu) y además
la fuerza interna en cada elemento (q) para lo cual se sigue el siguiente desarrollo.
Como sabemos que Dk=0, por lo tanto, tenemos:
[Qu] 1 2 [Du] Q3 -0.333 0.000 3 * 4. Q4 = 0.000 0.000 4 - Q5 -0.072 -0.096 5 Q6 -0.096 -0.128 6 [Du] D1 = 4. D2 -19. Descargado por Felvis de la o ([email protected])
Luego al resolver la ecuación anterior tenemos que las reacciones en los apoyos son:
i. En el enunciado nos piden calcular las fuerzas internas en los elementos de la armadura para
lo cual utilizamos la siguiente ecuación.
[−𝜆𝑥 −𝜆𝑦 𝜆𝑥 𝜆𝑦] ∗
[
𝐷𝐹𝑦 ]
En el elemento 1. Tenemos que:
0.0015𝑚^2 ∗ 200 ∗
𝑚^2
[−1 0 1 0] ∗ [
]
𝑞 5 = −1.5 𝐾𝑁 COMPRESIÓN
En el elemento 2. Tenemos que:
0.0015𝑚^2 ∗ 200 ∗
𝑚^2
[Qu] Q3 -1. Q4 = 0. Q5 1. Q6 2. Descargado por Felvis de la o ([email protected])
1-2. Determine la matriz de rigidez K para la armadura y la fuerza en el elemento Considere
que A=0.0015 m^2 y que E=200 GPa para cada elemento.
Solución:
j. En primer lugar, se establece el origen de coordenadas globales, para lo cual por conveniencia
elegimos el nudo 1 para mantener todas las coordenadas positivas.
k. Seguidamente identificamos cada nodo y cada elemento en forma numérica especificando el
extremo cercano y lejano en forma arbitraria.
l. Luego asignamos 2 números de código en cada junta, se recomienda utilizar los números más
bajos para los GDL no restringidos y los mayores para los GDL restringidos (apoyos).
m. Establecemos los vectores de carga conocida (Qk) y vector de desplazamientos conocidos (Dk).
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
n. Determinamos los cosenos directores λx y λy para lo cual reemplazamos en la siguiente
ecuación:
√(𝑋𝐹 − 𝑋𝑁)^2 + (𝑌𝐹 − 𝑌𝑁)^2
√(𝑋𝐹 − 𝑋𝑁)^2 + (𝑌𝐹 − 𝑌𝑁)^2
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En el Elemento 1. Como 3 es el extremo cercano y 2 el extremo lejano, por lo tanto, a partir
de las ecuaciones anteriores tenemos:
0.0015𝑚^2 ∗ 200 ∗
𝑚^2
Con esto podemos obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales con
el siguiente arreglo matricial.
[
𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2
−𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 ]
Ke1 = 28800 21600 -28800 -21600 2 38400 -28800 38400 28800 5 -28800 -21600 28800 21600 6
En el Elemento 2. Como 3 es el extremo cercano y 4 el extremo lejano, por lo tanto, a partir
de las ecuaciones anteriores tenemos:
0.0015𝑚^2 ∗ 200 ∗
𝑚^2
Con esto podemos obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales con
el siguiente arreglo matricial.
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En el Elemento 4. Como el nodo 4 es el extremo cercano y el nodo 2 el extremo lejano,
entonces, a partir de las ecuaciones anteriores tenemos:
0.0015𝑚^2 ∗ 200 ∗
𝑚^2
Con esto podemos obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales con
el siguiente arreglo matricial.
[
𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2
−𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 ]
k4 = 0 100000 0 -100000 4 0 0 0 0 5 0 -100000 0 100000 6
En el Elemento 5. Como el nodo 2 es el extremo cercano y el nodo 5 el extremo lejano,
entonces, a partir de las ecuaciones anteriores tenemos:
0.0015𝑚^2 ∗ 200 ∗
𝑚^2
Con esto podemos obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales con
el siguiente arreglo matricial.
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[
𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2
−𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 ]
k5 = -28800 21600 28800 -21600 6 -38400 28800 38400 -28800 9 28800 -21600 -28800 21600 10
En el Elemento 6. Como el nodo 2 es el extremo cercano y el nodo 1 el extremo lejano,
entonces, a partir de las ecuaciones anteriores tenemos:
0.0015𝑚^2 ∗ 200 ∗
𝑚^2
Con esto podemos obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales con
el siguiente arreglo matricial.
[
𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2
−𝜆𝑥^2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑥^2 𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦^2 𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦^2 ]
k6 = 0 0 0 0 6 -75000 0 75000 0 8 0 0 0 0 7 Descargado por Felvis de la o ([email protected])
p. Determinamos los desplazamientos desconocidos (Du), mediante la ecuación
En este caso Dk=0, por lo tanto, tenemos:
[Qk] 1 2 3 4 5 6 7 [Du] 0 = 113400.000 28800.000 -75000.000 0.000 -38400.000 -28800.000 0.000 1 * D -20 28800.000 21600.000 0.000 0.000 -28800.000 -21600.000 0.000 2 D 0 -75000.000 0.000 150000.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 D 0 0.000 0.000 0.000 100000.000 0.000 -100000.000 0.000 4 D 0 -38400.000 -28800.000 0.000 0.000 151800.000 0.000 0.000 5 D 0 -28800.000 -21600.000 0.000 -100000.000 0.000 143200.000 0.000 6 D 0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 100000.000 7 D
[Q] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 [D]
0 113400.000 28800.000 -75000.000 0.000 -38400.000 -28800.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 D
-20 28800.000 21600.000 0.000 0.000 -28800.000 -21600.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 D
0 -75000.000 0.000 150000.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -75000.000 0.000 3 D
0 0.000 0.000 0.000 100000.000 0.000 -100000.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4 D
0 = -38400.000 -28800.000 0.000 0.000 151800.000 0.000 0.000 -75000.000 -38400.000 28800.000 5 * D
0 -28800.000 -21600.000 0.000 -100000.000 0.000 143200.000 0.000 0.000 28800.000 -21600.000 6 D
0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 100000.000 0.000 0.000 -100000.000 7 D
Q8 0.000 0.000 0.000 0.000 -75000.000 0.000 0.000 75000.000 0.000 0.000 8 0
Q9 0.000 0.000 -75000.000 0.000 -38400.000 28800.000 0.000 0.000 113400.000 -28800.000 9 0
Q10 0.000 0.000 0.000 0.000 28800.000 -21600.000 -100000.000 0.000 -28800.000 121600.000 10 0
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Luego al despejar la ecuación anterior de la forma siguiente obtenemos los desplazamientos
desconocidos.
𝐷𝑢 = [𝐾 11 ]−1𝑄𝑘
Entonces, al multiplicar el vector de cargas conocidas por la inversa de la matriz K11 como sigue
obtendríamos los desplazamientos desconocidos de la estructura como sigue.
[Du] 1 2 3 4 5 6 7 [Qk] D1 = 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 * 0 D2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 - D3 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0 D4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4 0 D5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 5 0 D6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 6 0 D7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 7 0
Luego se obtiene los desplazamientos desconocidos:
[Du] D1 = 0. D2 -0. D3 0. D4 -0. D5 -0. D6 -0. D7 0.
q. Con los resultados obtenidos podemos conseguir las reacciones en los apoyos (Qu) y además
la fuerza interna en cada elemento (q) para lo cual se sigue el siguiente desarrollo.
Como sabemos que Dk=0, por lo tanto, tenemos:
[Qu] 1 2 3 4 5 6 7 [Du] Q8 = 0.000 0.000 0.000 0.000 -75000.000 0.000 0.000 8 * 0. Q9 0.000 0.000 -75000.000 0.000 -38400.000 28800.000 0.000 9 -0. Q10 0.000 0.000 0.000 0.000 28800.000 -21600.000 -100000.000 10 0. -0. -0. -0.
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