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Cálculo de un Variable: Integral Definida y Sus Aplicaciones - Taller 27, Apuntes de Química

ISSPEQuímica

Documento que contiene la solución de dos ejercicios relacionados con el cálculo de volúmenes de solidos de revolución mediante el método de las arandelas y el método de las capas cilíndricas. El documento incluye el bosquejo de las regiones en el plano cartesiano, el cálculo de los radios y alturas, y la determinación de los límites de integración.

Tipo: Apuntes

2020/2021

Subido el 21/08/2021

brandon-alcocer-1
brandon-alcocer-1 🇪🇨

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Elaborado(por(@ialvarez(
Página(1(de(4(
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ESCUELA'SUPERIOR'POLITÉCNICA'DEL'LITORAL'
FACULTAD'DE'CIENCIAS'NATURALES'Y'MATEMÁTICAS'
CÁLCULO'DE'UNA'VARIABLE''–''APRENDIZAJE'ACTIVO''–''PARALELO'“1”'
UNIDAD'4:'INTEGRAL'DEFINIDA'Y'SUS'APLICACIONES'
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EMPLEANDO'EL'MÉTODO'DE'LAS'CAPAS'CILÍNDRICAS'
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¡Descarga Cálculo de un Variable: Integral Definida y Sus Aplicaciones - Taller 27 y más Apuntes en PDF de Química solo en Docsity!

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

CÁLCULO DE UNA VARIABLE – APRENDIZAJE ACTIVO – PARALELO “1”

UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

4.5. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN EMPLEANDO EL MÉTODO DE LOS DISCOS/ARANDELAS O

EMPLEANDO EL MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS

TALLER # 27 – 18 DE AGOSTO DE 2021

1. (50 PUNTOS) Considere la región 𝑹 acotada por: 𝒚 = 𝟐 + 𝒍𝒏 𝒙 𝒚 = 𝟐 𝒙 = 𝒆 Con el MÉTODO DE LAS ARANDELAS, calcule el VOLUMEN del sólido de revolución que se obtiene al rotar 𝑹 alrededor de la recta 𝒙 = 𝟏. Previamente, bosqueje la región 𝑹 en el plano cartesiano. Solución: Se bosqueja la región en el plano cartesiano: Al aplicar el MÉTODO DE LAS ARANDELAS, se tiene el siguiente diferencial de volumen: 𝑑𝑉 = 𝜋 𝑅^0 − 𝑟^0 𝑑𝑦 Se determinan las longitudes de los radios 𝑅 (externo) y 𝑟 (interno): 𝑅 = 𝑒 − 1 𝑢 ∧ 𝑟 = 𝑥 − 1 𝑢 Por la forma del rectángulo representativo, se definen los límites de integración para la variable 𝑦: 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 → 𝑒;^ ≤ 𝑒<=^0 ≤ 𝑒 → 0 ≤ 𝑦 − 2 ≤ 1 → 2 ≤ 𝑦 ≤ 3 x y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 𝑟 𝑅

Puesto que para los límites de integración se considerará la variable 𝑦: 𝑦 = 2 + 𝑙𝑛 𝑥 → 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑦 − 2 → 𝑥 = 𝑒<=^0 Para calcular el volumen 𝑉 del sólido de revolución que se genera, se tiene: 𝑉 = 𝜋 𝑒 − 1 0 − 𝑒<=^0 − 1 0 𝑑𝑦 C 0 𝑉 = 𝜋 𝑒^0 − 2 𝑒 + 1 − 𝑒^0 <=D^ − 2 𝑒<=^0 + 1 𝑑𝑦 C 0 𝑉 = 𝜋 2 𝑒<=^0 − 𝑒^0 <=D^ + 𝑒^0 − 2 𝑒 𝑑𝑦 C 0 𝑉 = 𝜋 2 𝑒<=^0 𝑑𝑦 C 0

− 𝑒^0 <=D^ 𝑑𝑦

C 0

+ 𝑒^0 − 2 𝑒 𝑑𝑦

C 0 𝑉 = 𝜋 2 𝑒<=^0 0 C^ −

𝑒^0 <=D

0 C

  • 𝑒^0 − 2 𝑒 𝑦 0 C 𝑉 = 𝜋 2 𝑒 − 1 −

𝑒^0 − 1 + 𝑒^0 − 2 𝑒 3 − 2

𝑒^0 +

+ 𝑒^0 − 2 𝑒 = 𝜋

𝑒^0 −

𝜋 𝑒^0 − 3 𝑢C

Rúbrica: Bosqueja la región en el plano cartesiano, dibuja el rectángulo representativo y su eje de rotación. Hasta 10 PUNTOS Obtiene las longitudes de los dos radios, determina los limites de integración, plantea el volumen como una integral definida, antideriva y evalúa todos los términos. Hasta 35 PUNTOS Muestra el resultado expresado en unidades cúbicas. Hasta 5 PUNTOS

2. 50 PUNTOS) Considere la región 𝑹 definida así: 𝑹 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐^ 𝒙𝟐^ − 𝟒 ≤ 𝒚 ≤ 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 Con el MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS, calcule el VOLUMEN 𝑽 del sólido de revolución que se obtiene al rotar 𝑹 alrededor de la recta 𝒙 = −𝟐.

𝑉 = 4 𝜋 −𝑥C^ − 𝑥^0 + 4 𝑥 + 4 𝑑𝑥

0 =N 𝑉 = 4 𝜋 −

𝑥D^ −

𝑥C^ + 2 𝑥^0 + 4 𝑥

=N 0 𝑉 = 4 𝜋 −

∴ 𝑉 = 45 𝜋 𝑢C

Rúbrica: Bosqueja la región en el plano cartesiano, dibuja el rectángulo representativo y su eje de rotación. Hasta 10 PUNTOS Obtiene las longitudes del radio medio y de la altura, determina los limites de integración, plantea el volumen como una integral definida, antideriva y evalúa todos los términos. Hasta 35 PUNTOS Muestra el resultado expresado en unidades cúbicas. Hasta 5 PUNTOS