INGENIERÍA INDUSTRIAL, Esquemas y mapas conceptuales de Ingeniería Empresarial

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APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS INTRODUCCIÓN En el capítulo 5 vimos que una función continua en un intervalo cerrado tiene una integral definida, que es el límite de cualquier suma de Riemann para esa función. Proba- mos que es posible evaluar integrales definidas mediante el teorema fundamental del cálculo. También encontramos que el área bajo una curva y el área comprendida entre dos curvas po- drían calcularse como integrales definidas. En este capítulo ampliamos las aplicaciones de las integrales definidas para determinar volúmenes, longitudes de curvas planas y áreas de superficies de revolución. De igual ma- nera, utilizamos las integrales para resolver problemas de física que implican el trabajo reali zado por una fuerza, la fuerza de un fluido contra una pared plana y la ubicación del centro de masa de un objeto. 6 1 | Cálculo de volúmenes por medio de secciones transversales En esta sección definimos volúmenes de sólidos por medio de las áreas de sus secciones trans- versales. Una sección transversal de un sólido S es la región plana formada por la intersección de S con un plano (figura 6.1). Presentamos tres métodos para obtener las secciones transver- sales adecuadas para determinar el volumen de un sólido particular: el método de las rebanadas | Sección (o placas delgadas), el método de discos y el método de las arandelas. P, paro Suponga que queremos determinar el volumen de un sólido S como el de la figura 6.1. Ini- con área A( e ciamos ampliando la definición de un cilindro de la geometría clásica a la de sólidos cilíndricos con base arbitraria (figura 6.2). Si el sólido cilíndrico tiene una base conocida 4 y altura h, en- tonces el volumen del sólido cilíndrico es Volumen = área X altura = A*h. Esta ecuación forma la base para definir los volúmenes de muchos sólidos que no son cilíndri- a cos, como el de la figura 6.1. Si la sección transversal del sólido S en cada punto x del intervalo [a, b] es una región S(x) de área A(x), y A es una función continua de x, definimos y calculamos el volumen del sólido $ como la integral definida de A(x). Ahora mostramos cómo se obtiene b2xX esta integral por medio del método de las rebanadas. FIGURA 6.1 Una sección transversal S(x) del sólido S, formado por la intersección de $ con un plano P, perpendicular al eje x, que pasa por el punto x en el intervalo [a, b]. « A = área de la base 1 = altura Región del plano cuya Sólido cilíndrico con base en la región área conocemos Volumen = área de la base x altura = Ah FIGURA 6.2 El volumen de un sólido cilíndrico siempre se define como el área de su base por su altura. 308