¡Descarga Examen Final de Ecuaciones Diferenciales de la ETSI Telecomunicación (2016) - Prof. Rodríg y más Exámenes en PDF de Ingeniería Telemática solo en Docsity!
Apellidos: Nombre:
Sist.Elect. Son.&Img. Telem. Sist.Telec. DNI:
ETSI Telecomunicaci´on
Ecuaciones Diferenciales
Examen de Final
4 de Febrero de 2016
Primer parcial de 4 p.
Ejercicio 1. 1 p. Resuelve la ecuaci´on diferencial (2x + 1)y′^ + y + x^2 = 0 usando un factor integrante μ = μ(x) que depende ´unicamente de la variable x.
Ejercicio 2. 1.5 p.
- Encuentra una EDO lineal de segundo orden que tenga por soluci´on y = ex^ + sen x.
- Encuentra todas las soluciones de la ecuaci´on anterior.
Ejercicio 3. 1 p. Encuentra un sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo { x′^ − x + y = 0 y′^ − 2 x − y = 0
donde x = x(t) e y = y(t).
Ejercicio 4. 0.5 p. Elimina las constantes de la siguiente familia biparam´etrica de superficies para ob- tener una EDP que tenga a esa familia como una soluci´on:
z = ax^2 − by.
Segundo parcial de 3,5 p.
Ejercicio 5. 1 p. Encuentra los tres primeros t´erminos de serie de Fourier de la funci´on f (t) = et+1^ − 1 en (− 1 , 1).
Ayuda: Para el c´alculo te pueden ser interesantes las siguientes primiti- vas:∫ et+1^ cos(ant) dt = e t+1 (^) (an sen(ant)+cos(ant)) a^2 n^2 +1 y^
et+1^ sen(ant) dt = e t+1 (^) (sen(ant)−an cos(ant)) a^2 n^2 +.
Ejercicio 6. 1.5 p.
- Encuentra la siguiente transformada de Fourier: F
cos bt a^2 + t^2
- Usa el resultado anterior para calcular la integral
−∞
cos^2 bt 1 + t^2 dt.
- Encuentra la siguiente transformada inversa de Laplace: L−^1
s s^2 + 4s + 3
Ejercicio 7. 1 p.
Sea la funci´on Πa(t) =
1 si |t| < a 2 0 en caso contrario.
Calcula y haz un esquema gr´afico
del resultado del producto de convoluci´on f (t) = Πa(t) ∗ Π 2 a(t).
X Tercer parcial de 2,5 p.
Ejercicio 8. 1 p. Consid´erese la funci´on compleja f (z) = (x^3 − 3 xy^2 ) + i(ax^2 y − y^3 ) donde z = x + iy, como es habitual. Determina los valores reales a para que f sea una funci´on compleja entera (derivable en C).
Ejercicio 9. 1.5 p. Sea a un n´umero real positivo con a 6 = 1 y a 6 = 2 y sea γa la circunferencia centrada en 0 y radio∮ a (recorrida en sentido positiva). Encuentra el valor de la integral
γa
ez (z − 2)(z + i) dz dependiendo del valor del par´ametro a.
