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TAREA 4: Aplicaciones de la integral
1. Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones
dadas. Asegúrese de encontrar los puntos requeridos. Considere si el uso de
franjas horizontales hace más sencilla la integral que el uso de franjas verticales.
Realizo el gráfico:
Se obtiene la intersección de las curvas se dan en:
2
2
2
Se da uso a elementos horizontales para comodidad. La curva superior es 𝑥 = 6 ,
la curva inferior es 𝑥 = 𝑦
2
- Se intersecan cuando 𝑦 = ± 6. Entonces el área de
la franja horizontal es:
𝑠𝑢𝑝
𝑖𝑛𝑓
2
𝑥 = 6
𝑦 = 2
𝑦 = − 2
Por consiguiente, la franja tiene un área de (−𝑦
2
- 4 )∆𝑦, por lo que para hallar el
área se suman las áreas entre 𝑦 = − 2 𝑦 𝑦 = 2.. Así:
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ ( 4 − 𝑦
2
2
− 2
3
− 2
2
3
3
b) 𝑦 = 𝑥
3
Se da uso a las franjas verticales para comodidad. La curva superior es 𝑦 = 𝑥 + 6
, la curva inferior es 𝑦 = 𝑥
3
. Se intersecan cuando 𝑥 = 2. Entonces la altura de la
franja es:
𝑠𝑢𝑝
𝑖𝑛𝑓
3
El excedente de los consumidores (EC) es:
[
0
]
𝑞
0
0
2
10
0
2
10
0
3
0
10
3
El excedente de los productores (EP) es:
[
0
)]
𝑞
0
0
10
0
10
0
2
0
10
2
Por lo tanto el excedente de los consumidores es de $ 𝟔𝟔𝟔, 𝟔𝟕 y el de los
productores es $ 𝟏𝟎𝟎𝟎.
Solución: Primero determino el punto de equilibrio
0
0
resolviendo el sistema
formado por la oferta y la demanda. Se igualan las dos expresiones para p y se
resuelve:
2
2
Tomo el valor positivo, por lo que el punto de equilibrio 𝑃𝐸 (𝑝 0
0
) es:
El excedente de los consumidores (EC) es:
[
0
]
𝑞
0
0
5
0
El excedente de los consumidores (EC) es:
∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝
0
]𝑑𝑞
𝑞
0
0
11 −𝑞
5
0
11 −𝑞
5
0
5
0
Convierto la base del primer integral para proceder:
𝑙𝑛 2
11 −𝑞
5
0
0
5
( 𝑙𝑛 2
)( 11 −𝑞
)
5
0
0
5
(𝑙𝑛 2 )( 11 −𝑞)
5
0
(𝑙𝑛 2 )( 11 −𝑞)
0
5
11 −𝑞
0
5
11 − 5
11 − 0
El excedente de consumidores (EC), bajo el equilibrio de mercado, es de 2,
miles de unidades.
4. Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un fabricante está
dada por:
Donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando se demandan q unidades.
Suponga que el equilibrio del mercado ocurre cuando p = 20. Determine el
excedente de los consumidores bajo el equilibrio del mercado.
Solución: Determino primero el valor q del punto de equilibrio: 15 , 426414
No se puede resolver normalmente.
El excedente de los consumidores (EC) es:
∫ [
0
]
𝑞
0
0
11 −𝑞
15 , 426414
0
= ∫ [ 10
−
(
- 1 𝑞+ 1
)
] 𝑑𝑞
- 426414
0
= 10 ∫ [(𝑞 + 10 )𝑒
−( 0. 1 𝑞+ 1 )
]𝑑𝑞
- 426414
0
= 10 ∫ [𝑞𝑒
−( 0. 1 𝑞+ 1 )
]𝑑𝑞
- 426414
0
+ 10 ∫ [ 10 𝑒
−( 0. 1 𝑞+ 1 )
]𝑑𝑞
- 426414
0
5. Calcule las integrales:
Primero realizo la integración por partes:
𝑢 = ln(𝑡) 𝑑𝑣 =
2
2
Así.
2 3
⁄
1
0
2 3
⁄
3
1
3
0
1
3
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
- Para un negocio, el valor presente de todas las utilidades futuras a un interés
anual r compuesto continuamente, está dada por:
Dónde 𝒑
es la utilidad anual en dólares en el tiempo t con 𝒑
𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑦 𝒓 = 𝟎. 𝟎𝟔. Evalúe esta integral.
Solución:
Reemplazo valores y calculo la integral indefinida:
− 0 , 06 𝑡
− 0 , 06 𝑡
′
− 0 , 06 𝑡
Ahora calculo los límites:
− 0 , 06 𝑡
+∞
0
′
− 0 , 06 𝑡
0
+∞
′
− 0 , 06 (∞)
) − [− 4
′
− 0 , 06 ( 0 )
)]
′
∞
′
0
′
′
′
′
- El tiempo en horas entre llegadas sucesivas de pacientes a la sala de
emergencias de un hospital es una variable aleatoria continua con función de
densidad:
Determine la función de distribución y calcule la probabilidad de que transcurra
más de una hora sin ninguna llegada.
Solución: Escribimos la ecuación
+∞
−∞
0
−∞
+∞
0
Como 𝑓(𝑡) = 0 para 𝑡 < 0 , entonces ∫
0
−∞
Por lo tanto,
+∞
0
− 2 𝑡
+∞
0
lim
𝑟→∞
− 2 𝑡
𝑟
0
= 1 ∴ lim
𝑟→∞
− 2 𝑡
𝑟
0
lim
𝑟→∞
− 2 𝑡
0
𝑟
lim
𝑟→∞
− 2 𝑟
− 2 ( 0 )
−∞
La función de distribución es:
−𝟐𝒕
La probabilidad de que transcurra más de una hora sin ninguna llegada, está dada
por:
−𝟐𝒕
∞
1
− 2 𝑡
∞
1
− 2 𝑡
1
∞
− 2 ∗∞
− 2 ∗ 1
