Integración
numérica:
Método del
trapecio,
Métodos de
Simpson
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Método del
trapecio,
Métodos de
Simpson
Alumna: Fatima Alonso
Saavedra
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Integración numérica, Diapositivas de Métodos Numéricos
Los métodos de integración numérica del trapecio y Simpson para obtener aproximaciones de integrales definidas de funciones continuas. Se explica el Teorema Fundamental del Cálculo y se muestra cómo estos métodos permiten obtener soluciones cuando no se puede determinar la antiderivada requerida. También se discute el error de la regla del trapecio y se presenta la regla de Simpson como una alternativa más precisa.
Tipo: Diapositivas
2021/2022
1 / 8
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Integración
numérica:
Método del
trapecio,
Métodos de
Simpson
Integración
numérica:
Método del
trapecio,
Métodos de
Simpson
Alumna: Fatima Alonso Saavedra Alumna: Fatima Alonso Saavedra
En Cálculo Integral aprendemos a calcular una integral definida de una función
continua, haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo que dice que si f(x) es
una función continua en un intervalo [a, b] y F(x) es una antiderivada de f(x)
entonces:
El problema en la práctica se presenta cuando se nos hace imposible determinar la
antiderivada requerida
En estos casos, debemos de recurrir a la integración numérica que permite obtener
aproximaciones bastantes exactas y que se pueden resolver.
En este caso nos referiremos a la regla del trapecio y a la regla de Simpson.
En Cálculo Integral aprendemos a calcular una integral definida de una función
continua, haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo que dice que si f(x) es
una función continua en un intervalo [a, b] y F(x) es una antiderivada de f(x)
entonces:
El problema en la práctica se presenta cuando se nos hace imposible determinar la
antiderivada requerida
En estos casos, debemos de recurrir a la integración numérica que permite obtener
aproximaciones bastantes exactas y que se pueden resolver.
En este caso nos referiremos a la regla del trapecio y a la regla de Simpson.
Ejemplo 1 Calcular la integral de en el intervalo [1.3, 1.8] aplicando la regla del trapecio. Solución: Aplicar la fórmula de la regla del trapecio
Error de la regla del trapecio Error de la regla del trapecio Del ejemplo anterior observarnos que la función integrar no es lineal, la regla del trapecio genera un error. La fórmula para calcular el error de una sola aplicación de este, viene dada por: las funciones a integrar que posean derivadas de segundo orden o de orden superior, la regla del trapecio genera un error. Del ejemplo anterior observarnos que la función integrar no es lineal, la regla del trapecio genera un error. La fórmula para calcular el error de una sola aplicación de este, viene dada por: las funciones a integrar que posean derivadas de segundo orden o de orden superior, la regla del trapecio genera un error.
(^) La gráfica muestra una parábola que aproxima a una función real. podemos observar que se calcula el área o la integral bajo la parábola que pasa por los tres puntos. (^) Así entonces para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson se utiliza la siguiente fórmula: El error estimado viene dado por la fórmula: (^) La gráfica muestra una parábola que aproxima a una función real. podemos observar que se calcula el área o la integral bajo la parábola que pasa por los tres puntos. (^) Así entonces para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson se utiliza la siguiente fórmula: El error estimado viene dado por la fórmula:
Calcular la integral de
en el intervalo [0, 1] aplicando la
regla Simpson 1/3.
Calcular la integral de
en el intervalo [0, 1] aplicando la
regla Simpson 1/3.
Luego aplicando la regla de Simpson 1/3 se tiene que: Observamos que el valor obtenido con la regla de Simpson 1/3 es una mejor aproximación que el obtenido con la regla pasada. Para calcular el error, hay que determinar primero la cuarta derivada de la función, la cual viene dada por: