¡Descarga Integrales y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Integració
1 / 52
Primitives
Definició
Una funció real F (t) és una primitiva d’una funció real f (t) quan és derivable i F ′^ = f.
Exemple 1: Com que la derivada de F (t) = t^3 és F ′(t) = 3 t^2 , una primitiva de f (t) = 3 t^2 és F (t) = t^3.
Exemple 2: Com que la derivada de F (t) = ln(t^2 + 1 ) és F ′(t) = 2 t t^2 + 1 , una primitiva de f (t) = 2 t t^2 + 1 és F (t) = ln(t^2 + 1 ).
2 / 52
Unicitat de primitives llevat de
constant
Teorema
(a) Si F (t) és una primitiva d’una funció f (t) i C ∈ R, aleshores la funció F (t) + C també n’és una primitiva.
(b) Siguin F (t) i G (t) dues primitives d’una funció real f (t) amb domini un interval. Aleshores, existeix qualque C ∈ R tal que F (t) = G (t) + C.
En general, entendrem que dues primitives d’una funció es diferencien només en una constant.
Primitives
Exemple: Com que una primitiva de f (t) = 3 t^2 és F (t) = t^3 , totes les primitives de f (t) = 3 t^2 són exactament les funcions F (t) = t^3 + C amb C ∈ R
(t^3 + C )′^ = (t^3 )′^ + C ′^ = 3 t^2 + 0 = 3 t^2
Si G ′(t) = 3 t^2 , aleshores (G − t^3 )′^ = 0 i per tant G − t^3 = C
Integració
Calcular totes les primitives d’una funció es diu integrar aquesta funció, o també calcular-ne la integral. Si t representa la variable a la qual la funció f s’aplica, aleshores es representa una primitiva genèrica de la funció f per ∫ f (t)dt
i es llegeix aquesta expressió “la integral de f respecte de t”. El sufix “dt” indica tan sols que t és l’argument de f , respecte del qual integram.
La integració és el procés invers a la derivació: donada una funció f (t), cercam les funcions F (t) tal que F ′(t) = f (t).
5 / 52
Integració
El teorema anterior diu que ∫ f (t)dt = (una primitiva de f (t)) + C
El +C simplement ens recorda que per trobar totes les primitives de f (t), basta trobar-ne una i sumar-li una constant genèrica. Si ens demanen una primitiva de f (t) que satisfaci algunes condicions (inicials), primer trobam totes les primitives de f (t) i després imposam les condicions que ens donin per trobar la constant concreta.
6 / 52
Integració
Exemple: Quina és la funció y (t) tal que y ( 0 ) = 2 i y ′(t) = 2 e^2 t^?
y (t) serà una primitiva de 2e^2 t ∫ 2 e^2 t^ dt = e^2 t^ + C
Per tant y (t) = e^2 t^ + C
Ara 2 = y ( 0 ) = e^2 ·^0 + C = 1 + C =⇒ C = 1
Per tant, la funció cercada és y (t) = e^2 t^ + 1
Integració
Integrar és molt més difícil que derivar, i no tota funció té primitiva senzilla. R no sap calcular primitives. The integrator: http://integrals.wolfram.com/
Integrals immediates: potències
Per a tot a 6 = −1, ∫ tadt = ta+^1 a + 1
+ C ;
u(t)au′(t)dt = u(t)a+^1 a + 1
+ C.
Exemples
t^4 dt = t^5 5
+ C
4 t^6 dt = 4
t^6 dt = 4 t^7 7
+ C =
t^7 + C ∫ √ (^3) tdt =
t (^13) dt = t 13 +^1 1 3 +^1
+ C =
t 43 4 3
+ C =
√ (^3) t (^4) + C
13 / 52
Integrals immediates: potències
Per a tot a 6 = −1, ∫ tadt = ta+^1 a + 1
+ C ;
u(t)au′(t)dt = u(t)a+^1 a + 1
+ C.
Exemples
t^3 dt =
t−^3 dt = t−^2 − 2
+ C = −
2 t^2
+ C
(t + 3 )^3 dt =
(t + 3 )^3 · 1 dt = (t + 3 )^4 4
+ C
14 / 52
Integrals immediates: potències
Per a tot a 6 = −1, ∫ tadt = ta+^1 a + 1
+ C ;
u(t)au′(t)dt = u(t)a+^1 a + 1
+ C.
Exemples
( 2 t + 3 )^5 dt =
· 2 ( 2 t + 3 )^5 dt
( 2 t + 3 )^5 ( 2 t + 3 )′dt
( 2 t + 3 )^6 6
+ C =
( 2 t + 3 )^6 12
+ C
Integrals immediates: potències
Per a tot a 6 = −1, ∫ tadt = ta+^1 a + 1
+ C ;
u(t)au′(t)dt = u(t)a+^1 a + 1
+ C.
Exemples
3 t( 5 t^2 + 6 )^3 dt =
· 10 t( 5 t^2 + 6 )^3 dt
( 5 t^2 + 6 )^3 ( 5 t^2 + 6 )′dt
( 5 t^2 + 6 )^4 4
+ C =
3 ( 5 t^2 + 6 )^4 40
+ C
Integrals immediates: potències
Per a tot a 6 = −1, ∫ tadt = ta+^1 a + 1
+ C ;
u(t)au′(t)dt = u(t)a+^1 a + 1
+ C.
Exemples
ln(t)^3 t dt =
t ln(t)^3 dt = ln(t)^4 4
+ C
cos(t) sin(t)^5 dt = sin(t)^6 6
+ C
17 / 52
Exercicis
Calculau∫ t^5 dt = ∫ 1 √ (^4) t dt = ∫ t^2 ( 3 t^3 + 14 )^3 dt = ∫ cos(t) sin(t)^2 dt =
18 / 52
Integrals immediates:
t
t dt = ln(|t|) + C ;
u′(t) u(t) dt = ln(|u(t)|) + C.
Exemples
3 t^3 t^4 + 1 dt =
4 t^3 t^4 + 1 dt =
(t^4 + 1 )′ t^4 + 1 dt
=
ln(|t^4 + 1 |) + C =
ln(t^4 + 1 ) + C ∫ tan(t)dt =
sin(t) cos(t) dt =
− cos(t)′ cos(t) dt
= − ln(| cos(t)|) + C
Exercicis
Calculau ∫ 1 3 t − 5
dt = ∫ t t^2 + 5 dt =
Integrals immediates:
trigonomètriques
sin(t)dt = −cos(t)+C ∫ sin(u(t))u′(t)dt = −cos(u(t))+C
Exemples
( 2 t + 1 ) sin(t^2 + t − 4 )dt = − cos(t^2 + t − 4 ) + C ∫ 5 t sin( 3 t^2 − 4 )dt =
6 t sin( 3 t^2 − 4 )dt
= −
cos( 3 t^2 − 4 ) + C
25 / 52
Exercicis
Calculau ∫ cos( 5 t)dt = ∫ sin(ln(t)) t dt =
26 / 52
Algunes fraccions
t^2 + a^2
dt =
a
arctan
( (^) t a
+ C ;
u′(t) u(t)^2 + a^2
dt =
a
arctan
(u(t) a
+ C
(t − a)^2 + b
√^1
b
arctan
(t − a √ b
Exemple
(t − 3 )^2 + 5
dt =
arctan
(t − 3 √ 5
+ C
Algunes fraccions
Per calcular
t^2 − 2 t + 3
dt:
(1) Trobam les arrels de t^2 − 2 t + 3: són 1 ±
2 i. Aleshores
t^2 − 2 t + 3 = (t − ( 1 +
2 i))(t − ( 1 −
2 i)) = (t − 1 )^2 − (
2 i)^2 = (t − 1 )^2 + 2.
(2) Per tant ∫ 1 t^2 − 2 t + 3 dt =
(t − 1 )^2 + 2 dt
=
√^1
arctan
(t − 1 √ 2
+ C
Algunes fraccions
(t − a)(t − b) dt =
a − b ln
t − a t − b
+ C
Exemple
t^2 + t − 6 dt =
(t − 2 )(t + 3 ) dt
=
ln
t − 2 t + 3
+ C
= 0 .2 ln
t − 2 t + 3
+ C
29 / 52
Algunes fraccions
(t − a)(t − b) dt =
a − b ln
t − a t − b
+ C
Exemple
t( 4 − t) dt = −
t(t − 4 ) dt
= −
ln
t t − 4
+ C
ln
t t − 4
+ C
30 / 52
Exercicis
Calculau ∫ 2 t^2 − 5 t + 6
dt = 2
(t − 2 )(t − 3 )
dt
= 2 ·
ln
t − 2 t − 3
∣∣) + C
= −2 ln
t − 2 t − 3
+ C
= 2 ln
t − 3 t − 2
+ C
Algunes fraccions
Per calcular
t^2 − 4 t + 4
dt: (1) Trobam les arrels de t^2 − 4 t + 4: són 2 amb multiplicitat
- Aleshores t^2 − 4 t + 4 = (t − 2 )^2 (2) Per tant ∫ 1 t^2 − 4 t + 4 dt =
(t − 2 )^2 dt
=
(t − 2 )−^2 dt = (t − 2 )−^1 − 1
+ C =
2 − t
+ C
Integració per parts
∫ f (t) · g (t) dt = f (t) · G (t) −
∫ f ′(t) · G (t) dt
Exemple
Per calcular
ln(t) t^3
dt, integram per parts. Fem f (t) = ln(t) i
g (t) =
t^3 = t−^3 , de manera que f ′(t) =
t i
G (t) = t−^3 +^1 (− 3 + 1 )
t−^2 2
2 t^2
ln(t) t^3 dt = ln(t)(−
2 t^2
t
2 t^2 ) dt
ln(t) 2 t^2
t−^3 dt = − ln(t) 2 t^2
4 t^2
+ C.
37 / 52
Exercicis
Calculau ∫ t cos(t)dt = ∫ te−^2 t^ dt = ∫ t^2 e−^2 t^ dt =
38 / 52
Sumes de Riemann
Sigui f : [a, b] → R una funció contínua.
Sigui Z una partició de [a, b]: una seqüència (zi )i= 0 ,...,n
a = z 0 < z 1 < z 2... < zn− 1 < zn = b
Per a cada i = 0 ,... , n − 1, sigui
Mi = min{f (x) | x ∈ [zi , zi+ 1 ]}
39 / 52
Sumes de Riemann
Considerem la suma
SZ (f ) =
∑^ n−^1
i= 0
Mi (zi+ 1 − zi )
= M 0 (z 1 − z 0 ) + M 1 (z 2 − z 1 ) + · · · + Mn− 1 (zn − zn− 1 )
a = z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 b = z 6 40 / 52
Sumes de Riemann
Això ho faríem per a cada partició de [a, b], en qualsevol nombre de punts
a = z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 b = z 10
41 / 52
Sumes de Riemann
Teorema
Si f : [a, b] → R és contínua, aleshores existeix el suprem dins R de tots aquests nombres
sup{SZ (f ) | Z partició de f }
En direm la integral entre a i b de f , ∫ (^) b
a
f (t) dt.
42 / 52
Sumes de Riemann
Aquest valor mesura l’àrea compresa entre l’eix de les abscises, la corba i les rectes verticals x = a i x = b.
Sumes de Riemann
En aquesta àrea, les zones per sobre de l’eix de les x sumen positiu, però les zones per davall d’aquest eix sumen negatiu (perquè les Mi són negatives)
Exemple
Calculau
1
t^2 dt
∫ (^) M
1
t^2 dt =
[
t
]M
1
M
lim M→∞
∫ M
1
t^2 dt = lim M→∞
M
Per tant
1
t^2 dt = 1
49 / 52
Valors mitjans
∫ (^) b
a
f (t) dt també es pot interpretar com ∑
x∈[a,b]
f (x)
50 / 52
Valors mitjans
Per calcular la mitjana d’una funció sobre un conjunt, sumam els valors de f aplicada a tots els elements de X i dividim pel nombre d’elements de X.
Quan X és infinit, això es fa integrant:
Definició
Sigui f : [a, b] → R una funció contínua. El valor mitjà m(f ) de f sobre aquest interval és
1 b − a
∫ (^) b
a
f (t) dt
Valors mitjans
Quin és el valor mitjà de la funció f (t) = 4 − t^2 sobre l’interval [− 2 , 2 ]? ∫ ( 4 − t^2 ) dt = 4 t − t^3 3
+ C
− 2
( 4 − t^2 ) dt =
[
4 t − t^3 3
] 2
− 2
m(f ) =
− 2
4 − t^2 dt =
