¡Descarga INTEGRALES y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
INTEGRACIÓN.
INTEGRALES INDEFINIDAS. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA.
Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. Diremos que F es una
función primitiva de f , o simplemente una primitiva de F , si F tiene por derivada f.
F es primitiva de f ⇔ F '( x ) = f ( x )
En notación diferencial:
F es primitiva de f ⇔ d F ( x ) = f ( x ) ⋅ dx
EJEMPLOS:
- Si ) 2 , entonces puede ser
2 f ( x = x F ( x ) = x
- Si f ( x ) = cos x , entonces puede ser F ( x ) = sen x
La operación que permite obtener una primitiva F a partir de una función f recibe el
nombre de INTEGRACIÓN. Si existe la función F se dice que la función f es integrable.
Una función puede tener varias primitivas, por ejemplo, la función podría
tener como primitivas las funciones
f ( x ) = 2 x ,
( ) , 2 F 1 (^) x = x ( ) 2 , 2 F 2 (^) x = x + ( ) 7 , " 2 F 3 x = x −
ya que
( ) ( ) ( ) ( )
' 3
' 2
' F 1 (^) x = F x = F x ="= f x
Teniendo en cuenta esto, podríamos demostrar la siguiente
Proposición.
Sean f , F , G tres funciones definidas de D en R , tal que F y G son dos primitivas de
f****. Entonces, la función F − G es otra función de D en R y además es constante.
De otro modo:
Dos primitivas de una misma función se diferencian a lo sumo en una constante.
En efecto, si F y G son primitivas de la misma función f , quiere decir que F^ '^ ( x )= f ( x )
y G ' ( x )= f ( x ).
Restando, miembro a miembro, ambas igualdades, tendremos:
F ' ( x )− G '( x )= 0 ⇒ ( F − G )'( x )= 0 ⇒ ( F − G )( x )= cte. ⇒ F ( x )− G ( x )= cte. ⇒
⇒ F ( x )= G ( x )+ cte.
DEFINICIÓN.
Dada una función f , se llama integral indefinida de f al conjunto de sus infinitas
primitivas { F + K }.
La integral indefinida se representa por ∫ f ( x ). dx
El símbolo se lee «integral de...» y se llama integrando. El número real K
recibe el nombre de «constante de integración».
f ( x ). dx
EJEMPLOS:
1. ∫ cos x. dx = sen x + K ya que la derivada del seno es el coseno.
2. ∫ x dx = x + K
3 4 4
3. ∫ xdx = x + K
2 2
La integral indefinida es una familia de funciones dependiente de un parámetro cuyas
gráficas se obtienen por traslación de una primitiva.
Para la determinación de una primitiva es necesario conocer la constante de integración;
para ello necesitamos alguna otra condición, como puede ser el valor que toma la función
primitiva en un punto del dominio o un punto por el que pasa la gráfica de la función.
Ejemplo:
1. Halla una primitiva de la función f ( x ) = 2 x , cuya gráfica pasa por el punto P (1,3).
Las primitivas de f son de la forma F x = x + K
2 ( )
Puesto que la gráfica pasa por P (1,3), tendremos
F ( 1 )= 3 ⇔ 3 = 1 + K ⇔ K = 2
Por tanto, la primitiva pedida será ( ) 2.
2 F x = x +
2. Hallar la ecuación de la primitiva de la función
x f ( x ) = e que pasa por el punto P (0,4).
Las primitivas de f son de la forma F x e K
x ( )= +
Puesto que la gráfica pasa por P (0,4), tendremos
0 F = ⇔ = e + K ⇔ = + K ⇔ K =
Por tanto, la primitiva buscada será ( )= + 3.
x F x e
Siendo F ' ( x )= f ( x ), para cualquier primitiva se verificará que
En consecuencia, la expresión es la diferencial de
cualquier primitiva de f ( x ) y, por tanto, podemos escribir
F ( x )de f ( x ),
dF ( x )= F '( x ). dx = f ( x ). dx. f ( x ). dx
dF ( x )= F ( x )+ K en particular
dx = x + K
o también: d ∫ f ( x ). dx = d ( F ( x )+ K )= f ( x ). dx
Todas las técnicas de integración consisten en transformar el integrando hasta obtener
una función que reconozcamos como inmediata. Por ello, el conocimiento y memorización de
los siguientes tipos es imprescindible para iniciarse en la integración.
INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES:
F O R M A S
T I P O S
S I M P L E S COMPUESTAS
Potencial α≠− 1 ∫ +
α+
α+ α K
x x dx 1
1
α+
α+ α K
f f f dx 1
1
Logarítmico ∫ ⋅^ dx = Lx + K
x
∫ ⋅^ dx = Lf + K
f
f '
∫ e^ dx =^ e + K
x x
∫ f^ e dx =^ e + K
f f '.
Exponencial
∫ =^ ⋅ a + K
La
a dx
x^1 x
∫ =^ ⋅ a + K
La
f a dx
f^1 f '.
Seno ∫ cos^ x^. dx =^ sen x + K ∫ f^ '.cos f. dx =^ sen f + K
Coseno ∫ sen^ x^. dx =^ −cos x + K ∫ f^ '.sen f. dx =^ −cos f + K
∫ sec^ x^. dx =^ tg x + K
2
∫ f^ '^ sec f. dx =^ tg f + K
2
∫ (^1 +^ tg x^ ) dx =tg x + K
2
∫ (^1 +^ tg f^ ) f ' dx =tg f + K
2 Tangente
dx x K x
∫ ⋅ =tg +
cos
2 dx f K f
f
∫ ⋅ =tg +
cos
2
∫ cosec^ x^. dx =^ −ctg x + K
2
∫ f^ '.cosec^ f. dx =^ −ctg f + K
2
∫ (^1 +^ ctg x^ ) dx =−ctg x + K
2
∫ (^1 +^ tg f^ ) f ' dx =tg f + K
2 Cotangente
dx x K x
∫ ⋅ =−ctg +
sen
2 dx f K f
f
∫ ⋅ =−ctg +
sen
2
dx x K x
arcsen 1
2
= −arccos x + K f K
dx f K f
f
arccos
arcsen 1
2
Arco seno (= − arco coseno)
K a
x dx a x
∫ arcsen
2 2
K
a
x = −arccos + K a
f
K
a
f dx a f
f
arccos
arcsen
2 2
dx x K x
arctg 1
2
= −arcctg x + K
dx f K f
f arctg 1
2
= −arcctg f + K
Arco tangente
= − Arco cotangente.
K
a
x
a
dx a x
arctg
2 2
K
a
x
a
= − ⋅arcctg +
K
a
f
a
dx a f
f arctg
2 2
K
a
f
a
= − ⋅arcctg +
EJEMPLOS:
Tipo potencial: forma simple
• K
x K
x x dx + = +
51 6 5
• K
x K
x K
x x dx + = + = +
3
5 3
1 5 3
2
3
2
• K
x x K
x K
x K
x x dx x dx + = + = + = +
2 5 2
1 5 2
3
2
3 3
x K
x K
x dx x dx x
dx x
−+ −
4 3
4 4 3
3 1 4
1
4
1
4 4 1 3
• K
x x K
x K
x K
x dx x x dx x dx x
x
−
2 5 2
5 1 2
3
2
3 2
1 2
2
- Combinando la integral inmediata de tipo potencial con las propiedades lineales de
la integral indefinida, podemos integrar funciones de tipo polinómico:
x K
x x x x K
x x x
x K
x x x
x dx x dx xdx dx
x x x dx x dx x dx xdx dx
4 3 2 4 3 2
31 21 11
3 2
3 2 3 2
Vemos que el proceso de integración lo hemos aplicado a las funciones potenciales dejando los coeficientes al margen del proceso. Sin embargo, no hace falta dar todos los pasos como en el ejemplo anterior, sino que se puede y se debe integrar directamente como en el siguiente ejemplo:
K x K x x K
x
3 3
Tipo logarítmico:
dx x
∫ ∫^3
x dx x
x ⋅ = ⋅ + +
∫ ∫ (^1 )
2 2 2
⋅ = ⋅ =− dx L x K x
x dx x
x x dx cos cos
sen
cos
sen tg
x x ⋅ dx = ⋅ = +
sen sen
cos ctg
x x dx x
x ⋅ = + +
∫ ∫ (^1 sen )
1 sen
2 sen .cos
1 sen
sen (^22) 2 2
dx L x K x
x dx x x
arctg arctg
( 1 ).arctg
2
x dx x (^) x
∫ ⋅^ ∫ arcsen
arcsen
arcsen
2
Tipo exponencial:
• K
x ⋅ + L
L dx L
dx
x x
∫ =^ ⋅∫ ⋅ ⋅ =^3
- e dx e dx e K x x x ⋅ = ⋅ ⋅ = +
1 1 1 1
- e dx e dx e K x x x ⋅ = ⋅ ⋅ = +
2 1 2 1 2 1 2
• K
L
L dx L
dx dx x x x x x ⋅ ⋅ + ⋅
x x x ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = +
(^21 )
2
x x
sen sen cos
x x x
∫ ⋅^ ⋅ =∫ ⋅ ⋅ = +
sen 2 sen^2 sen^2 sen 2 2 sen .cos
x
dx x
e (^) x x x ⋅ ⋅ = + −
arcsen arcsen 2 2
arcsen
dx x
e (^) x x x ⋅ = +
arctg arctg 2 2
arctg
Tipo trigonométrico (seno, coseno, tangente,....).
• ∫ x − ⋅ dx = ⋅∫ ⋅ x − ⋅ dx = ⋅sen( 2 x − 1 )+ K
2 cos( 2 1 ) 2
cos( 2 1 )
- x ⋅ x ⋅ dx = ⋅ ⋅ x ⋅ dx = ⋅ x + K
2 2 2 sen 2
2 cos 2
cos
dx x
x ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ +
cos 2 sen 2
cos
dx x
Lx ⋅ = ⋅ ⋅ = +
cos( ) sen( )
cos( ) 1
• ∫ x ⋅ dx = ⋅∫ ⋅ x ⋅ dx =− ⋅cos 2 x + K
2 sen 2 2
sen 2
x x dx x x dx x x dx f f
2
2
'
sen 2
sen sen 2 2 sen cos 2 sen cos 2
• ∫ x ⋅ x + ⋅ dx = ⋅∫ x ⋅ x + ⋅ dx =− ⋅cos( x + 3 )+ K
2 sen( 3 ) 2
sen( 3 )
2 2 2
dx x
x ⋅ = ⋅ ⋅ =− ⋅ +
sen 2 cos 2
sen
x x x ⋅ + ⋅ =− + +
sen( 3 ) cos( 3 )
• ∫ tg x. dx = ∫( 1 +tg x − 1 ). dx =∫( 1 +tg x ). dx −∫ 1. dx =tg x − x + K
2 2 2
• ∫ tg x. dx = ∫tg x ⋅tg x. dx =∫tg x (sec x − 1 ). dx =∫(tg x ⋅sec x −tg x ). dx =
3 2 2 2
L x K
x L x K
x
dx x
x x x xdx xdx
cos 2
tg ( cos ) 2
tg
cos
sen
2
tg tg sec. tg.
2 2
2 2
- x − ⋅ dx = ⋅ x − ⋅ dx = ⋅ x − + K
tg( 3 1 ) 3
3 sec ( 3 1 ) 3
sec ( 3 1 ) 2 2
dx x
ctg 7 7
sen 7
sen 7
2 2
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ dx = ⋅ x + K x
x dx x
x (^) 2 2 2 2 2 tg^2 4
cos 2
cos 2
- x dx = + x − dx = + x dx − dx =− x − x + K
ctg. ( 1 ctg 1 ). ( 1 ctg ). 1. ctg 2 2 2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
Dada una integral se debe reconocer primero si se adapta a uno de los tipos
fundamentales o si se puede reducir a alguno de ellos haciendo transformaciones elementales; en
caso contrario, habrá que aplicar otros procedimientos para su cálculo que reciben el nombre de
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.
Es una consecuencia directa de la derivación de funciones compuestas. Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable " x " por una función de otra
variable " t ", x = g( t ), de forma que el integrando se transforme en otro más sencillo.
Este proceso puede hacerse de dos formas:
• FORMA DIRECTA
Se hace x = g ( t ), de donde dx = g ' ( t )⋅ dt. Sustituyendo en la integral, nos queda:
∫ f^ ( x ). dx =^ ∫ f^ [^ g ( t )]⋅ g '( t ). dx
• FORMA RECÍPROCA
Se hace t = u ( x ), de donde dt = u ' ( x ). dx , y se despeja a continuación x y dx para
sustituirlos en la integral. Para terminar el proceso se calcula la integral en la nueva variable y después se deshace el cambio. Es evidente que si la integral resultante del cambio es más complicada que la de partida, el cambio realizado no es el adecuado y debemos buscar otro.
NOTA: Siempre que se pueda debemos de evitar emplear este método y utilizar los tipos
fundamentales.
EJEMPLOS.
• Calcula ∫ ⋅
= dx x x
I
Hacemos la sustitución 1 1 2 2 x − = t ⇒ x = t + Calculamos la diferencial de x : dx = 2 t. dt y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:
deshaciendoel cambiode x K
dt t K t
tdt t t
tdt t t
dx x x
I
{ variable} 2 arctg 1
2 arctg ( 1 )
2 2 2 2
5 x 2
dx I
Hacemos el cambio ( 2 ) 5
5 x − 2 = t ⇒ x = ⋅ t +
Calculamos la diferencial de x : dx = ⋅ dt 5
y sustituimos
deshaciendoelcambio x K
K t K
t dt t dt x t
dx I
∫ ∫ ∫
−
2
1
2
1
Se podría resolver la integral directamente, sin necesidad de utilizar el método de sustitución, empleando la fórmula de integración de funciones potenciales en su forma compuesta:
− − dx x dx x dx x x
dx I f
2
1 2
1
(^1 2)
N K x K
x x dx f f
− 5 2 5
1
2
1
'
= dx x
x I (^) 2
3
(arctg )
Hacemos el cambio arctg x = t y calculamos la diferencial de x. Tendremos:
dx dt dx x dt x
Sustituyendo en la integral nos queda:
K
x K
t x dt t dt x
t dx x
x I ⋅ + = = + = +
(arctg )
4
(arctg )
4 4 2 3 2
3
2
3
Directamente:
K
x dx x
dx x x
x I
f
f
(arctg )
1
(arctg ) 1
(arctg )
4
'
2
3 2
3
∫
x. x − 1 ⋅ dx
Hacemos la sustitución 1 1 2 2 x − = t ⇒ x = t + Calculamos la diferencial de x : dx = 2 t. dt y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:
t t K x x K
K
t t x x dx t t tdt t t dt t t dt
∫ ∫ ∫ ∫
2
3 2
5 5 3
5 3 2 2 2 2 4 2
v x
du dx
dv xdx
u x
cos. sen
y sustituimos
[ ]
x x [ x x x ] K x x x x x K
x xdx x x x x dx x x x x xdx
.cos 2 .sen ( cos ) .cos 2 .sen 2 cos
.sen. .cos 2 cos .cos 2 .sen sen.
2 2
2 2 2
sen( Lx )⋅ dx
Hacemos ⎪ ⎩
v x
dx x
du Lx
dv dx
u Lx
sen( ) cos( )
y sustituimos en la fórmula de integración por partes:
⋅ = − ⋅ ⋅ dx = x Lx − Lx ⋅ dx x
Lx dx x Lx x Lx .sen( ) cos( )
sen( ) .sen( ) .cos( )
La integral que nos queda, después de aplicar partes, es del mismo tipo que la que queremos calcular. En consecuencia, volvemos a aplicar el mismo procedimiento.
En ella hacemos:
v x
dx x
du Lx
dv dx
u Lx
cos( ) sen( )
y sustituimos nuevamente:
x Lx x Lx Lx dx
dx x
Lx dx x Lx Lx dx x Lx x Lx x Lx
.sen( ) .cos( ) sen( ).
sen( ) .sen( ) cos( ) .sen( ) .cos( ) .sen( )
Nos ha vuelto ha quedar la misma integral del principio. Entonces, pasando al primer miembro nos queda:
∫ Lx^ ⋅^ dx = x Lx − x Lx ⇒∫ Lx ⋅ dx = ⋅^ [^ x .sen( Lx )− x .cos( Lx )]^ + K
2 sen( ) .sen( ) .cos( ) sen( )
arcsen x. dx
Hacemos el siguiente cambio: ⎪ ⎩
v x
dx x
du
dv dx
u x 2 1
arcsen
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:
x x x K
K
x x x x x dx x x
dx x x x x dx x
xdx x x x
∫
∫ ∫ ∫
−
−
2
2
1 2 2
1 2
2
1 2 2
.arcsen 1
2 .( 1 ). .arcsen 2
.arcsen
.arcsen .( 1 ). 1
arcsen. .arcsen
EJERCICIOS PROPUESTOS.
- Calcula las integrales indefinidas de las siguientes funciones:
x .cos x. dx
2
n
.. - (^) ∫ e xdx x .cos.
arctg x. dx
− x e dx x
.. 2
2
xdx x 3 .cos.
- (^) ∫ x^ .cos^3 x. dx
- (^) ∫ ⋅
− x e dx
x .
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.
Una función racional es un cociente de dos polinomios, es decir, es de la forma:
Qx
P x f x = donde P ( x ) y Q ( x )son dos polinomios en x.
Las funciones racionales están definidas en todo el conjunto de números reales salvo en los que se anula el denominador.
Ante la integral de una función racional, lo primero que debemos comprobar es que no se puedan aplicar los tipos fundamentales que contengan funciones de este tipo, a saber:
K
n f
K
n
f dx f f dx f
f n
n n n + −
∫ ∫ −
−+ − 1
1
∫
⋅ dx = Lf + K f
f '
K
a
f
a
dx a f
f ⋅ = ⋅ + ∫ (^) +
arctg
2 2
Cuando no se puedan aplicar los tipos anteriores, las funciones racionales se integran por el método de transformación en fracciones simples que tendrán por denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles.
s
s
s
s r k
r
k k
r
r r
r
x z
D
x z
D
x z
D
x z
D
x x
C
x x
C
x x
C
x x
B
x x
B
x x
B
x x
A
x x
A
x x
A
Qx
P x
k
k
2
2
2 1
2 1
2
2
1
1 2
1 2
2
2 2
2
2
1
1
2 1
2
1
1
2
2 1
1
−
−
Sumando las fracciones en cuyos denominadores aparecen raíces complejas conjugadas, nos queda:
2 2 2 1
2 1
1 1 2
1 2
2
2 2
2
2
1
1
2 1
2
1
1
2
2 1
1
s s
s s r k
r
k k
r
r r
r
x a b
M x N
x a b
M x N
x x
C
x x
C
x x
C
x x
B
x x
B
x x
B
x x
A
x x
A
x x
A
Qx
P x
k
k − +
Podemos observar que por cada raíz aparecen tantas fracciones como indica su grado de multiplicidad (número de veces que se presenta una raíz): los numeradores de dichas fracciones son coeficientes indeterminados y los denominares son de la forma x − raíz elevando dicha diferencia desde uno hasta el grado de multiplicidad.
El procedimiento para calcular los coeficientes indeterminados lo veremos con algunos ejemplos.
La integración de nuestra función racional será la suma de las integrales de cada una de las fracciones simples:
c) La integración de las fracciones simples en que se ha descompuesto la función racional se
hace mediante los tipos antes vistos:
- Las que tienen exponente unidad en el denominador son logaritmos neperianos
∫ ∫
i i i
dx A Lx x x x
dx A x x
A
- Otras son de tipo potencial:
1
1
−
−+ − − ⋅ −
∫ (^) − ∫ n i
n n i n i i n x x
B
n
x x dx B x x dx B x x
B
- Y un tercer tipo correspondiente a las raíces complejas de la forma
dx x a b
Mx N ⋅ − +
∫ (^) ( )^22
en cuya resolución aparecerán, en general, un logaritmo y un arco tangente. Veamos como podemos resolver esta integral:
∫ ∫
∫ ∫ ∫
dx x a b
Ma N dx x a b
M x a
dx x a b
Ma N
x a b
M x a dx x a b
Mx Ma Ma N dx x a b
Mx N
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] b
x a
b
Ma N L x a b
M
dx
b
x a
b b
Ma N L x a b
M
dx
b
b x a
Ma N L x a b
M
dx
b
x a b
L x a b Ma N
M
dx x a b
dx Ma N x a b
M x a
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) arctg 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
EJEMPLOS:
= dx x
I
2
Resolución:
a) Calculamos las raíces del denominador, resolviendo la ecuación:
2
x
x x x
b) Descomponemos la función del integrando en fracciones simples, de la forma:
2 2 2 −
− x
Ax B x
x x
B
x
A
x
c) Puesto que los denominadores son iguales, para que las fracciones sean iguales tendrán que ser iguales los numeradores. Por tanto:
A ( x + 3 )+ B ( x − 3 )≡ 1
d) Para calcular los coeficientes A y B se podrán emplear distintos métodos:
1. IDENTIFICACIÓN DE COEFICIENTES
Para aplicar este método, ordenamos el polinomio que aparece con coeficientes indeterminados: ( A + B ) x +( 3 A − 3 B )≡ 1
e identificamos los coeficientes de igual potencia de x , resolviendo el sistema que nos resulta:
B
A
A A A
B A
A B
A B
K
x
x L x
x Lx K x
Lx
x
dx x
dx x
dx x
dx xdx x x x
x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 2
= dx x x
x x I 6 25
3 2
2
- Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, aplicamos directamente el
método de descomposición en fracciones simples. a) Calculamos las raíces del denominador:
x i
x i
x
x x x xx x 3 4
3 2 2
b) Hemos obtenido una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Por tanto, la descomposición en fracciones simples nos queda de la forma:
2
2
3 2 2 2
2
x x x
Ax x x Mx N
x
Mx N
x
A
x x x
x x
Al ser los denominadores iguales, tendrán que serlo también los numeradores:
( 6 25 ) ( ) 5 2 25
2 2 Ax − x + + xMx + N = x − x +
Dando valores a la indeterminada, obtenemos:
Para x = 0 ⇒ 25 A = 25 ⇒ A = 1
M N
Para x A M N M N
Para x A M N M N
c) Obtenido el valor de los parámetros, pasamos a calcular la integral:
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
dx x
Lx Lx x
dx x
dx x
x dx Lx x
dx x
x dx Lx x
x dx Lx x
x Lx
dx x
x dx x
dx x
x
x
dx x x
x x I
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2
2
K
x Lx Lx x
dx x
dx Lx Lx x x
Lx Lx x
∫ ∫
2 6 25 4 arctg
2
2
2 2
2
EJERCICIOS.
dx x 5 x
2
dx x x
x
5 6
2
dx x x
x x
2 7 3
2
2
dx x x x
x x x
2
3 2
4 2
dx x x x
x x
( 1 )( 2 )( 3 )
2
dx x
x
1
2
dx x x
x
( 1 ) ( 3 )
2
dx x x 2 ( 1 )( 3 )
dx x 1
3 •^ ∫ ⋅
dx x x
x x
( 1 )
2
3
INTEGRACIÓN POR REDUCCIÓN DEL INTEGRANDO.
La integración indefinida de algunas funciones puede resultar más fácil y cómoda si
mediante un adecuado cambio de variable podemos reducirlas a funciones cuya integración ya
conocemos. Veamos algunos casos interesantes:
- Integración de funciones de^.
x a
Para integrar este tipo de funciones se hace el cambio de variable que transforma el
integrando en una función de la variable t.
a t ,
x
Ejemplos:
dx e
e e x
x x
2
Hacemos el cambio e t ,con lo que
x
t
dt e dx dt tdx dt dx
x
. = ⇒. = ⇒ =
Sustituyendo en la integral, nos queda de la forma:
t L t K e L e K
dt t
dt dt t
dt t
t
t
dt
t
t t dx e
e e
x x
x
x x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3 4 1 3 4 ( 1 )
2 2
∫
e − e ⋅ dx
3 x 2 x
Hacemos el cambio e t ,con lo que x = t
dt e dx dt tdx dt dx x
. = ⇒. = ⇒ =
Sustituyendo en la integral, nos queda de la forma:
K
e e K
e K
e K
t
t dt t dt t
dt t t t
dt e e dx t t
x x x x
x x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(^32323)
2 3 2 3 2 1
