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Se trataran los tipos de integrales definidas e indefinidas
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, un integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños o sea una suma continua. La integral es la operación inversa a la diferencial de una función. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y solidos de revolución. En este trabajo se analizarán dos tipos de integrales: Integral Indefinida y definida y algunas formas de derivación. A
-Constante de integración: La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F '
Aquí están las principales funciones primitivas: Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto, 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F (2) = 3, entonces forzosamente k = 7.
¿Qué es la integral indefinida?: La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por. Se lee : integral de de diferencial de. es el signo de integración. es el integrando o función a integrar. es diferencial de , e indica cuál es la variable de la función que se integra. es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si es una primitiva de entonces: Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Propiedades de la integral indefinida: 1 La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. 2 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
Ejemplos: Ejemplo 1 Calcule la integral de , es decir, Debemos notar que esta función está definida como la suma de dos funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener Notemos que para cada una de las funciones, al calcular la integral se han generado dos familias diferentes de anti derivadas, es por esto que hemos usado
Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que 1.3) Integrales indefinidas, por cambio de variable, regla de la cadena: El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta. Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. ¿Cuándo se emplea la integración por cambio de variable? El método integración por sustitución o cambio de variable se utiliza para evaluar integrales. El método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena. El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. Pasos para integrar por cambio de variable: 1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Calculamos la diferencial 2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando
Regla de la cadena: La regla de la cadena es un teorema de gran importancia por su aplicación. Este resultado es el que nos permite calcular la derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena: Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en a y g es derivable en f(a)f(a), entonces: Suponemos que f no es constante y que f y g son derivables en a y en f(a)f(a), respectivamente. Aplicando la definición de límite a la composición de f y g:
Las derivadas son Por tanto, por la regla de la cadena, 1.4) Integrales para ecuaciones diferenciales: Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son
realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida, un ejemplo de tal tipo de ecuación es: Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. 1.5 Integral definida : La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como: La integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
2 Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero. 3 Si es un punto interior del intervalo , la i ntegral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos y. 4 La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales· 5 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
Regla de Barrow: La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva de , en los extremos de dicho intervalo. Teorema fundamental del cálculo El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original. CONCLUSION Las integrales son una de las ramas más importantes para poder comprender las matemáticas, fueron usadas por primera vez por científicos como Arquímedes, Rene Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Leibniz y Newton generaron el teorema fundamental
