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Integrales Iteradas - Áreas Junio de 2020, El Salvador Propiedades de la integral doble
* Si^ f^ (^ x^ )≥^0 en .
- Si^ f^ (^ x^ ,^ y^ )≥^ g^ (^ x^ ,^ y^ )en . Además hay una propiedad aditiva del dominio. , si R = R 1 R 2. Determinación de los límites de Integración. Problema 1
Calcular el área de la siguiente^ R^ =
{
y ≥ x
2
+ 2 x
y ≤ 3
y ≤ 3 x + 6
Solución D =(− 2 , 0 ); F =( 0 , 0 );
E : y = 3 , y = 3 x + 6 ⟹ 3 x + 6 = 3
3 x =− 3 ; x =− 1
⟹ y =− 1 (−^1 ,^3 ); A : y = 3 , y = x 2
+ 2 x ⟹ x
2
+ 2 x = 3 ⟹ x
2
+ 2 x − 3 = 0
⟹ ( x + 3 ) ( x − 1 )= 0 ; x =− 3 , x = 1 (− 3 , 3 ) ; ( 1 , 3 )
A ( R )=∫ − 2 − 1 ∫ x 2 + 2 x 3 x + 6 dydx +∫ − 1 1 ∫ x 2 + 2 x 3
dydx
Integrales Iteradas - Áreas Junio de 2020, El Salvador A ( R )=∫ − 2 − 1 ∫ x 2 + 2 x 3 x + 6 dydx +∫ − 1 1 ∫ x 2 + 2 x 3
dydx
A ( R )=∫ − 2 − 1 ( 3 x + 6 − x 2 − 2 x ) dx +∫ − 1 1 ( 3 − x 2 − 2 x ) dx A ( R )=∫ − 2 − 1 (− x 2
- x + 6 ) dx +∫ − 1 1 (− x 2 − 2 x + 3 ) dx
A ( R )=
− x
3 3
x
2 2
− x
3 3
− x
2
- 3 x (^) | − 1 1 A ( R )=(
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
2
3 3
2
A ( R )=
u
2 Problema 2
Calcular el área de la siguiente^ R^ =
{
y ≤ ln( x )
y ≥ 0
1 ≤ x ≤ 2
Solución A =(^1 , 0 ); B =(^2 , 0 );^ C^ =( 2 ,^ ln^ (^2 ))
Integrales Iteradas - Áreas Junio de 2020, El Salvador Dada la siguiente pileta, calcule los litros de pintura necesarios para pintar el área
sombreada, suponiendo que 1 litro de pintura rinde 0.5 m 2
Solución Para determinar la cantidad de pintura, es necesario determinar el área sombreada. Por mayor simpleza, se referirá la región a un par de ejes coordenados, como se ve en la siguiente Figura: La integral para calcular el área de la región es: A ( R )=∫ 0 10 ∫ 0 8 dydx ⟹ A ( R )=∫ 0 10 8 dx = 8 x | 0 10 = 80
Por lo tanto, el área sombreada tiene 80 m 2. Sabiendo que 1 litro de pintura rinde 0.
m
(^2) serán necesarios: 80 m 2 ¿= 40L
Integrales Iteradas - Áreas Junio de 2020, El Salvador Guía de problemas INTEGRALES DOBLES Evalúe las siguientes integrales parciales:
∫− 1 3 ( (^6) xy − 5 e y^ ) dx
∫ 1 2 Tan ( xy ) dy
∫ 0 2 x x 3 e xy dy
∫√ y y 3 ( 8 x 3 y − 4 xy 2 ) dx
∫ 0 2 x (^) x x 2
∫ x 3 x e 2 y / x dy Evalúe las siguientes integrales iteradas:
- Rpta: 13/
- Rpta: 1
- Rpta: 0
- ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x + 1 )( y + 1 ) dxdy
- ∫ 0 1 ∫ x 2 x dydx
- ∫ 0 π ∫ 0 Cosx ySenxdydx Calcular las siguientes integrales dobles en las regiones indicadas
Integrales Iteradas - Áreas Junio de 2020, El Salvador
- ;
Ω: ¿ { y = 0 ¿ { y = 1 ¿ { x =− 1 ¿ ¿ ¿
Ω: ¿ { y = x
¿ { y =− x
¿ { x =− 1 ¿ ¿ ¿
Ω: ¿ { y = x
2
Ω: ¿ { y = 0 ¿ { x = 0 ¿ ¿ ¿
Ω: ¿ { 1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 2 ¿^ ¿ ¿
Ω: ¿ { 0 ≤ y ≤ x + 2 ¿ ¿ ¿
R/ 25 ) 26) 27) 28) 29)
Dibuje la región de integración y calcule la integral doble
31. , donde es el triángulo de vértices (0 ; 0), (2 ; 0),
- , donde es el trapezoide de vértices (0,0), (1,0), (1,2), (0,1).
33. , donde la región limitada por el eje OX y la
gráfica de la función^ y^ =^ Senx^ en el intervalo [0 ,/4].
(^) ∬ R x y dxdy ; donde R es la región del primer cuadrante acotada por las rectas y = x , y = 2x , x = 1 , x = 2
Integrales Iteradas - Áreas Junio de 2020, El Salvador R/ 31 ) 13/6 33)
Evalúe la integral iterada que se indica invirtiendo el orden de integración
- R/ 1/
- R/
- R/
- R/
- ∫ 0 1 ∫ y 1 tg ( x 2 ) dxdy
- ∫ 0 a ∫ x a (^) x √^ x^ 2 + y 2 dydx Determinar la región plana cuya área está dada por la integral y calcular dicha área.
- ∫ 0 2 ∫ y 2 4 dxdy
- ∫ 0 3 ∫ y 2 9 dxdy
- ∫ 0 4 ∫ y 2 16 dxdy
- ∫ 0 5 ∫ y 2 25 dxdy
- ∫ 0 6 ∫ y 2 36 dxdy Emplee la integral doble para calcular el área de la región^ R^ limitada por las gráficas de las ecuaciones que se indican. 46.^ y^ =^ x^ ,^ y^ =^0 ,^ x^ =^1 47.^ y^ =^ x^ ,^ x^ +^ y^ =^4 ,^ x^ =^0 48.^ y^ =^ x^ 3 , y = 8 , x = 0
