integrales dobles y su, Diapositivas de Análisis Matemático

¡Descarga integrales dobles y su y más Diapositivas en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

• INTEGRALES DOBLES

• Masa de una placa: Imagina una placa de metal de 3 metros de base

y 2 metros de altura. Nuestro objetivo es encontrar su masa, pero

resulta que su densidad de esta placa, en 𝑘𝑔/𝑚

2

, está dada por la

función:

Problematización ¿Cuál de las siguientes integrales dobles representa la masa de la placa de metal, cuya base es 3 metros y altura es 2 metros? න 0 3 න 0 2 𝜎 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 න 0 2 න 0 3 𝜎 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

Recordar:

• Técnicas de integración
• Integral definida
• Grafica de funciones Integrales dobles

 A (^) i =  x (^) i  yi V i (^) = f ( xi , yi ) Ai INTEGRAL DOBLE

Si f está definida en una región R del plano xy, la integral doble de f sobre R se define como Supuesto que exista ese límite, en cuyo caso se dice que f es integrable sobre R 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i i R i f x y dA f x y x y  → = = (^)    

DEFINICIÓN

INTEGRAL DOBLE

NOTA: Si f es continua tal que f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) є R. Entonces la integral doble representa el volumen del sólido bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy. ( , ) R V = f x y dA  Región R z = f(x,y)

La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas. Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R. Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.

d b b d R c a a c f x y dA = f x y dxdy = f x y dydx      CALCULO DE INTEGRALES DOBLES

Secciones transversales verticales: La región R está limitada por las gráficas de g 1 y g 2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por R: a  x  b , g 1 (x)  y  g 2 (x) y = g 1 (x) y = g 2 (x) a (^) b

R

2 1 ( ) ( )

b^ g^ x R a g x f x y dA = f x y dydx    LIMITES DE INTEGRACION

Calcular (^) ඵ 𝑅

2 − 2 𝑦 2 )𝑑𝐴 (^) Siendo R la región dada por (^0) ≤ 𝑥 ≤ 1 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 EJERCICIOS: Solución:

Calcular (^) ඵ 𝑅 ( 5 − 4𝑥 − 2𝑦)𝑑𝐴 (^) Siendo R la región dada por (^1) ≤ 𝑥 ≤ 2 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 EJERCICIOS: Solución:

EJERCICIOS: Solución: 2 Calcule ׭ 𝑅 1 𝑥+2𝑦 𝑑𝐴, siendo 𝑅 la región acotada por 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 = 2 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 2𝑥

EJERCICIOS: Evalúe (^) ׭ 𝐷 𝑦𝑑𝐴, donde D es la región limitada por las parábolas 𝑦 = 𝑥 2 y 𝑦 = 1 − 𝑥 2

EJERCICIOS: Calcule: ׭ 𝑅 𝑥𝑦𝑑𝐴, donde 𝑅 es la región limitada por las curvas 𝑦 2 = 6 𝑥; 𝑥 = 3 ; 𝑦 ≥ 0

EJERCICIOS: Sea la integral doble: 𝐼 = (^) ׬ 0 2 ׬ 𝑦^2 4 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 a) Represente mediante un dibujo, la región de integración en el plano xy b) Invierte el orden de integración de la integral doble dada y calcular 𝐼