¡Descarga Cálculo I - Tercer Parcial (Gestión I/2019) - Univ. Jose Javier Alvarez Villca y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Página 1
1. a) El cambio de variable del método de integración de funciones
racionales trigonométricas es bajo este cambio deduzca las
expresiones para el.
Solución. –
1. b) Calcule la integral y explique el resultado.
Solución. –
2
2 2
2z 1 z sen x cos x 1 z 1 z
− = =
I = 0
( )
2 2
1
sgn 2x x 1
−
Resp
Resp
sen x( ) y cos x( )
z =tg x 2( )
x 2
z
2
z + 1
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x x z 1 2z sen x 2sen cos 2 (^2 2 1) z 1 z 1 z
x x 1 z 1 z cos x cos sen (^2 2 1) z 1 z 1 z
^ ^ ^ −
= − = ^ ^ − ^ =
z =tg x 2( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
1 1 ; x x 1 2 1 ; 2x x 1 0 1 sgn 2x x 1 0 ; 2x x 1 0 sgn 2x x 1 0 ; x x 1 2 1 ; 2x x 1 0 1 1 ; x 1 2
− − − (^) (^) − − = (^) − − = − − = (^) = − =
− − − (^)
−^ −^ ^
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2^1
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
I sgn 2x x 1 dx sgn 2x x 1 dx sgn 2x x 1 dx sgn 2x x 1 dx
I 1 dx 1 dx 1 dx dx dx dx x x x
I 1 1 2 1 1 0
−
− − −
− − −
− − − − − −
^
x
y
1 2
−
− 1 1 2
Página 2
1. c) Calcule el valor de la siguiente integral impropia:
Solución. –
1. d) Al rotar la recta , alrededor del eje Y se obtiene el volumen
de un cono, verifica empleando integración si esto es falso o verdad ( h,
r son constantes).
Solución. –
- El volumen formando por esta recta.
2. Calcular la integral.
Solución. –
- Utilizaremos un cambio de variable al exponente, por lo cual también
cambiara los limites superior e inferior.
C.V.
Resp
2
r h
V
2
1 dx 1 x
− (^) +
( )
( ( )^ (^ ))
( ) ( )
t^ t
(^2 2) t 2 t 0 0 0
t
t
I dx 2 dx 2 lim dx 2 lim arctg x
1 x 1 x 1 x
I 2 lim arctg t arctg 0
I 2 lim arctg t 2 arctg 2
→ → −
→
→
^
= = = = ^
+ + + ^
(^1) arcsen x( )
0
I = e dx
I = Resp
h y x r
x
y h y x r
=
h ( )
( )
(^2 ) h 2 2 h h 2
0 0 2 0
2 3 h 2 2 3 3 3 2 2 2 0
r r V x 0 dy y dy y dy h h
r y r r V h 0 h h 3 3h 3h
^ = − = (^) (^) =
= = − =
( )
( )
( )
si x 0 m arcsen 0 0
m arcsen x
si x 1 m arcsen 1
=^ =^ =
( ) ( )
( )
m arcsen x sen m x / / derivadar
cos m dm dx
Página 4
3. Calcular la integral.
Solución. –
* Para resolver tendremos que simplificar y utilizar sustitución
trigonométrica.
2 3
12dx
I
2x 1 4x 4x 8
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( (^ ) )
( )
( (^ ))
( )
3 3 2 2
3 3 (^2 )
3 3 2 2 2
3
12 dx 12 dx I
2x 1 4x 4x 8 2x 1 4x 4x 8 1 1
12 dx 12 dx I
2x 1 4x 4x (^1 9) 2x 1 2x 1 3
C.V.
3sec 2x 1 3sec tg d 2 dx
6 3sec tg d 6 tg d I
3sec 3sec 3 3 sec^1
6 tg d 6 tg I
3 tg
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 3 2 2
2
d (^) 2 d 2 ctg d 3 tg 3 tg 9
I csc 1 d ctg C 9 9
^
( )
2 2 2 4x^ 4x^8 2x 1 I ctg C I arcsec C 9 9 3 3
^
( )
( )
( )
(^2 )
2x 1 2x 1 sec arcsec 3 3
x 2 3 ctg 3
Resp
3
2x + 1
Página 5
4. Calcular la integral.
Solución. –
* Dividir el polinomio.
* Utilizar fracciones parciales
( )( )
( )( )
( ) (^ )(^ )
( )( )
( ) (^ )(^ )
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ( ) )
2 2
3 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
12 x 24x 12 x 24x A Bx C
x x (^2) x 1 x x 2 x 1 x x 2
12 x 24x A x^ x^2 Bx^ C^ x^1
x 1 x x 2 x 1 x x 2
12 x 24x A x x 2 Bx C x 1
*Si x 1
12 24 A 4 0 A 3
*Si x 0
0 0 3 0 0 2 0 C 0 1 C 6
*Si x 1
12 1 24 1 3 1 1 2 B 1 6 1
− +^ +^ +^ +^ −
− − − = − − − + + − − (^) ( − − (^1) ) B = 15
6 3
3
12 x 24x I dx x x 2
− =
6 3 2 3 3 3
12 x 24x 12 x 24x 12x 12x x x 2 x x 2
6 3 3 3 2
12 x 24x 3 15x 6 12x 12x x x 2 x 1 x x 2
− − = − − +
6 3 3 3 2
3 2
12 x 24x 3 15x 6 I dx 12x 12x dx x x 2 x 1 x x 2
3 15x 6 I 12x 12x dx x 1 x x 2
− ^ − = = (^) − − +
(^) − = (^) − − +
−^ +^ +
Página 7
* Área Total es:
6. (OPTATIVA) La ecuación paramétrica del astroide es
Calcule su longitud de arco.
Solución. –
- La longitud se divide en 4 partes iguales, así que
solo hallaremos una longitud y lo multiplicaremos
por 4.
- Derivar la función “x” e “y”.
T 1
3 A 4 A 4 3 4
= = =
3 3 3 2 2 2 2 2 1 0 0 0
3
2 2 1
0
A 9 x 9 x dx 9 x dx 3 x dx 3 3 3
1 1 x A x 9 x 3 arcsen 3 2 3
^
( )
( )
3
3
x a cos t
y a sen t
l (^) T = 4 l 1 .............. 1( )
Resp
2
AT = 3 u
l 1
( (^) ( )) ( (^) ( ))
1
2
t 2 2
1 t t t
= x ' + y ' dt
l
( )
( ) ( )
3
2
x a cos t / / derivar
dx 3a cos t sen t dt
=
= −
( )
( ) ( )
3
2
y a sen t / / derivar
dy 3a sen t cos t
dt
=
=
2 2 2 2 1
1 1
A 3 9 3 3 arcsen 0 9 0 3 arcsen 6 3 6 3
A 0 9 0 0 A
^ ^ ^
^ ^
Página 8
El área total será:
T 1
3a 4 4 6a
2
l = l = =
( ( )^ ( )) ( ( )^ ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 1 0
2 2 4 2 2 4 2 1 0
3a cos t sen t 3a sen t cos t dt
9a cos t sen t 9a sen t cos t dt
= − +
= +
l
l
( )
( ) ( )
1
1 1
cos 2
3a 2 3a cos 2 0
2 2 2 2
3a cos^ 3a cos 0 3a 3a 3a 3a
2 2 2 2 4 4 2 2
(^)
= − − (^) −
= − + = + = =
l
l l
( ) ( ) (^) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 1
0
2 2 2 2 2 1
0 0
2 2 2
1
(^0 0 )
9a cos t sen t cos t sen t dt
9a cos t sen t dt 3a cos t sen t dt
3a 3a 3a cos 2t 2 cos t sen t dt sen 2t dt 2 2 2 2
= +
= =
= = = −
l
l
l
Resp
l T = 6a (^) u
