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Asignatura: ampliació de matemàtiques, Profesor: , Carrera: Enginyeria de Sistemes Aeroespacials, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
1 / 10
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Lali Barri`ere
Departament de Matem`atiques - UPC
Enginyeria de Sistemes Aeroespacials
Enginyeria d’Aeroports
Enginyeria d’Aeronavegaci´o
Continguts
3.1 Superf´ıcies parametritzades
3.2 Integrals de superf´ıcie de camps escalars
3.3 Integrals de superf´ıcie de camps vectorials
3.1 Superf´ıcies parametritzades
Producte vectorial
~u 1
= (x 1
, y 1
, z 1
~u 2 = (x 2 , y 2 , z 2 )
=⇒ ~u 1
× ~u 2
= (y 1
z 2
− y 2
z 1
, z 1
x 2
− z 2
x 1
, x 1
y 2
− x 2
y 1
I (^) ||~u 1
× ~u 2
|| = ||~u 1
|| · ||~u 2
|| · sin α, on α ´es l’angle entre els dos vectors.
I La direcci´o de ~u 1 × ~u 2 ´es perpendicular als dos vectors ~u 1 i ~u 2 , i el
sentit ve donat per la regla de la m`a dreta.
Definici´o Si
φ : D ⊂ R
2 −→ R
3
(u, v) 7 −→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
´es una superf´ıcie parametritzada C
1 , els vectors
u
∂φ
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
i
v
∂φ
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
s´on els vectors tangents fonamentals de la superf´ıcie en el punt φ(u, v).
3.1 Superf´ıcies parametritzades
Definici´o Diem que φ ´es una parametritzaci´o regular en un punt (u 0
, v 0
si
u
(u 0
, v 0
v
(u 0
, v 0
Diem que φ : D → R
3 ´es regular si ´es regular en tots els punts de D.
Vector normal a la superf´ıcie
Tu ×
Tv defineix la direcci´o normal a la superf´ıcie en el punt φ(u, v).
I
Tu ×
Tv
u
v
´es un vector normal unitari.
I El sentit del vector normal ens indica l’orientaci´o de la
parametritzaci´o.
Pla tangent
El pla tangent a φ en el punt φ(u 0
, v 0
) = (x 0
, y 0
, z 0
) ´es el pla determinat
pel punt i els vectors tangents
Tu(u 0 , v 0 ) i
Tv(u 0 , v 0 ). La seva equaci´o es
pot escriure:
(x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) · (
Tu(u 0 , v 0 ) ×
Tv(u 0 , v 0 )) = 0
3.2 Integrals de superf´ıcie de camps escalars
Definici´o
Si φ : D ⊂ R
2 → R
3 ´es una superf´ıcie parametritzada C
1 , i f : R
3 → R ´es
un camp escalar continu, la integral de f sobre φ ´es:
φ
f dS =
D
f (φ(u, v))||
u
v
|| du dv
La integral de superf´ıcie d’un camp escalar NO dep`en de la
parametritzaci´o de la superf´ıcie.
Interpretaci´o f´ısica
I (^) Si f = 1, la integral de superf´ıcie ens d´ona l’`area de la superf´ıcie.
I Si f ´es una densitat superficial de massa, la integral ens d´ona la
massa total de la superf´ıcie.
3.3 Integrals de superf´ıcie de camps vectorials
Definici´o
Si φ : D ⊂ R
2 → R
3 ´es una superf´ıcie parametritzada C
1 , i
3 → R
3
´es un camp vectorial continu, la integral de f sobre φ ´es:
φ
F · d
D
F (φ(u, v)) · (
u
v
) du dv
La integral de superf´ıcie d’un camp vectorial canvia de signe segons
l’orientaci´o.
Interpretaci´o f´ısica
I Si
F ´es el camp de velocitats d’un fluid,
φ
F · d
S ens indica la
quantitat de fluid que passa a trav´es de la superf´ıcie, en la direcci´o
que indica el vector normal, per unitat de temps, o flux.
I (^) Si
F ´es el camp de electric o magnetic, la integral
φ
F · d
s’anomena el flux del camp
3.3 Integrals de superf´ıcie de camps vectorials
Relaci´o entre la integral de superf´ıcie de camps vectorials i camps escalars
3 → R
3 camp vectorial.
Definim f : R
3 → R sobre la superf´ıcie φ : D ⊂ R
2 → R
3 com:
f (φ(u, v)) =
F (φ(u, v)) ·
Tu ×
Tv
u
v
Aleshores: (^) ∫ ∫
φ
f dS =
φ
La integral de superf´ıcie d’un camp vectorial ´es la integral de superf´ıcie del
camp escalar obtingut en projectar el camp sobre el vector normal a la
superf´ıcie.
