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Una introducción a la fuerza gravitatoria, una de las cuatro interacciones fundamentales del universo. Se explica la ley de la gravitación universal de newton, que establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Se detallan conceptos como la intensidad del campo gravitatorio, la fuerza gravitatoria, el potencial gravitatorio y la energía potencial gravitatoria. También se analiza el movimiento de una partícula dentro de un campo gravitatorio y las particularidades del campo gravitacional producido por una masa puntual o una esfera. El documento aborda temas relevantes para la comprensión de la física clásica y la mecánica newtoniana, como la equivalencia entre masa gravitatoria e inercial, las leyes de kepler y la curvatura del espacio-tiempo según la teoría de la relatividad general. Es un material de estudio valioso para estudiantes de ingeniería, física y astronomía.
Tipo: Monografías, Ensayos
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Este presente trabajo está dedicado primeramente a
mis padres por estar ahí cuando los
necesitamos, por darnos los ánimos para superarnos día a día y
apoyarnos en todo lo que nos propongamos.
También este trabajo va dedicado al docente Dr. Lic. Jaime H. Bustamante Rodríguez, que, sin
sus enseñanzas, la tolerancia y la
comprensión que tiene, no hubiera sido posible este trabajo
de investigación el cual le hago presente.
La fuerza gravitatoria es una de las cuatro interacciones importantes en el universo por no decir
fundamentales, es la culpable de o salir disparados al espacio exterior o de que la luna este como
suspendida en el cielo, de que al tropezarnos nos caigamos al suelo.
En el siglo XVII la tendencia de que un cuerpo tienda a caer al suelo era algo inherente en su
naturaleza o eso nos lo hacían creer.
En esta monografía se explicará el porqué un cuerpo cae, como también se dará una explicación
sobre como lo planetas están suspendidas cuando en realidad están como siendo “tironeadas”
por los otros planetas, los temas tratados serán interacción gravitacional, una breve reseña
histórica a través del tiempo y grandes pensadores, el campo gravitacional entre otros.
partículas.
comprensión.
fuerzas centrales.
La interacción gravitatoria es una de los cuatros interacciones más importantes del universo que
son las únicas que tenemos conocimiento por ahora, es una de las más débiles a comparación de
las otras 3 que son:
La interacción gravitatoria es la única más antigua conocida por la sociedad, su definición en la
antigüedad no fue explicada ya que simplemente decían que los cuerpos caen porque es natural
además y que no se creía que se tuviera alguna relación con el movimiento de los cuerpos
celestes, ya su definición se fue explicando a finales del s. XVII.
de la 𝐴𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑜𝑚í𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑎 (Nueva astronomía), que contenía las dos primeras leyes del
movimiento planetario, relativas a la elipticidad de las ´orbitas y las áreas barridas por los radios
vectores de los planetas. Tardo otros diez años en publicar 𝐻𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑛𝑑𝑖 (Sobre la
armonía del mundo) en el cual enunciaba la tercera ley, respecto a los periodos. (1)
a) PRIMERA LEY:
Los planetas se mueven alrededor del sol siguiendo trayectoria elíptica donde el sol se encuentra
en uno de los focos de la elipse.
b) SEGUNDA LEY:
El radio vector de un planeta y el sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
c) TERCERA LEY:
Para cualquier planeta, el cuadrado del periodo orbital es directamente proporcional al cubo del
semieje mayor de su trayectoria elíptica.
Estas leyes son “correctas” en el modelo matemático newtoniano, considerando solo la
atracción del sol y sin tomar en consideración los demás aspectos como interacciones entre los
planetas o los otros objetos hallados en el sistema solar. (2)
La ley de la gravitación universal es una ley que describe la interacción gravitatoria entre dos
cuerpos que tienen masa. Dicha ley fue presentada por Issac Newton en su libro
philosophiae naturalis principia Mathematica ( 1687 ) Newton establece que la fuerza con
¿Cuál es el mecanismo de la ley?
La física clásica interpreta que dos partículas separadas por una distancia interactúan
mutuamente a través de la acción de las fuerzas sobre cada partícula, en la dirección de
la línea que une sus centros y en sentidos opuestos.
Cuando estas partículas poseen masa la fuerza que actúa en ella viene dada por la
ecuación (𝛼) y cuando esta vez son cargas eléctricas se llamara “fuerza eléctrica”, si
son cargas en movimiento serán llamadas “fuerza magnética”, cuando esta fuerza es
diferente de cero, la partícula esta acelerada de manera que hay variaciones en su
velocidad.
En la misma partícula pueden actuar simultáneamente las tres fuerzas antes
mencionada, siendo la suma vectorial de las mismas la fuerza resultante que actúa
sobre la partícula.
El principio de superposición indica que la fuerza que experimenta una partícula a
consecuencia de otro conjunto de partículas resulta se sumar vectorialmente las
fuerzas. Como, por ejemplo, cada planeta se viene “tironeando” no solo por la fuerza
gravitatoria que ejerce le sol sino los demás planetas del sistema
La interacción entre los humanos y la tierra, que esa fuerza no solo nos mantiene
“presas” en la superficie de la tierra sino también a movernos junto a ella, lo que
habitualmente se denomina fuerza de peso de una persona, no es otra cosa que la
reacción que ejerce la superficie de la tierra a consecuencia de la fuerza que
“comprime” a una persona sobre ella.
a) Características de la interacción gravitacional:
atracción gravitatoria.
sufrirán esta interacción.
La propiedad que permite a un cuerpo ejercer una fuerza gravitatoria sobre otro cuerpo
es la masa gravitatoria. la propiedad de un cuerpo que mide su resistencia frente a la
aceleración se denomina masa inercial.
𝐴𝐵
𝐵
𝐴
Como la fuerza que participa en el cálculo del trabajo es conservativa y central las trayectorias
en órbitas perpendiculares a la fuerza no contribuyen al trabajo ya que en estos casos el trabajo
resulta nulo. Luego, sólo va a interesar el trabajo realizado para alejar o acercar un cuerpo de
manera que la ecuación (𝛼) se puede reescribir de esta manera:
𝐴𝐵
𝐵
𝐴
Recordando la expresión de la fuerza de interacción gravitacional en forma escalar para un
cuerpo 𝑚 y para la tierra de masa 𝑀 𝑡
𝑡
2
Se tiene la siguiente expresión para el trabajo:
𝐴𝐵
𝐵
𝐴
𝑡
2
𝑡
𝐴
𝐵
𝐴𝐵
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
En donde el trabajo se ha expresado en términos de la energía potencial entre los puntos A y B,
resulta que:
𝑡
El resultado indica que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo sea cero este debe
encontrarse en el infinito. Como el alcance de la fuerza gravitatoria es infinito el hecho de que
un cuerpo deje de percibirla supone que dicho cuerpo esta infinitamente alejado. Ese es, en
principio el significado de la elección de la referencia cero para la energía potencial.
A que destacar por qué dicha energía es negativa. Para ello, piénsese en la posibilidad de contar
con un cuerpo con energía cero. Teóricamente este sería un cuerpo incapaz de producir trabajo
alguno, y lo podemos asociar a que se encuentra aislado y en reposo en el sistema de referencia.
Como no tiene velocidad ni hay perturbación alguna su energía debería ser cero.
Si ahora se piensa en dos cuerpos, uno situado en las cercanías de otro, para que el primero
llegue a tener energía cero se lo debería aislar del segundo cuerpo. Para esto, será necesario
aportarle energía hasta dejarlo aislado. Si se acepta que para que este cuerpo tenga energía nula,
antes se hace necesario entregarle energía, significa que, de alguna forma, este cuerpo “debe
energía” lo que representa como una energía potencial menor que cero.
La energía total del sistema de dos partículas sometidas a su interacción gravitacional es
entonces:
2
2
Para un sistema de más de dos partículas, sometidas a su interacción gravitacional, la energía
total es:
𝑖
𝑗
2
𝑖
𝑗
𝑖𝑗
𝑇𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
También podemos acotar que la energía potencial gravitacional tiene la misma magnitud para
puntos equidistantes de la masa. Estos puntos forman superficies equipotenciales. Son
superficies esféricas y concéntricas en cuyo centro se encuentra la masa. (5)
Supongamos que, en una cierta región del espacio, tenemos un cuerpo con una cierta masa 𝑀.
Debido a esa propiedad, dicho cuerpo interaccionará gravitatoriamente con cualquier otra masa
𝑚 que coloquemos en cualquier punto del espacio. Es decir, la masa 𝑀 modifica las
propiedades del espacio, crea una nueva propiedad en el espacio, a la que llamaremos
El campo gravitatorio que se establece en la región del espacio que rodea al cuerpo de masa 𝑀
se describe mediante cuatro magnitudes, dos vectoriales, y dos escalares, que están relacionadas
entre sí:
𝒈
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎, 𝑬𝒑
𝒈
1) Intensidad del campo gravitatorio:
Es la fuerza gravitatoria por unidad de masa que se ejerce en un punto afectado por el campo.
𝑔
𝑔
El campo gravitatorio es una propiedad del espacio (está relacionado con la curvatura del
espacio-tiempo que origina la masa 𝑀, según la Relatividad General). Existe la gravedad en un
punto, aunque no haya una masa 𝑚 sobre la que actuar. El valor de la gravedad es independiente
del cuerpo 𝑚 sobre el que actúa, sólo depende de quién la ha producido (𝑀).
Las líneas del campo gravitatorio indican, en cada punto, la dirección y sentido de la gravedad
(y de la fuerza gravitatoria).
2) Fuerza gravitatoria:
Cualquier masa 𝑚 (masa de prueba) colocada en cualquier punto del espacio se sentirá atraída
por 𝑀, sufrirá una fuerza gravitatoria 𝐹
𝑔
. Esta fuerza dependerá de las masas 𝑚 y 𝑀, y del punto
del espacio en el que coloquemos 𝑚. Si las masas son puntuales, o esféricas, podemos calcular
la fuerza usando la ley de Gravitación Universal de Newton.
𝑔
𝑀 1
𝑀 2
𝑟
2
𝑟
3) Potencial gravitatorio:
ES la energía que almacenaría cualquier cuerpo que colocamos en un punto del espacio.
𝑔
𝑔
Y en puntos en el interior de la capa esférica es:
El campo gravitacional en un punto exterior a una esfera solida es:
2
𝑟
“una esfera sólida homogénea produce, en puntos externos a ella, un campo gravitacional y un
potencial idénticos a aquellos de una partícula de la misma masa situada en el centro de la
esfera” (3)
El campo gravitacional para un punto dentro de una esfera solida es:
2
𝑟
… … …. (𝜃), 𝑚´: 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑎.
El volumen de la esfera es
4
3
3
y como la esfera es homogénea, la masa por unidad de
volumen es
𝑚
4
3
𝜋𝑎
3
. La masa 𝑚´ contenida en la esfera de radio 𝑟 es entonces:
3
3
2
3
Entonces sustituyendo en … … ….
3
𝑟
El principio de equivalencia débil dice que, todos los cuerpos sujetos a una fuerza gravitacional,
independientemente de sus masas, se mueven con la misma aceleración en un campo
gravitacional. En una versión fuerte, el principio estipula que las leyes de la física son
localmente las mismas en cualquier sistema de referencia en caída libre. Este principio fue
fundamental para elaborar la teoría de la relatividad general. (6)
“Todos los cuerpos situados en el mismo lugar en un campo gravitacional experimentan la
misma aceleración” (3)
Dicha proposición muestra una equivalencia n lo que se refiere a la descripción del movimiento,
entre un campo gravitacional y un sistema de referencia acelerado. La gravitación y la inercia
parecen no ser dos propiedades diferentes de la materia, sino solo dos aspectos diferentes de una
característica fundamental y universal de toda la materia.
