Intervalo de confianza, Apuntes de Probabilidad y Procesos Estocásticos

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Esperanza Matemática Si las probabilidades de obtener las cantidades ay, a,, ...,Ax 50N P1, Pa, ---¿Pk respectivamente, entonces la esperanza Es ajpi+a2p2 +... + arpr Ecuación 1. Las probabilidades son siempre p¡20 y Fp=1. Pero en el caso de los a; es importante tener presente que serán positivos cuando representen utilidades, triunfos o ganancias y serán son negativos cuando representen pérdidas, déficit o castigos. ACTIVIDAD PRÁCTICA Ejemplo 1: Un sindicato al negociar salarios intuye que las probabilidades están 0.40, 0,30, 0.20 y 0.10 que los trabajadores consigan un aumento de $1.50 por hora, $1 por hora, $0.50 por hora o ningún aumento, respectivamente. ¿Cuál es su aumento esperado? Aumento de 15 1 0.50 0 Probabilidad 0.40 030 020 0.10 Solución: aplicamos la ecuación 1. + E=1.5(0.4) + 1(0.3) + 0.5(0.2) + O(0.1)= 0.6 +0.3+0.10+0= 1 Ejemplo 2: Un contratista debe elegir entre dos obras. La primera promete una ganancia de $240,000, con una probabilidad de 0.75 o una pérdida de $60,000 (debido a huelgas y otras demoras), con una probabilidad de 0.25; la segunda obra promete una ganancia de $360,000 con una probabilidad de 0.5 o con una pérdida de $90,000 con una probabilidad de 0.5 a. ¿Cuál debería elegir el contratista, si quiere maximizar la ganancia esperada? b. ¿Cuál sería la obra que probablemente escogería si su negocio anduviera mal y quebrara a menos de que lograra una ganancia de $300,000 en su próxima obra? Solución: aplicamos la ecuación 1. Definimos E como la esperanza matemática de la primera obra. Es= 240,000x0.75 — 60,000x0.25= 180,000 — 15,000= $165,000 Definimos Ezcomo la esperanza matemática de la segunda obra. E,=360,000x0.5 — 90,000x0.5=180,000 — 45,000=$135,000 e Para responder la pregunta (a) basta con comparar los dos resultados y obviamente, resulta que la primera obra representa la mejor opción por tener una esperanza matemática más alta. * Para la pregunta (b) debemos de partir que “el contratista se encuentra en una situación inminente de quiebra, por lo que ninguna obra inferior a los $300,000 le resultaría satisfactoria; por lo su única salida es tomar la segunda obra que representa un mayor riesgo, ya que la posibilidad de que tenga éxito es solo del 50%, pero su ganancia sería de $360,000. Ejemplo 3: Se sabe por experiencia que la demanda diaria de un producto perecedero es como como se muestra en la tabla siguiente: Número de ordenes 3 4 5 6 7 8 9 Probal lad 0.05 0.12 0.20 0.24 0.17 0.14 0.08 Si cada artículo cuesta $35 (incluyendo el costo de transportación a la bodega), con un precio de venta en bodega de $50 y si permanece en la bodega al finalizar el día representa una pérdida total, ¿Cuántos artículos deberían ser almacenados en cada día a fin de maximizar la utilidad esperada?