¡Descarga Intervalos de Confianza: Estimación Estadística y Método de la Cantidad Pivotal - Prof. an y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!
INTERVALOS DE CONFIANZA
Juli´an de la Horra Departamento de Matem´aticas U.A.M.
1 Introducci´on
En este cap´ıtulo, vamos a abordar la estimaci´on mediante Intervalos de Con- fianza, que es otro de los tres grandes conjuntos de t´ecnicas que se utilizan en la Inferencia Estad´ıstica. La situaci´on general que vamos a considerar es la misma que en el cap´ıtulo anterior: Disponemos de una muestra aleatoria (X 1 , ..., Xn) de una caracter´ıstica X de una poblaci´on. Pensamos que esta caracter´ıstica puede ser adecuadamente modelizada mediante un modelo de probabilidad con funci´on de masa Pθ(x) (en el caso discreto) o con funci´on de densidad fθ(x) (en el caso continuo). En cualquiera de los casos, lo ´unico que nos falta por conocer es el valor del par´ametro θ ∈ Θ, que es desconocido. Lo que tratamos de hacer en este cap´ıtulo es encontrar intervalos que sirvan para estimar este par´ametro desconocido, fijando el nivel de confianza que queremos que tenga dicha estimaci´on. En primer lugar, se plantear´an dos ejemplos sencillos que servir´an como motivaci´on.
Ejemplo 1.- En los ejercicios de c´alculo de probabilidades, siempre se suele hablar de monedas equilibradas pero, naturalmente, no todas lo son. Nos gustar´ıa conocer aproximadamente (estimar) la probabilidad de cara de una determinada moneda, y llamamos p = P (Cara). Necesitamos datos, para lo cual lanzamos la moneda, por ejemplo, 100 veces, y anotamos los resultados. Supongamos que obtenemos 55 caras y 45 cruces. Desde un punto de vista formal, las caras y las cruces pueden ser codi- ficadas mediante unos y ceros, de modo que tenemos una muestra aleatoria (X 1 , ..., X 100 ) de
X =
{ 1 (si sale cara) con probabilidad p 0 (si sale cruz) con probabilidad 1 − p
y, por tanto, X puede ser modelizada mediante un modelo de Bernoulli con par´ametro p desoconocido. Podemos estimar la probabilidad de cara, p, mediante el estimador de m´axima verosimilitud, que en este caso es:
pˆ = ¯x =
N´umero de caras obtenidas N´umero de lanzamientos
Ahora bien, cuando decimos que estimamos que p es 0,55, no estamos afirmando que p valga exactamente 0,55; lo que realmente queremos decir es que p valdr´a, aproximadamente, 0,55. Esto de aproximadamente lo podemos concretar en diferentes intervalos: (0,54 ; 0,56), (0,50 ; 0,60), ... Para decidir con qu´e intervalo nos quedamos, necesitamos una metodolog´ıa general que nos permita resolver este tipo de problemas de un modo sis- tem´atico y lo m´as objetivo posible.
Ejemplo 2.- En una f´abrica, se est´a ensayando una nueva fibra sint´etica, y se quiere conocer aproximadamente (estimar) cu´al es la resistencia media a la rotura de las cuerdas fabricadas con esta nueva fibra. Llamaremos μ al valor de esta resistencia media que se quiere estimar. Necesitamos datos, para lo cual medimos la resistencia de, por ejemplo, 100 cuerdas, y anotamos los resultados. Supongamos que obtenemos una resistencia media muestral de 31 unidades. Desde un punto de vista formal, lo que tenemos es una muestra aleatoria (X 1 , ..., X 100 ) de la caracter´ıstica X = “Resistencia a la rotura”, que puede ser modelizada mediante una distribuci´on N (μ; σ), con par´ametros μ y σ desconocidos. Podemos estimar la resistencia media de las cuerdas, μ, mediante el esti- mador de m´axima verosimilitud, que en este caso es:
μˆ = ¯x = 31
Ahora bien, cuando decimos que estimamos que μ es 31, no estamos afirmando que μ valga exactamente 31; lo que realmente queremos decir es que μ valdr´a, aproximadamente, 31. Esto de aproximadamente lo podemos concretar en diferentes intervalos: (30 ; 32), (28 ; 34), ... Para decidir con qu´e intervalo nos quedamos, necesitamos una metodolog´ıa general que nos permita resolver este tipo de problemas de un modo sis- tem´atico y lo m´as objetivo posible.
2 Intervalos de confianza
En primer lugar, vamos a definir lo que entenderemos por un intervalo de confianza para estimar un par´ametro:
Definici´on.- Sea (X 1 ,... , Xn) una muestra aleatoria de una caracter´ıstica X de una poblaci´on con funci´on de masa Pθ(x) (caso discreto), o con funci´on de densidad fθ(x) (caso continuo), donde θ = (θ 1 , ..., θk) es desconocido.
La distribuci´on χ^2 n s´olo toma valores positivos.
Definici´on.- Sean Y, X 1 ,... , Xn variables aleatorias independientes con distribuci´on N (0; 1). La distribuci´on t de Student con n grados de libertad (abreviadamente tn) es la distribuci´on de la variable aleatoria:
Y √ 1 n
∑n i=1 X 2 i
esquem´aticamente: N √^ (0; 1) 1 n χ
2 n
La distribuci´on tn es sim´etrica con respecto al cero.
Definici´on.- Sean X 1 ,... , Xm, Y 1 ,... , Yn variables aleatorias independi- entes con distribuci´on N (0; 1). La distribuci´on F de Fisher-Snedecor con m y n grados de libertad (abreviadamente Fm;n) es la distribuci´on de la variable aleatoria: (^1) m
∑m i=1 X 2 i 1 n
∑n i=1 Y^ 2 i
( esquem´aticamente:
1 m χ
2 m 1 n χ
2 n
)
La distribuci´on Fm;n s´olo toma valores positivos.
4 M´etodo de la cantidad pivotal
En esta secci´on, abordamos la cuesti´on de c´omo construir intervalos de con- fianza de un modo sistem´atico y lo m´as objetivo posible. El m´etodo ha- bitualmente utilizado es el m´etodo de la cantidad pivotal. En primer lugar, definimos lo que se entiende por una cantidad pivotal:
Definici´on.- Sea (X 1 ,... , Xn) una muestra aleatoria de una caracter´ıstica X de una poblaci´on con funci´on de masa Pθ(x) (caso discreto), o con funci´on de densidad fθ(x) (caso continuo), donde θ = (θ 1 , ..., θk) es desconocido. Una cantidad pivotal para estimar el par´ametro θi es una funci´on
C(X 1 ,... , Xn; θi)
tal que su distribuci´on es fija (no depende de ning´un par´ametro desconocido).
De manera esquem´atica, los pasos que hay que dar para obtener un inter- valo de confianza mediante el m´etodo de la cantidad pivotal son los siguientes:
- Fijamos un nivel de confianza 1 − α (pr´oximo a 1).
- Construimos una cantidad pivotal C(X 1 ,... , Xn; θi) para estimar θi.
- A partir de la distribuci´on de la cantidad pivotal, obtenemos un inter- valo, cuyo contenido de probabilidad sea 1 − α, y que deje a ambos lados la misma cantidad de probabilidad α/2. Esta construcci´on es posible gracias a que la distribuci´on de la cantidad pivotal es fija.
- Despejamos θi del intervalo anterior, obteniendo as´ı el intervalo de con- fianza buscado. El intervalo de confianza obtenido tiene sentido como estimador porque s´olo depende de los valores muestrales (no depende de ning´un par´ametro desconocido). Su nivel de confianza es 1 − α gra- cias a que el contenido de probabilidad del intervalo del paso anterior era 1 − α.
Obviamente, la descripci´on que se acaba de dar del m´etodo es muy ab- stracta. Por este motivo, es muy conveniente aplicar el m´etodo a alg´un caso concreto que ayude a entender lo que hacemos en general.
Caso 1.- Consideramos una muestra aleatoria (X 1 , ..., Xn) de una carac- ter´ıstica X ∼ N (μ; σ), donde la media μ es desconocida, pero supondremos (por sencillez) que σ es conocida. Queremos un intervalo de confianza para estimar μ. Aplicamos el m´etodo de la cantidad pivotal:
- Fijamos un nivel de confianza 1 − α (pr´oximo a 1).
- Dado que queremos estimar μ, empezamos considerando su estimador de m´axima verosimilitud que, en este caso, sabemos que es ˆμ = X¯:
X¯ ∼ N (μ; σ/√n) ⇒
X¯ − μ σ/
n
∼ N (0; 1)
Por tanto: C(X 1 , ..., Xn; μ) =
X¯ − μ σ/
n
∼ N (0; 1)
es una cantidad pivotal para estimar μ.
- A partir de la distribuci´on de la cantidad pivotal, obtenemos un inter- valo, cuyo contenido de probabilidad sea 1 − α, y que deje a ambos lados la misma cantidad de probabilidad α/2:
P
{ −zα/ 2 <
X¯ − μ σ/
n
< zα/ 2
} = 1 − α
Pero, en este caso, nos encontramos con el problema de que
X¯ − μ σ/
n
no puede ser una cantidad pivotal para estimar μ, ya que depende de σ que ahora es desconocida. Este problema se resuelve sustituyendo σ por una estimaci´on: la cuasi-desviaci´on t´ıpica muestral, S. De este modo, tenemos que:
C(X 1 , ..., Xn; μ) =
X¯ − μ S/
n
∼ tn− 1
es una cantidad pivotal para estimar μ. Obs´ervese que la nueva cantidad pivotal sigue una distribuci´on tn− 1 en vez de seguir una distribuci´on N (0; 1).
- A partir de la distribuci´on de la cantidad pivotal, obtenemos un inter- valo, cuyo contenido de probabilidad sea 1 − α, y que deje a ambos lados la misma cantidad de probabilidad α/2:
P
{ −tn−1;α/ 2 <
X¯ − μ S/
n
< tn−1;α/ 2
} = 1 − α
- Finalmente, despejamos μ del intervalo anterior:
μ < X¯ + tn−1;α/ 2
S
n
μ > X¯ − tn−1;α/ 2
S
n
El intervalo de confianza que hemos obtenido es:
IC 1 −α(μ) =
( X^ ¯ − tn−1;α/ 2 √^ S n
; X¯ + tn−1;α/ 2
S
n
)
( X^ ¯ ± tn−1;α/ 2 √^ S n
)
Observemos que, nuevamente, el intervalo de confianza est´a centrado en X¯, lo cual sigue siendo muy natural. La cantidad que sumamos y restamos a la media muestral para obtener el intervalo de confianza sigue recibiendo el nombre de error en la estimaci´on, y ahora es de la forma:
Error en la estimaci´on = tn−1;α/ 2
S
n
Este intervalo sigue teniendo el mismo tipo de propiedades que ten´ıa el obtenido en el Caso 1.
Aplicando de manera sistem´atica este m´etodo de la cantidad pivotal, ir´ıamos obteniendo los intervalos de confianza que se utilizan en las situa- ciones m´as habituales:
Una muestra aleatoria de una caracter´ıstica con distribuci´on Normal, Bernoulli, Poisson,... Dos muestras aleatorias independientes de caracter´ısticas con distribuci´on Normal, Bernoulli,...
La mayor´ıa de los libros dedicados a la Estad´ıstica Aplicada incluyen un listado de los intervalos de confianza m´as frecuentemente utilizados.
5 M´ınimo tama˜no muestral
En esta ´ultima secci´on, abordamos una cuesti´on pr´actica muy interesante: ¿Cu´antos datos ser´an necesarios para estimar un par´ametro (con un nivel de confianza 1 − α), de modo que el error en la estimaci´on quede por debajo de una cierta cantidad, E, previamente fijada? Vamos a ver la respuesta a esta pregunta en los casos analizados en la secci´on anterior:
Caso 1.- Consideramos una muestra aleatoria (X 1 , ..., Xn) de una carac- ter´ıstica X ∼ N (μ; σ), donde σ es conocida. Queremos obtener un intervalo de confianza para estimar μ, con un nivel de confianza 1 − α, y queremos saber cu´antos datos ser´ıan necesarios para estimar μ, de modo que el error en la estimaci´on quede por debajo de una cierta cantidad, E, previamente fijada. El procedimiento es sencillo:
Error en la estimaci´on = zα/ 2
σ √ n
< E ⇒
Despejamos n y obtenemos: n >
(zα/ 2 σ)^2 E^2
Caso 2.- Consideramos una muestra aleatoria (X 1 , ..., Xn) de una carac- ter´ıstica X ∼ N (μ; σ), donde tanto μ como σ son desconocidos. Queremos obtener un intervalo de confianza para estimar μ, con un nivel de confianza 1 − α, y queremos saber cu´antos datos ser´ıan necesarios para estimar μ, de
