¡Descarga Estimación por Intervalos de Confianza: Estadística II y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Estadística solo en Docsity!
Materia: Estadística II Profesora: Betzabeth Mata Sección: 03S-0944-D ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA “Lo que hay que averiguar no son las respuestas correctas sino las preguntas correctas” Peter Drucker CONTENIDO INTERVALOS DE CONFIANZA ESTIMACIÓN DE INTERVALOS Definición: Una estimación de intervalos describe un intervalo de valores dentro del cual es posible que éste un parámetro de población. Veamos: supongamos que el propietario de una empresa de producción baterías automotrices esta interesado en saber, acerca de la vida promedio de sus baterías que su empresa produce, para esto a decidido tomar una muestra de 200 baterías, registrando el nombre de los dueños de los vehículos y su dirección, tal cual están en los listado de ventas, y se entrevistaron a estas personas con respecto a la duración de las baterías. La muestra de 200 dueños de automóviles tiene una duración de 24 meses. Ahora si utilizamos la estimación puntual de la media x , como el mejor estimador de la población, entonces informaríamos que la vida promedio de las baterías de la empresa es de 24 meses.
Pero además de esto, el propietario de la empresa esta interesado, en saber acerca de la incertidumbre que acompaña a esta estimación, es decir, una afirmación acerca del intervalo dentro del cual es probable que esté la media de la población desconocida. Para poder proporcionar esta información es necesario encontrar el error estándar de la media. Podemos utilizar la siguiente formula n x (^) x = error estándar de la media para una población infinita n = desviación estándar de la población Ahora vamos a suponer que la desviación estándar de la población es de 10 meses, entonces utilizando esta desviación estándar y la ecuación entonces tenemos:
- 707
- 14 10 200 10 n x (^) Meses= error estándar de la media Ahora sabemos que el error estándar que acompaña esta estimación es de
En estadística, la probabilidad que asociamos con una estimación de intervalo se conoce como el nivel de confianza Nivel de confianza: indica la probabilidad de que tanta confianza se tiene que el parámetro de la población este dentro del intervalo de confianza. Una probabilidad alta significa más confianza. Ahora en estimación, los niveles de confianza que más se utilizan con frecuencia es; 90, 95 y 99%, pero es importante que usted sepa que en investigaciones son libres de aplicar cualquier nivel de confianza.
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES
DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES
MUESTRALES
En este capitulo resolveremos casos de la vida real, en donde aplicaremos cada uno de los estadísticos que se han visto y resuelto, así con el conocimiento previo que han adquirido a lo largo del curso ustedes estarán en la capacidad de poder seleccionar para cada caso la formula correspondiente. CASO 1 Una muestra de 50 observaciones tiene una media de 65 y una desviación estándar de 4.2. Se piden límites de confianza del 95% SOLUCIÓN Para fijar los límites de confianza para el estimador 65, debemos seleccionar la variante estadística, para la cual se debe considerar primero la muestra y segundo la desviación estándar. En este caso el nivel de confianza lo hemos fijado en 95% Condición Para n> 30 y desviación estándar conocida σ n x z i s Para calcular un intervalo de confianza para nuestro estimador debemos encontrar el error estándar de la media n = 0 ,^5940 50 4 , 2 En seguida consideraremos el nivel de confianza al 95%,(0,9500/2=0,4750) el cual incluirá 47.5% del área que se encuentra a ambos lados de la media de la distribución de muestreo. Si observamos la tabla y buscamos el valor correspondiente a 0,475 encontramos que aproximadamente 0,475 del área bajo la curva normal esta localizada entre la media y un punto situado a 1. errores estándar hacia la derecha de la media. Por consiguiente que (2) (0.475)=0.95. Del área esta localizada entre más menos 1,96 errores estándar de la media.
CASO 2
Un servicio social de una dependencia gubernamental local esta interesado en estimar el ingreso medio anual de 700 familias que viven en ciertas comunidades para este estado se encontró n=50 x^ =11.800 s= Calcule una estimación de intervalo del ingreso anual medio con un nivel de confianza del 90 % SOLUCIÓN Para fijar los límites de confianza para el estimador 11.800, debemos seleccionar la variante estadística, para la cual se debe considerar primero la muestra y segundo la desviación estándar. En este caso el nivel de confianza lo hemos fijado en 90% Si tenemos n> 30 y desviación típica “s” n s x z i s Para calcular un intervalo de confianza para nuestro estimador debemos encontrar el error estándar de la media, en el cual como se conoce la población N=700, aplicamos el factor de corrección 1 N N n 1
N N n n s = * 0 , 9643 129 , 57 7 , 07 950 700 1 700 50
50 950 En seguida consideraremos el nivel de confianza al 90%,(0,90/2=0,45) el cual incluirá 45% del área que se encuentra a ambos lados de la media de la distribución de muestreo. Si observamos la tabla y buscamos el valor correspondiente a 0,45 encontramos que aproximadamente 0,45 del área bajo la curva normal esta localizada entre la media y un punto alejado de ésta 1. errores estándar. En consecuencia, 90% del área esta localizada entre más menos 1.64 errores estándar de la media
Nuestros límites de confianza son: Con un nivel de confianza del 90% el ingreso anual promedio de las 700 familias se encuentran entre 11587,50 y 12012, Antes de tratar el siguiente caso, debemos conocer cuando el problema nos da la desviación típica muestral y el tamaño de la muestra es menor o igual a 30 LS= 11800+212,49=12012,49 Li= 11800-212,49=11587,
- 800 1 , 64 ( 129 , 57 ) 11. 800 212 , 49 1
- N N n n s x z i s
Tabla t de student a dos colas (contiene los valores t que mas se utilizan) La tabla t de student, trabaja con los porcentajes (10%,5%,2%,1%) ella no se enfoca en la probabilidad de que el parámetro de la población estimado este dentro de nuestro intervalo de confianza, sino que mide la probabilidad de que el parámetro que estamos estimando este afuera de nuestro intervalo. Ejemplo: si estamos haciendo una estimación a un nivel de confianza de 90 %, buscaríamos en la tabla t en la columna encabezada con el valor 0.10 (100%- 90%=10%). Esta probabilidad es de 0.10 de tener error se representa con el símbolo α (se lee alfa). Así que entonces en base a lo anterior los valores apropiados para intervalos de confianza de 95%,98% y 99% en las columnas encabezadas por los valores de α encabezadas por los valores 0,05 0,02 y 0,01 respectivamente.
Caso 4 Una organización desea estimar de qué porción de sus empleados prefieren planificar sus propios beneficios de retiro, en lugar de seguir un plan patrocinado por la compañía. Para esto se tomo una muestra aleatoria de 75 empleados y se encontró que 0.4 de ellos están interesados en seguir sus propios planes de retiro. Encuentre un intervalo del 99% de que contenga la verdadera porción de la población. Solución n=75 p^ = 0.4 q^ = 0. Si tenemos n> 30 n pq p p z Evaluando el intervalo de confianza nos queda 0 , 4 2. 58 0 , 0032 0 , 4 2 , 58 ( 0 , 0567 ) 75 ( 0. 4 )( 0. 6 ) p 0 , 4 2 , 58 p 0 , 4 2 , 58 ( 0 , 0567 ) 0 , 4 0 , 15 Ls= 0,4+ 0,15= 0, Li= 0,4 – 0,15= 0, A partir de una muestra de 75 empleados que 99% de confianza, creemos que la porción de la población total de empleados que desea establecer sus propios planes de retiro está entre 0,25 y 0,55. Para un nivel de confianza de 99% tenemos entonces 99/2=49.5=0.495 este valor lo buscamos en la tabla de la normal estándar, por lo tanto mas o menos 2,58 errores estándar incluye aproximadamente 99% del área o 49,51% a cada lado de la media. Caso 5 En un experimento llevado a cabo para medir la efectividad de dos abonos en dos parcelas, de 10 hectáreas cada una cultivado con maíz, se obtuvieron las
x y 6 , 6 2 , 101 0 , 565 0 , 2 x y 6 , 6 0 , 70625 Ls= -6,6+ 0,71= -5, Li= -6,6-0,71= -7, Se tiene un 95% de confianza de que la efectividad de los dos abonos se encuentra entre -5,89 y -7, Caso 6 En una muestra al azar de 200 adultos y 300 adolescentes que veían cierto programa de televisión, 50 adultos y 150 adolescentes dijeron que le gustaba. Hallar los límites de confianza del 95%, `para la diferencia de proporción de adultos y adolescentes que ven televisión. Solución N 1 =200 n 2 = 300 p 1^ = 50/200=0, p 1 (^) = 0.25 p 2 (^) = 0.50 p (^) 2 =150/300=0, q 1 (^) = 1-0,25=0,75 q (^) 2 =1-0,50=0, Tenemos dos proporciones con tamaño de muestras mayores a 30, para este caso bajo el teorema central del límite, que nos permite usar la distribución normal como nuestra distribución de muestreo para calcular el error estándar la distribución de diferencias de medias muéstrales,.aplicamos la siguiente formula Entonces el error estándar para diferencia entre proporciones 2 1 2 1 1 2 1 2 n p q n p q s (^) p p Cuando n 1 y n 2 > El intervalo de confianza lo expresamos de la siguiente manera 2 2 2 1 1 1 1 2 (^12 ) n p q n p q p p p p Evaluando el intervalo de confianza 300 0 , 5 ( 0 , 5 ) 200 0 , 25 ( 0 , 75 ) p 1 p 2 ( 0 , 25 0 , 50 ) 1 , 96
p 1 p 2 ( 0 , 5 ) 1 , 96 0 , 0009375 0 , 0008333 p 1 p 2 ( 0 , 5 ) 1 , 96 ( 0 , 0421 ) p 1 p 2 ( 0 , 5 ) 0 , 08 Ls= -0,5+ 0,08= -0. Li= -0,5 – 0,08= -0, A partir de una muestra de 200 adultos y 300 adolescentes con 95% de confianza, creemos que la porción de la población se encuentre entre -0,42 y -0.58.
