intervalos y tipos de uniones, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

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Matemática para los

Negocios I

Intervalos, Inecuaciones Lineales y Cuadráticas

https://www.youtube.com/watch?v=bbzAbnMPzwU

Logro de la sesión

Al finalizar la sesión, el

estudiante resuelve ejercicios de

inecuaciones lineales y

cuadráticas sobre gestión

empresarial utilizando el método

analítico-algebraico.

Intervalos

𝑎; 𝑏 a < 𝑥 < 𝑏

𝑎; 𝑏 a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

𝑎; 𝑏 a < 𝑥 ≤ 𝑏

𝑎; +∞ a ≤ 𝑥 < +∞

Inecuación Lineal

𝒙 < − 𝒃

𝒙 ≤ −

𝒙 ≥ −

𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎 ,

𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎 ,

𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝟎 ,

𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎 ,

si 𝒂 > 𝟎

si 𝒂 > 𝟎

si 𝒂 > 𝟎

si 𝒂 > 𝟎 𝒙 > −

Ejemplos explicativos

Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝟐 (𝟑𝒙 − 𝟓)− 𝟒 (𝟏 − 𝒙)< 𝟕 Resolución Efectuando 𝟔𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝟒 + 𝟒𝒙 < 𝟕 Reduciendo 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟒 < 𝟕 de donde 𝟏𝟎𝒙 < 𝟐𝟏 Luego 𝒙 < 𝟐𝟏/𝟏𝟎

Aplicaciones a la Economía

Costo total

El costo total hace referencia a todos los tipos de gastos que

tiene una empresa, diferenciando entre los costos fijos (costos

independientes del nivel de producción) y costos variables

(costos que sí dependen del nivel de producción)

Ingreso (I)

El ingreso es la cantidad de dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción

𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 = 𝐩𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐯𝐞𝐧𝐭𝐚 ∙ 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝

Utilidad (U)

La utilidad es la diferencia entre el ingreso y costo luego de producir y vender

𝐔𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 = 𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 − 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨

Inecuación Cuadrática

𝐚𝒙𝟐^ + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎

donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes numéricas reales y 𝑎 ≠ 0

Resolución de una inecuación cuadrática

Dada la inecuación

𝒂𝒙 𝟐^ + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 , 𝒂𝒙 𝟐^ + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎

𝒂𝒙 𝟐^ + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 , 𝒂𝒙 𝟐^ + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎

La resolución se realiza considerando lo siguiente:

• Se ordena de forma que el coeficiente del término cuadrático sea positiva
• La expresión ordenada debe quedar como los casos que se presentan
• Se resuelve en forma práctica por el método de puntos críticos

Ejemplos explicativos

Ejercicio

Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝒙 − 𝟑 𝟐^ − 𝟏 ≥ 𝟒 𝒙 − 𝟒 Resolución Efectuando 𝒙𝟐^ − 𝟔𝒙 + 𝟗 − 𝟏 ≥ 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔

Ordenando (^) 𝒙𝟐^ − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 ≥ 𝟎 , 𝒙 − 𝟔

𝒙 − 𝟒 ≥ 𝟎 , 𝒙 = 𝟔 𝒙 = 𝟒

El coeficiente del término cuadrático es positivo y además la expresión es mayor o igual a cero (se toman los extremos del gráfico)

𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐂. 𝐒. = −∞; 𝟒 𝖴 𝟔; +∞

Ejemplos explicativos

Ejercicio Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐^ − 𝟑 𝒙 + 𝟐 < 𝟎 Resolución Efectuando 𝟒𝒙𝟐^ − 𝟐 𝟐𝒙

𝟏 + 𝟏𝟐^ − 𝟑𝒙 − 𝟔 < 𝟎

Luego, 𝟒𝒙𝟐^ − 𝟒𝒙 + 𝟏 − 𝟑𝒙 − 𝟔 < 𝟎 de donde 𝟒𝒙𝟐^ − 𝟕𝒙 − 𝟓 < 𝟎

𝒙 = − −𝟕 ±^

−𝟕 𝟐−𝟒 𝟒 −𝟓 𝟐 𝟒 ,donde^ de donde de 𝒙 𝟏,𝟐^ =^ 𝟕± 𝟏𝟐𝟗 𝟖

𝑹𝒑𝒕𝒂: 𝑪. 𝑺.

𝟕− 𝟏𝟐𝟗 (^) ; 𝟕+ 𝟏𝟐𝟗 𝟖 𝟖

Aplicaciones a la economía

Condición: 𝑈 = −𝑞^2 + 600𝑞 − 50000 ≥ 30 000

𝟎 ≥ 𝒒𝟐^ − 𝟔𝟎𝟎𝒒 + 𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎 (coeficiente del término cuadrático positivo)

0 ≥ 𝑞 − 200 𝑞 − 400 𝑞 = 200 ó 𝑞 = 400

Rpta: La empresa debe producir y vender entre 200 y 400 toneladas de alimento inclusive

Espacio de

Preguntas

¿Cómo es la expresión algebraica de una inecuación de primer grado? ¿Y de segundo grado?

¡Comparte tus dudas de la sesión o de los ejercicios y problemas que acaban de trabajar!