¡Descarga Apuntes de Matemáticas: Cursos 2008-2009 - Números y Operaciones - Prof. Martínez Barchino y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matem`atiques
Geologia
Curs 2008–
1 Nombres
Res´um te`oric
1.1 Nombres racionals i reals. Aproximaci´o. Notaci´o exponencial. Valor absolut. Desigual- tats.
i. Introducci´o: Magnituds f´ısiques i la seva mesura. Exemples (longitud, pes, volum, temps, concentraci´o, temperatura, pressi´o,...)
ii. Els nombres racionals: Nombres naturals i enters. Els nombres racionals com fraccions pq (no es pot dividir per 0!). Suma i producte de fraccions.
iii. Els nombres reals: Representaci´o decimal dels nombres (analogia amb l’augment de pre- cisi´o en les mesures f´ısiques). Als nombres decimals corresponen representacions decimals peri`odiques i rec´ıprocament. Exemples: 89 ↔ 0. 88888888 ...
6 7
Els nombres irracionals. Exemples:
2 , π = 3. 1415926 , e = 2.718281828459. Operacions algebraiques amb nombres reals: suma i producte. Propietats commutativa, associativa i distributiva. Us dels par`entesis. Ordre de les operacions.
iv. Aproximaci´o: Representaci´o aproximada de nombres reals (resultats de mesures, calcu- ladores...). Nombre de xifres o d´ıgits significatius (140.7 m t´e les mateixes xifres sig- nificatives que 0.1407 km per`o menys que 140.70 m). Notaci´o exponencial (0.005 m = 5 × 10 −^3 ). Truncat i arrodoniment.
v. La recta real: La recta real com representaci´o geom`etrica dels nombres reals. L’ordre dels nombres reals. Propietats.
a < b i b < c ⇒ a < c a < b ⇒ a + c < b + c a < b ⇒ ac < bc (si c > 0) i ac > bc (si c < 0).
Intervals. Desigualtats. Exemples 12 (1 + x) ≤ 6, 15 (x^2 − 4 x + 3) < 0, x 1 −+2x < 1.
vi. Valor absolut: Definici´o. Propietats:
|a| =
a^2 = max{a, −a} |x| < δ ⇔ δ < x < δ |x − a| < δ ⇔ a − δ < x < a + δ |x| > δ ⇔ x > δ obe x < −δ |a + b| ≤ |a| + |b|.
Exemples: |x + 2| < 3, | 3 x − 4 | < 2, | 2 x + 3| > 5.
vii. Sumatoris: La notaci´o Σ. La mitjana aritm`etica ¯x = (^) n^1
xi. Exemples:
∑n i=1 k^ = n(n+1) 2 ,^ a^ +^ ar^ +^ ar
(^2) + · · · + ark (^) + · · · + an− (^1) = ∑n−^1 k=0 ar k (^) = a(rn−1) r− 1 ,
viii. Percentatges: Magnituds per a les que el cos dels reals no ´es un bon model. “Suma”de percentatges. Exemples.
1.2 Potencies. Logaritmes.
i. Potencies enteres: Definici´o de am^ quan m ´es un enter positiu. Propietats:
aman^ = a(m+n) am/an^ = a(m−n) (am)n^ = amn (a · b)m^ = ambm.
Definici´o: a^0 = 1 a−m^ = 1/am.
ii. Potencies fraccionaries: Definici´o: si a > 0, b = a^1 /m^ := m
a, ´es a dir bm^ = a. Aix`o d´ona sentit a ax^ sempre que a > 0 i x ´es racional, de manera que es compleixen les propietats anteriors. Exemple: 3 −^2.^1 =
iii. Logaritmes: Logaritme d’un nombre y en base a > 0
loga y = x ⇔ ax^ = y.
Propietats loga(xy) = loga x + loga y loga(x/y) = loga x − loga y loga(xn) = n loga x loga 1 = 0 loga x = log logbb^ xa Exemples: loga a, log 10 10000, log 2 7.
1.3 Combinat`oria. Binomi de Newton.
i. Permutacions: Factorial d’un enter positiu n!. Definici´o 0! = 1. Permutacions d’un conjunt de n elements. Exemples.
(c) 12 ≥ 5 x − 3 > − 7 (d) 2x^2 − 2 x > 4 (e) x^3 − 2 x^2 + x ≥ 0 (f) (^7) −^52 x > 0 (g) 32 xx+2− 7 ≤ 10 (h) (^) x^3 − 9 > (^) x+2^2 (i) | 2 x 5 +3 | < 2 (j) | x^2 − 4 | < 5 (k) | 3 − 11 x | ≥ 41
- Expresseu les seg¨uents pot`encies en forma de radicals:
4 −^2 ,^3 , 6
7 (^3) , 122 ,^5.
- Escriviu en forma de pot`encia de a els nombres seg¨uents :
a
a−^1
a−^1 , 4
a 3
a
a
- Calculeu els seg¨uents logaritmes:
log 3 (27) , log 2 (0, 125) , log 10 (100000).
- Calculeu a2 loga^3 , loga 3
a
- Quina relaci´o hi ha entre log 3 x i log 9 x?
- Passeu a radiants els seg¨uents angles : 35o, 45o, 70o, 150o, 110o, 320o
- Passeu a graus els seg¨uents radiants : 8π, 67 π , 35 π
- Trobeu el valor de les raons trigonom`etriques seg¨uents, sense fer servir la calculadora:
(a) sin(210o) (b) tan(315o) (c) cos( 23 π )
- Resoleu els triangles seg¨uents:
(a) a = 8 cm, b = 6 cm, Cˆ = 90o (b) a = 34 cm, Bˆ = 52o, Cˆ = 47o (c) a = 10 cm, b = 6 cm, Cˆ = 72o
- Resoleu les seg¨uents equacions trigonom`etriques:
(a) cos(x) = (^12) (b) sin(6x) = −
√ 2 2 (c) cos^2 (x) = cos(x)
(d) cos(x) = sin(x)
- El punt m´es alt d’una torre el
ectrica que esta al cim d’una muntanya es veu desde la posici´o d’un home al terra formant un angle de 30o^ amb l’horitzontal. Si l’home s’apropa 40 metres cap al peu de la muntanya, l’angle ´es ara de 60o. Calcular l’al¸cada de la torre i de la muntanya. - Escriviu en forma factorial els nombres seg¨uents :
9 · 8 · 7 ,
, r(r + 1)(r + 2)(r + 3)
- 15 cotxes participen en una cursa.
(a) De quantes maneres es poden classificar els cotxes? (b) De quantes maneres es poden entregar els premis al 1er, 2 on^ i 3er^ classificat?
- Si en el joc del d`omino el total de punts en la meitat de cada fitxa fos un element del conjunt { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }, quantes fitxes hi hauria?
- Si un seleccionador de futbol convoca 20 jugadors, quantes alineacions diferents podr`a formar?
(a) Tenint en compte la posici´o de cada jugador en el camp (b) Sense tenir-la en compte.
- Desenvolupeu les seg¨uents expressions utilitzant el binomi de Newton:
(x + 2)^4 , (x − 1)^3 + (x + 2)^2 + (x + 3) , (x − 1)^6.
- Calculeu el coeficient de x^6 en el desenvolupament de (x + 2y)^10
