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Introduccion probabilidad, Apuntes de Estadística

Universidad Autónoma de Madrid (UAM)Estadística
Prof. Rafael Balaguer

Asignatura: estadistica, Profesor: Rafael Balaguer, Carrera: Economía, Universidad: UAM

Tipo: Apuntes

2013/2014

Subido el 07/07/2014

ignacioigle
ignacioigle 🇪🇸

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Contenidos del programa
Pag 1
Programa detallado
Introducción a la probabilidad
Introducción: Fenómenos aleatorios
Probabilidad: concepto y desarrollo axiomático
Probabilidad condicionada e independencia de sucesos
Teorema de Bayes
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HORRA NAVARRO, Julián, capítulo 3
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Contenidos del programa

Pag  1

Programa detallado

Introducción a la probabilidad

Introducción: Fenómenos aleatorios

Probabilidad: concepto y desarrollo axiomático

Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

Teorema de Bayes

HORRA NAVARRO, Julián, capítulo 3

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Índice

1.- INTRODUCCIÓN

2.- CONCEPTOS PREVIOS

3.- OPERACIONES CON SUCESOS

4.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD

5.- TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

6.- OTRAS DEFINICIONES Y CONCEPTOS

7.- INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Conceptos previos

Definimos a continuación una serie de conceptos previos.

  • ESPACIO MUESTRAL : Conjunto de resultados posibles o sucesos elementales de un experimento aleatorio. Se designa con la letra E. Por ejemplo, para el experimento “posibles resultados del lanzamiento de un dado”, el espacio muestral recogería todos sus posibles resultados: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • SUCESOS ALEATORIOS : Todo subconjunto de E , esto es, todos los posibles resultados o categorías potenciales de un experimento o fenómeno aleatorio, aunque a priori no sepamos cuál se ellos se presentará. Por ejemplo, antes de lanzar una moneda al aire y estudiar qué resultado se obtendrá, sabemos de antemano que puede salir cara o cruz, pero no sabemos cuál es el resultado que finalmente saldrá. Cada uno de los posibles resultados constituye un SUCESO ALEATORIO o ELEMENTAL. Una vez que se realiza el fenómeno , el suceso se transforma en una OBSERVACIÓN O RESULTADO (se obtiene cara o cruz, en el ejemplo anterior), el cual ya no es aleatorio.
  • SUCESO COMPUESTO : Conjunto de sucesos elementales. Siguiendo con el ejemplo anterior, “suceso compuesto por números pares” {2, 4, 6}
  • SUCESO CIERTO o SEGURO : Es el espacio muestral. En este caso el fenómeno o experimento se convierte en determinista. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, sé que saldrá cara o cruz.
  • SUCESO IMPOSIBLE : Es aquél para el que esperamos obtener un suceso no contenido en el espacio muestral. Se designa como Ø. Por ejemplo, obtener el valor cero al lanzar un dado.

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Operaciones con sucesos

Una vez definido el concepto de suceso, veamos algunas operaciones con sucesos. Los diagramas de Venn permiten visualizar con claridad estas operaciones.

  • UNIÓN DE SUCESOS : La unión de dos sucesos S 1 y S 2 es el suceso compuesto por los sucesos elementales de S 1 y S 2 , esto es, es un suceso construido por los elementos comunes y no comunes de S 1 y S 2. Se denota como S 1 U S 2
  • INTERSECCIÓN DE SUCESOS : La intersección de los sucesos S 1 y S 2 es el suceso formado por los sucesos elementales comunes a ambos. Se denota como S 1 ∩ S 2. - Cuando dos sucesos no tienen ningún elemento en común , su intersección es igual al conjunto vacío (o suceso imposible), y diremos que son DISJUNTOS o INCOMPATIBLES. - Un SUCESO COMPLEMENTARIO de un suceso dado, S 1 se denota por y es el suceso formado por todos los sucesos elementales del espacio muestral que no pertenezcan a S 1.

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Teoremas de probabilidad

En el apartado anterior hemos visto la axiomática de Kolmogorov, esto es, el conjunto de axiomas que deben cumplir las probabilidades para que sean consideradas como tales. A partir de esos axiomas deduciremos a continuación una serie de teoremas que explican la estructura de cálculo de las probabilidades y que nos permitirán trabajar con ellas.

  • Teorema 1: la probabilidad del suceso imposible es cero.
  • Teorema 2: la probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera es:

P(S 1 U S 2 ) = P(S 1 ) + P(S 2 ) - P(S 1 ∩ S 2 )

  • Teorema 3: Si un suceso S 1 está contenido en otro S, se verifica que: P(S 1 ) ≤ P(S)
  • Teorema 4: La probabilidad no puede ser negativa ni superior a la unidad: 0 ≤ P(S) ≤ 1.
  • Teorema 5: la probabilidad del suceso complementario es P( ) = 1 - P(S 1 )

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Otras definiciones y conceptos

  • PROBABILIDAD CONDICIONADA : Dados dos sucesos S 1 y S 2 , se define la probabilidad condicionada de S 1 habiendo ocurrido S 2 como:

siempre que P(S 2 ) > 0

Esto es, en este caso se dispone de información adicional (S 2 ) que disminuye la incertidumbre sobre el suceso S 1. Esta probabilidad cumple también la axiomática de Kolmogorov.

  • PROBABILIDAD COMPUESTA o REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN : Dados n sucesos cualesquiera S 1 , …, Sn, se verifica que:
  • TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL : Sea A un suceso general que se puede presentar bajo n alternativas disjuntas dos a dos, S 1 , …, Sn, tales que , y se verifica que:

1 2 2

1 P S

PS S
S
P S  

1 2 1 2 1

3 1

nn n

S S S

P S

S S

P S

S

P S S S P S P S

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Independencia de sucesos

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de que ocurra uno de ellos no depende de que haya ocurrido el otro. Esto es, el suceso S 1 no está condicionado por el suceso S 2 , y por tanto, se cumple que:

P( S 1 / S 2 )=P( S 1 )

Teniendo en cuenta la definición de probabilidad condicionada se obtendría que:

Luego si son independientes:

Es decir, dos sucesos son independientes si:

  • La probabilidad condicionada es igual a la probabilidad simple.
  • La probabilidad de su intersección es igual al producto de las probabilidades simples.

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Independencia de sucesos

RECORDAR QUE:
  • SUCESOS DISJUNTOS : No tienen intersección es decir, no tienen elementos comunes. Añaden información, si ha ocurrido uno el otro no puede ocurrir.
  • SUCESOS INDEPENDIENTES : Conocer uno no cambia el conocimiento del otro.

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Ejercicios propuestos

a) Probabilidad de que al menos una sala se llene.

b) Probabilidad de que la sala A se llene y la B no se llene

c) Probabilidad de que una sala se llene y la otra no

d) Probabilidad de que ninguna de las dos se llene

e) Probabilidad de que al menos una de las dos no se llene

f) Probabilidad de que se llene B, supuesto que ya se ha llenado A

g) ¿Son incompatibles SA y SB? Razona la respuesta No, porque su intersección no tiene probabilidad cero, puede suceder que se llene A y también se llene B h) ¿Son independientes SA y SB? Razone su respuesta No son independientes, pues

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Ejercicios propuestos

2.- Una empresa que se dedica a organizar conciertos representa a tres grupos musicales (A, B, C) que tienen la misma probabilidad de actuar. Los conciertos pueden celebrarse en tres áreas geográficas: zona norte, zona centro y zona sur, también equiprobables. Suponiendo que los grupos musicales y la zona de actuación son independientes. ¿Qué probabilidad existe de poder ver actuar al grupo A en la zona centro?

P A Centro P A P Centro

P Centro

P A

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Ejercicios propuestos

a) Si se escoge un invitado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido carne y que sea familia de la novia?

b) Una vez acabada la cena, se le pregunta a un invitado qué cenó. Éste responde que pescado, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un amigo?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un familiar haya comido carne?. Una vez respondido esto, ¿qué es más probable: que los familiares hayan elegido carne o que hayan elegido pescado?

P ( CNa ) P ( Na )· P ( C | Na ) 0 , 28 · 0 , 40  0 , 112

0 , 4295 , 583

0 , 39 · 0 , 643

( )

( )· ( | ) ( | )  

  P P

P Am P P Am P Amm P

0 , 4545 50 60

20 30 osegúnlosdatos,directamente:

0 , 45409 0 , 61

0 , 277 0 , 28 0 , 33

0 , 165 0 , 112 ( ) ( )

( )· ( | ) ( )· ( | )

( )

[( ) ( )] ( )

[ ( )] ( | )

 

  

  

 

 

   

  

P No P Na

P No P C No P Na P C Na

P No Na

P C No C Na P F

PC No Na P C F

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Ejercicios propuestos

4 .- Suponga que existen sólo tres compañías que ofrecen motores de búsqueda en Internet: Yasta, Altapista, y Guge, que se presentan cuotas de mercado del 60%, 30% y 10 % respectivamente. Por la experiencia pasada se conoce que de las personas que buscaron en Yasta, un 25% no encontraron lo que buscaban, de las que buscaron en Altapista un 10% y de los que buscaron en Guge un 17%. Sabiendo que se ha encontrado la información que se buscaba, ¿cuál es la probabilidad de haber usado cada uno de los tres buscadores?

( 0 , 17 )

( 0 , 83 ) ( 0 , 1 )

( 0 , 10 )

( 0 , 90 ) ( 0 , 3 )

( 0 , 25 )

( 0 , 75 ) ( 0 , 6 )

NE

E Guge

NE

E Altapista

NE

E Yasta

0 , 1033 0 , 803

0 , 083 ( )

( )· ( | ) ( | )

0 , 3362 0 , 803

0 , 27 ( )

( )· ( | ) ( | )

0 , 5604 0 , 6 · 0 , 75 0 , 3 · 0 , 9 0 , 1 · 0 , 83

0 , 60 · 0 , 75 ( )

( )· ( | ) ( | )

  

  

  

 

P E

P Guge P E Guge PGuge E

P E

P Altapista P E Altapista P Altapista E

P E

PYasta P E Yasta PYasta E

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Ejercicios

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador elegido realice su labor simultáneamente en las áreas de gestión y publicidad?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador elegido realice su labor en el área de gestión o en el área de publicidad?

d) Calcular la probabilidad de que el trabajador elegido no pertenezca al departamento de gestión ni al de publicidad.

0 , 23 44

6 4 ( ) 

P GP

0 , 50 0 , 45 0 , 23 0 , 72

( ) ( ) ( ) ( )

   

P GPP GP PP GP

1 0 , 72 0 , 28

( ) ( ) 1 ( )

  

P GPP GP   P GP

Introducción Conceptos Sucesos Probabilidad Teoremas Definiciones Independencia

Ejercicios

e) ¿Cuál sería la probabilidad de que no pertenezca al departamento comercial?

f) Finalmente, obtener la probabilidad de que el trabajador pertenezca sólo al departamento comercial o sólo al de publicidad.

P ( C ) 1  P ( C ) 1  0 , 45  0 , 55

0 , 45 44

8 12 ( )

P sóloPsóloC