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Criterios clásicos para el análisis y valoración de inversiones en
condiciones de riesgo
Leonardo Cazorla Papis. Departamento Economía y Empresa. Universidad de Almería
1. Tipos de variables y ambientes decisionales
En el contexto del análisis y valoración de inversiones el riesgo hace referencia, fundamentalmente,
a la incertidumbre que analistas e inversores tienen a priori sobre el posible resultado de su
decisión, es decir, a la incertidumbre que en 𝑡 "
tienen sobre: la rentabilidad que puede generar
dicha inversión, la facilidad de recuperar el capital invertido (liquidez), o el posible valor de su
inversión.
En cualquier caso, dicho riesgo depende en realidad del grado de información que a priori analistas
e inversores tienen sobre todas aquellas variables claves que caracterizan o afectan a la misma
(horizonte temporal o vencimiento, flujos de caja esperados, cuantía del capital invertido,
comportamiento de los tipos de interés, etc…). Resulta evidente que cuanto mayor sea el
desconocimiento y la volatilidad de las variables mayor será el riesgo e incertidumbre que deben
soportar analistas e inversores. Así, si tomamos en consideración el grado de información que a
priori podemos tener sobre una variable, en general, es posible distinguir entre: variables ciertas ,
inciertas y variables aleatorias.
- Variable cierta. En estos casos, analistas e inversores no tienen dudas sobre el posible
comportamiento de esa variable en el futuro. Por ejemplo, en el contexto de una nueva
inversión productiva, si la tasa legal que grava el impuesto de sociedades se sitúa en el 25%,
el analista tendrá la certeza de que de los beneficios generados por su inversión serán
gravados a dicha tasa.
- Variable aleatoria. En estos casos, analistas e inversores conocen o son capaces de asignar
probabilidades de ocurrencia a una determinada variable. Dichas probabilidades pueden ser
conocidas; bien de manera objetiva a partir de una muestra de datos, o bien de manera
subjetiva a partir del conocimiento profundo que analistas e inversores tienen sobre el
comportamiento de la economía en general, y en particular, sobre el comportamiento de
dicha variable. Las variables aleatorias son conocidas en función de dos estadísticos: de un
lado, los denominados estadísticos de “posición central”; y de otro lado los denominados
“estadísticos de dispersión”.
o Como estadísticos de posición central, la media o esperanza matemática es el más
utilizado por los analistas.
§ Suponiendo que es posible estimar el valor que una variable puede tomar en
𝑚 posibles escenarios, pero no la probabilidad de ocurrencia de cada uno de
ellos, el valor de la media se estimaría de acuerdo a la ecuación 1
'
'+
,
+-.
ecuación 1
donde 𝑅
'+
es el valor que toma una variable 𝑖 en el escenario𝑗, y 𝑚 representa
el número de escenarios considerados.
§ En el caso de conocer la probabilidad de ocurrencia el valor de la media se
estimaría de acuerdo a ecuación 2.
'
'+
,
+-.
ecuación 2
donde 𝑅
'+
es el valor que toma una variable 𝑖 en el escenario𝑗, y 𝑃
es la
probabilidad de que se dé el escenario 𝑗.
o Por su parte la varianza es un estadístico que mide la dispersión de los datos de una
variable en relación a su media. En la varianza dicha diferencia se computa al
cuadrado para evitar los signos negativos.
§ Suponiendo que es posible estimar el valor que una variable puede tomar en
𝑚 posibles escenarios, pero no la probabilidad de ocurrencia de cada uno de
ellos, el valor de la varianza se estimaría de acuerdo a la ecuación 3.
'
5
'+
'
5
,
+-.
ecuación 3
§ En el caso de conocer la probabilidad de ocurrencia el valor de la varianza se
estimaría de acuerdo a ecuación 4.
'
5
'+
'
5
9
+-.
ecuación 4
Al elevar al cuadrado las diferencias entre el valor de la variable en cada escenario y
su media, la varianza presenta el inconveniente de estar expresada en una unidad de
medida diferente a la media, lo que dificulta su interpretación. Para solucionar este
problema, se utiliza la desviación típica o desviación estándar, que es la raíz cuadrada
de la varianza (ecuación 5 )
'
'
5
ecuación 5
- Variable incierta. En este caso, en 𝑡
"
del tiempo, analistas y directivos son capaces de hacer
una estimación del posible valor que puede tomar una variable, si bien desconocen las
probabilidades de ocurrencia. En la mayoría de los casos las variables que definen la mayoría
de inversiones son conocidas en estos términos.
- En este ejemplo invertir en acciones cotizadas es claramente más arriesgado (incierto) que colocar el
dinero en una IPF. Sin embargo, cuando se trata de analizar dos inversiones arriesgadas intentar medir
o cuantificar el riesgo resulta útil. En ese caso calcularemos la varianza y la desviación típica de invertir
en renta variable cotizada de acuerdo a las siguientes expresiones.
𝜎
'
5
= [(0% − 15%)
5
] ∗ 0 , 10 + [(5% − 15%)
5
] ∗ 0 , 20 + [(15% − 15%)
5
] ∗ 0 , 40 + [(25% − 15%)
5
] ∗ 0 , 30
[( 30% − 15%
)
5
] ∗ 0 , 10 = 0 ,85%
𝜎 '
= :𝜎
'
5
= G 0 ,85% = 9 ,22%
Suponiendo que la rentabilidad de la inversión en renta variable cotizada siguiese una función de
distribución normal, la desviación típica nos indica que dos de cada tres veces una variable caerá dentro
de la desviación típica del valor esperado. En el caso de esta inversión en renta variable cotizada, dada
una rentabilidad esperada del 15% y una desviación típica del 9,22%, podremos considerar que, para
esta inversión, las rentabilidades caerán con cierta seguridad (2 de cada 3 veces) entre un mínimo de un
5,78%
( 5 ,78% = 15% − 9 ,22%
) y un máximo del 24,22%
( 24 ,22% = 15% + 9 ,22%
)
2. Actitud del inversor frente al riesgo
Cuando nos movemos en un ambiente decisional de certeza es evidente que el único parámetro a
tener en cuenta por analistas e inversores es la rentabilidad esperada, siendo el objetivo maximizar
su valor. Así, a la hora de comparar y seleccionar entre dos o más alternativas se elegirán aquellas
que ofrezcan mayor rentabilidad.
Es evidente que en un contexto de riesgo e incertidumbre la rentabilidad esperada no es único
parámetro a considerar. En estos casos debemos tener en cuenta el riesgo implícito en la operación.
Lo atractivo de una inversión con respecto a su rentabilidad esperada y riesgo no puede ser
analizado de manera aislada. Únicamente estudiando y comparando con otras alternativas de
inversión disponibles, podemos llegar a una conclusión sobre el riesgo de una inversión en
particular.
Cuando nos movemos en ambientes decisionales de riesgo e incertidumbre resulta necesario tomar
en consideración la actitud del inversor frente al riesgo. En este sentido es posible diferenciar una
actitud de aversión , propensión e indiferencia al riesgo. Un inversor indiferente al riesgo sería aquel
que ante un incremento en el nivel de riesgo se conformaría con un incremento de la tasa de
rentabilidad exigida en la misma proporción o cuantía. Por su parte, un inversor propenso al riesgo ,
sería aquel que ante un incremento en el nivel de riesgo se conformaría con un incremento de la
tasa de rentabilidad exigida en una cuantía o proporción menor. Aunque en la práctica los inversores
pueden tener distintas preferencias respecto del riesgo, un inversor racional es aquel que muestra
una aversión natural al mismo, esto es, ante un determinado incremento en el nivel de riesgo exige
un incremento de la tasa de rentabilidad exigida en una cuantía o proporción mayor (figura 1 ).
Figura 1. Actitud del inversor frente al riesgo
Fuente: elaboración propia
Así, el inversor racional sería aquel que, ante antes dos inversiones con iguales niveles de riesgo,
siempre mostrará su preferencia por aquella inversión que proporcione mayor rentabilidad
esperada. Como podemos apreciar en la figura 2 , las inversiones “A” y “C” presentan un mimo nivel
de riesgo. En este caso un inversor racional preferirá la inversión “A” sobre la inversión “C”. También
un inversor racional será aquel que, entre dos inversiones que ofrezcan la misma rentabilidad
esperada elija siempre la que suponga un menor riesgo. En la figura 2 observamos que las
inversiones “B” y “C” ofrecen una misma tasa de rentabilidad esperada. En este caso, el inversor
racional mostrará su preferencia por la inversión “B” que supone un menor nivel de riesgo.
Figura 2. Comparación de inversiones con distintos perfiles de riesgo
Fuente: elaboración propia
¿Qué ocurre cuando el inversor se enfrenta a inversiones con distintos perfiles de riesgo y
rentabilidad?, ¿cuál es su decisión ahora?. Volviendo a la figura 2 , si comparamos ahora la inversión
“A” con la inversión “B” la decisión no está tan clara. Sin duda la inversión “A” ofrece una mayor
rentabilidad esperada pero a su vez implica un mayor riesgo. La elección final estará condiciona por
cual sea la actitud del inversor frente al riesgo, y no existe una respuesta sencilla que sea correcta.
Un inversor podría preferir la inversión “A”, mientras otro podría preferir la inversión “B”, y ninguno
se estaría equivocando, tan sólo estarían aplicando sus propias preferencias en relación al riesgo y
la rentabilidad.
3. Principales criterios y herramientas para el tratamiento del riesgo
La literatura financiera ha desarrollado una amplia variedad de herramientas y métodos que ayudan
a analistas e inversores a examinar y cuantificar el riesgo de una determinada inversión. Como
tendremos oportunidad de estudiar en capítulos posteriores, muchas de dichas técnicas se han
Propensión
Aversión
Indiferencia
Riesgo
Rentabilidad
Exigida
Riesgo
Rentabilidad
Esperada
Inversión “C”
Inversión “A”
Inversión “B”
𝑉𝐴𝑁 = − 1. 000 +
350
( 1 + 0 , 12 + 0 , 04 )
450
( 1 + 0 , 12 + 0 , 04 )
5
500
( 1 + 0 , 12 + 0 , 04 )
U
700
( 1 + 0 , 12 + 0 , 04 )
V
= 343 , 08 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
- Calcule ahora el VAN suponiendo que la prima de riesgo para el año 1 es del 4%, incrementándose ésta
en un 1% cada año de proyección.
𝑉𝐴𝑁 = − 1. 000 +
350
( 1 , 16 )
450
( 1 , 16 ) ∗ ( 1 , 17 )
500
( 1 , 16 ) ∗ ( 1 , 17 ) ∗ ( 1 , 18 )
700
( 1 , 16 ) ∗ ( 1 , 17 ) ∗ ( 1 , 18 ) ∗ ( 1 , 19 )
= 312 , 80 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
Ejercicio 3. Un fabricante de ropa de niño pequeño (0 a 8 años) considera la introducción de una nueva línea de
productos (juguetes de niños de 0 a 5 años) con una expectativa de general rentabilidad en 5 años. En el pasado
la empresa se ha mostrado muy reacia en cuanto a la inversión en nuevas productos, ciñéndose en su
experiencia en el sector textil. En este contexto, la introducción en el sector del juguete se considera un proyecto
arriesgado. La dirección piensa que la tasa de rendimiento requerido normal para la empresa del 10% no es
suficiente. En su lugar, estima que la prima de riesgo del nuevo proyecto debería de ser de un 5% adicional. Si
la inversión inicial se estima en 110 millones de euros, y se espera que la ésta genere anualmente un flujo de
caja libre total neto de impuestos de 35 millones de euros/año durante los próximos 5 años; valore la idoneidad
de la inversión.
𝑉𝐴𝑁 = − 110 + 1
35
( 1 + 0 , 10 )
]
+-.
= 22 , 68 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
𝑉𝐴𝑁 = − 110 + 1
35
( 1 + 0 , 10 + 0 , 05 )
]
+-.
= 7 , 33 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
Como podemos observar considerar una prima de riesgo adicional del 5% implica un ajuste del resultado,
pasando el VAN de los 22 , 6 8 millones de euros si actualizamos al 10%, a 7 ,33 millones de euros si actualizamos
al 15%. En consecuencia, observamos que el resultado es muy sensible al valor que establezcamos como umbral
de rentabilidad exigible.
En la práctica, cuando las empresas usan el método del ajuste de la tasa de descuento, los
proyectos de inversión suelen agruparse según la finalidad o clase de riesgo. Por ejemplo,
supongamos una empresa con una tasa de descuento para “proyectos de inversión tipo” del
𝑘%(es decir, para inversiones con perfiles de riesgo similares a las actividades habituales de
la compañía). La empresa podría utilizar la siguiente categorización o escala de tipos en
función de cual se la naturaleza y el nivel de riesgo de la inversión a desarrollar (ver tabla 1 ).
Tabla 1. Ejemplo de tipos aplicados según la naturaleza del proyecto
Naturaleza del proyecto Umbral de rentabilidad exigido
Proyectos (inversiones típicas) 𝑘%
Inv. Renovación/reemplazo 𝑘%
Inv. Modificación/expansión línea producto actual 𝑘% + 3%
Inversiones no relacionadas 𝑘% + 6%
Actividades de I+D+i 𝑘% + 13%
Fuente: elaboración propia
Muchos analistas e inversores establecen como umbral de rentabilidad exigible el coste de
los recursos empleados en la financiación de la inversión. Nos referimos al coste de capital
o coste de la financiación
. Como hemos analizado en capítulos previos, para Modigliani
y Miller dicho coste puede calcularse como el coste medio ponderado de capital de acuerdo
a la siguiente expresión (ecuación 6.)
𝑘𝑓 = 𝑘𝑒 ∗ b
d + 𝑘𝑑 ∗
∗ b
d
ecuación 6
Como sabemos 𝑘𝑓debe recoger el umbral de rentabilidad exigido pro el conjunto de
inversores, esto es, tanto los inversores en deuda como los inversores en capital tomando
en consideración sus expectativas y el nivel de riesgo percibido.
En el caso del umbral de rentabilidad exigido por los inversores en capital (𝑘𝑒), la mayoría
de analistas e inversores para ajustar la tasa se descuento aprovechan los desarrollos de la
Teoría de Carteras de Markowitz y del Modelo de Mercado de Sharpe y sus derivaciones,
especialmente, el denominado CAPM ( Capital Market Pricing Model ); herramientas todas
éstas que analizaremos con detalle en capítulos posteriores. Como anticipo, de acuerdo al
CAPM el ajuste de la tasa de actualización por el nivel de riesgo de la inversión a evaluar
comienza por ajustar, en primer lugar, la tasa de rentabilidad requerida por los inversores
de capital (accionistas), esto es 𝑘𝑒, para luego volver ajustarla teniendo en cuenta el nivel de
endeudamiento de la empresa y el nivel del riesgo operativo.
De acuerdo al CAPM el valor de 𝑘𝑒 se obtendría aplicando la siguiente expresión (ecuación
ef
[
ef
]
ecuación 7
donde: 𝑅 ef
representaría el valor de la rentabilidad de un activo libre de riesgo; 𝐸
sería
la rentabilidad media del mercado bursátil; y el coeficiente beta (𝛽) sería el coeficiente de
la volatilidad del activo o inversión valorar. De acuerdo al CAPM a la hora de analizar y valorar
una inversión el único riesgo relevante a considerar es el denominado riesgo sistemático o
riesgo de mercado. El riesgo total de un activo o inversión se puede dividir en dos
componentes: el riesgo propio, esto es, la parte del riesgo que depende de las características
particulares del activo o inversión; y el riesgo sistemático o de mercado que se refiere a la
parte del riesgo que tiene que ver con aspectos generales del mercado que afectan por igual
a cualquier activo o inversión. En un contexto de mercado financiero perfecto cualquier
inversor tendría la posibilidad eliminar parte del riesgo total, esto es, el riesgo propio
mediante una adecuada estrategia de diversificación del riesgo. Por tanto, sólo debería ser
compensado por aquella parte del riesgo que no puede eliminar por sus propios medios,
esto es, el riesgo sistemático o riesgo de mercado. En este orden de ideas, el coeficiente beta
es un indicativo del riesgo sistemático de un activo o inversión. Dicho coeficiente puede
tomar los siguientes valores.
o Aquellas inversiones o activos con valores de 𝛽 iguales o próximos 0, serían
inversiones sin riesgo
o Aquellas inversiones o activos con valores de 𝛽 iguales o próximos 1, serían
inversiones con un nivel de riesgo similar al riesgo promedio del mercado
o Aquellas inversiones o activos con valores de 𝛽 mayores que 1, serían inversiones
con un nivel de riesgo superior al riesgo del mercado
o Aquellas inversiones o activos con valores de 𝛽 entre 0 y 1, serían inversiones con un
nivel de riesgo inferior al riesgo del mercado
medio/alto. Por el contrario, si los resultados no son muy sensibles a dichos cambios,
podemos considerar que se trata de una inversión con perfil de riesgo bajo.
Ejercicio 6. Cierto grupo promotor desea poner en marcha una nueva inversión consistente en la fabricación y
venta de equipos industriales del sector de la hostelería. La inversión en Activos Totales Netos se estima en unos
250.000 euros. Las ventas anuales previstas son de 80 u.f./año a un precio de venta unitario de 10.
euros/u.f.. Los costes variables se estiman en un 45% de las ventas, mientras que los costes fijos se estiman en
300.000 euros/año. Si el umbral de rentabilidad exigido es del 12%, analice la rentabilidad que genera la
inversión si se estima que la inversión tenga una duración máxima de 5 años. Estudie además la sensibilidad de
los resultados considerando que: la inversión puede incrementarse o reducirse un 5%; y las unidades físicas de
venta de puede incrementar o reducir un 5%. Para efectuar los cálculos no tenga en cuenta la amortización
técnica de las inversiones.
Solución. De acuerdo a los resultados obtenidos observamos que la inversión es especialmente sensible a la
posible variación en ventas. Como se ha analizado en capítulos precedentes tal circunstancia puede deberse a
alta presencia en la cuenta de resultados de costes fijos, en la medida que éstos ejercen un efecto palanca sobre
el beneficio empresarial incrementando su nivel de volatilidad.
Caso Base Ventas +5% Ventas - 5% Inversión +5% Inversión - 5%
Inversión - 250.000,00 - 250.000,00 - 250.000,00 - 262.500,00 - 237.500,
FCL a IS 140.000,00 162.000,00 118.000,00 140.000,00 140.000,
FCL d IS 105.000,00 121.500,00 88.500,00 105.000,00 105.000,
VAN 128.501,50 187.980,31 69.022,69 116.001,50 141.001,
Diferencias caso base +46,29% - 46,29% - 9,73% +9,73%
En el contexto del análisis de sensibilidad un método alternativo consistiría en analizar, para cada
variable clave (permaneciendo el resto constante), el intervalo de variación de dicha variable, esto
es, los valores máximos y mínimos de la variable clave que garantizarían la viabilidad (rentabilidad)
de la inversión. Por ejemplo, supongamos que a un analista/inversor le interesa conocer el nivel
máximo de inversión que inversión que garantiza la viabilidad (rentabilidad) de la inversión. En ese
caso aplicaría la siguiente expresión (ecuación 8 ).
m
9
+-.
ecuación 8
Ejercicio 7. Cierta empresa dedicada a la fabricación de ruedas de carbono para bicicletas, desea analizar la
viabilidad de lanzar una nueva línea de productos complementaria consistente en la fabricación de cuadros de
carbono. La inversión estimada es de un 1.000.000 de euros. Si el precio medio de venta de cada cuadro es de
2.000 euros, los costes variables se estiman en un 38% de los ingresos, y los gastos fijos ascienden a 200.
euros/año, analice cual sería el volumen mínimo de venta que garantizaría la viabilidad del proyecto. Para
efectuar los cálculos los analistas estiman la perpetuidad del proyecto, un umbral mínimo de rentabilidad
exigible del 12% y una tributación en el impuesto de sociedades del 25% (Ejercicio “no solucionado” en plantilla
excel)
− 1. 000. 000 +
[ 𝑥 ∗
(
- 000
) − 0 , 38 ∗ 2. 000 ∗ 𝑥 − 200. 000
] ∗ ( 1 − 0 , 25 )
0 , 12
> 0
3.2. Los modelos estadísticos: el método de la esperanza-varianza del VAN
Aspectos a tener en cuenta. Dentro de estos métodos podemos destacar el denominado “método
de la esperanza-varianza del VAN”. La principal ventaja de este método radica en que es posible
medir o cuantificar el riesgo de una inversión a través de un estadístico como la varianza o la
desviación típica del VAN. Sin embargo, en la práctica empresarial el uso de estos instrumentos
resulta en la mayoría de ocasiones algo complejo, especialmente, en el campo del análisis de
proyectos de inversión y valoración de empresas
3
. En primer lugar, suponen que los flujos de caja
que genera la inversión son conocidas en términos de variables aleatorias. Es decir, que analistas e
inversores conocen o son capaces de asignar probabilidades de ocurrencia a los posibles valores
que pueden tomar estar variables. En segundo lugar, también es importante conocer cuál es el
posible grado de correlación estadística existente entre los flujos de caja considerándolos dos a dos.
Esta relación se suele medir mediante otros dos estadísticos como son la covarianza o el coeficiente
de correlación.
- La covarianza mide la relación lineal existente entre dos variables. Ésta se calcula como la
media del producto entre las diferencias existentes entre cada uno de los valores que puede
tomar una variable y su media.
o Suponiendo que se conocen los valores que puede tomar las variables en 𝑚 posibles
escenarios, pero no la probabilidad de ocurrencia de dada uno de ellos, el valor de la
covarianza se calcularía de acuerdo a la ecuación 9.
𝜎p𝐹
'
r =
∑ 6 p 𝐹
'
s
'
)r 8
,
s-.
t u𝐹
s
p 𝐹
r v
w
ecuación 9
o En el caso de poder estimar la probabilidad de ocurrencia de cada una de las variables
la expresión de la covarianza seria la siguiente (ecuación 10 ).
𝜎p𝐹
'
r = 16 p𝐹
'
s
'
r 8
,
s-.
∗ tu𝐹
s
− 𝐸p𝐹
rvw ∗ 𝑃
s
ecuación 10
- El coeficiente de correlación también mide la relación existente entre dos variables, con la
particularidad de que su valor se encuentra acotado entre - 1 y +1. Se calcula como la relación
por cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de las variables que
estemos considerando (ecuación 11 ).
𝜌p𝐹
'
r =
𝜎p𝐹
'
r
'
∗ 𝜎p𝐹
r
ecuación 11
3
Precisamente en el ámbito de las inversiones en renta variable cotizada las principales herramientas de análisis se
basan en la aplicación de conceptos de estadística descriptiva como es el caso del “modelo media-varianza de
Markowitz” o en la aplicación de modelos econométricos de regresión lineal como el modelo de mercado de Sharpe.
Ejercicio 8. Sea una inversión con las siguientes características (tabla). Suponiendo que la tasa de rentabilidad
exigible es del 5% ,cierto analista desea estimar el valor esperado del VAN y su riesgo en términos de varianza y
desviación típica
𝑃
'
𝐹
"
𝐹
.
𝐹
5
Escenario 1 30% 40 50 120
Escenario 2 40% 50 80 200
Escenario 3 30% 55 35 150
Solución
- Comenzamos calculando la media o esperanza matemática de cada uno de los flujos de caja
𝐸
( 𝐹 m
) = 0 , 3 ∗ 40 + 0 , 4 ∗ 50 + 0 , 3 ∗ 55 = 48 , 50
𝐸(𝐹
.
) = 0 , 3 ∗ 50 + 0 , 4 ∗ 80 + 0 , 3 ∗ 35 = 57 , 5
𝐸
( 𝐹
5
) = 0 , 3 ∗ 120 + 0 , 4 ∗ 200 + 0 , 3 ∗ 150 = 161
- Conocidas la media de cada uno de los flujos de caja podremos calcular la media del VAN
𝐸(𝑉𝐴𝑁) = − 48 , 50 +
57 , 5
( 1 + 0 , 05 )
.
161
( 1 + 0 , 05 )
5
= 152 , 29
- Para calcular la varianza del VAN, como paso previo deberemos calcular las varianzas de todos aquellos
flujos que se comporten como variables aleatorias, así como las covarianzas existentes entre aquellos
flujos que se comporten como variables aleatorias (consideradas dos a dos). En el ejercicio que nos ocupa
tendremos que calcular, la covarianzas existentes, respectivamente, entre el desembolso inicial y los
flujos de caja 1 y 2, así como la covarianza existente entre los flujos 1 y 2. Comenzaremos calculando las
varianzas:
𝜎
|
}
5
= [( 40 − 48 , 5 )
5
] ∗ 0 , 3 + [( 50 − 48 , 5 )
5
] ∗ 0 , 4 + [( 55 − 48 , 5 )
5
] ∗ 0 , 3 = 35 , 25
𝜎
| ~
5
= [( 50 − 57 , 5 )
5
] ∗ 0 , 3 + [( 80 − 57 , 5 )
5
] ∗ 0 , 4 + [( 35 − 57 , 5 )
5
] ∗ 0 , 3 = 371 , 25
𝜎
|
5
= [( 120 − 161 )
5
] ∗ 0 , 3 + [( 200 − 161 )
5
] ∗ 0 , 4 + [( 150 − 161 )
5
] ∗ 0 , 3 = 1. 149
- Seguidamente calcularemos las covarianzas
𝜎
( 𝐹 "
; 𝐹 .
)
[( 40 − 48 , 5
) ∗
( 50 − 57 , 5
)] ∗ 0 , 3 +
[( 50 − 48 , 5
) ∗
( 80 − 57 , 5
)] ∗ 0 , 4
- [( 55 − 48 , 5 ) ∗ ( 35 − 57 , 5 )] ∗ 0 , 3 = − 11 , 25
𝜎
( 𝐹
"
; 𝐹
5
)
[( 40 − 48 , 5
) ∗
( 120 − 161
)] ∗ 0 , 3 +
[( 50 − 48 , 5
) ∗
( 200 − 161
)] ∗ 0 , 4
- [( 55 − 48 , 5 ) ∗ ( 150 − 161 )] ∗ 0 , 3 = 106 , 5
𝜎(𝐹
.
; 𝐹
5
) = [( 50 − 57 , 5 ) ∗ ( 120 − 161 )] ∗ 0 , 3 + [( 80 − 57 , 5 ) ∗ ( 200 − 161 )] ∗ 0 , 4
- [( 35 − 57 , 5 ) ∗ ( 150 − 161 )] ∗ 0 , 3 = 517 , 5
- Finalmente calcularemos la varianza y desviación típica del VAN de acuerdo a las siguientes expresiones:
𝜎
5
(𝑉𝐴𝑁) = 35 , 25 +
371 , 25
( 1 + 0 , 05 )
5
- 149
( 1 + 0 , 005 )
V
− 11 , 25
( 1 + 0 , 05 )
.
∗
106 , 5
( 1 + 0 , 05
)
5
517 , 5
( 1 + 0 , 05
)
.{ 5
= 2. 039 , 57
𝜎(𝑉𝐴𝑁) = G 2. 039 , 57 = 45 , 16
Los resultados obtenidos nos indican que el valor esperado del VAN sería de 152,29 millones de euros
con una desviación típica se 36,07 millones de euros
( 152 , 29 +/− 45 , 16
)
. Podremos considerar que,
para esta inversión, las rentabilidades caerán con cierta seguridad (2 de cada 3 veces) entre un mínimo
de 1 07 , 13 millones de euros ( 107 , 13 = 152 , 29 − 45 , 16 ) y un máximo de 1 97 , 4 6 millones de euros
( 197 , 46 = 152 , 29 + 45 , 16 ).
Conocidas la rentabilidad y el riesgo de una inversión en términos de media y varianza, supongamos
que un inversor fuese capaz de representar en un plano todas las posibles inversiones e identificar
las denominadas “inversiones eficientes” , es decir, aquellas que a igualdad de rentabilidad
esperada presenten el mínimo riesgo, y aquellas que a igualdad de riesgo tengan la máxima
rentabilidad. De todas las inversiones calificadas como “eficientes” el inversor elegiría aquella que
se adecue a su perfil de riesgo (figura 3).
Figura 3. Línea de inversiones eficientes
Fuente: elaboración propia
Bibliografía
- Durbán Oliva, S. (2008). Dirección Financiera. McGrawHill
- García Olalla, M. et al (2014): Manual del Asesor Financieros. Editorial Paraninfo
- Keown, P. y Scott, M. (1999): Introducción a las Finanzas. La práctica y la lñogica de la
administración financiera”. Prentice Hall.
Riesgo
Rentabilidad
Esperada
Inversión “C”
Inversión “A”
Inversión “B”
Línea de
inversiones
eficientes
