Concepto y aplicaciones de la recursividad en la programación, Apuntes de Ingeniería Infórmatica

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Metodolog´ıa de la Programaci´on II

Objetivos

Entender el concepto de recursividad.

Conocer los fundamentos del dise˜no de algoritmos recursivos.

Comprender la ejecuci´on de algoritmos recursivos.

Aprender a realizar trazas de algoritmos recursi- vos.

Comprender las ventajas e inconvenientes de la recursividad.

Ventajas: No es necesario definir la secuencia de pasos exacta para resolver el problema.

Desventajas: Podr´ıa ser menos eficiente.

Para que una definici´on recursiva est´e completa- mente identificada es necesario tener un caso base que no se calcule utilizando casos anteriores y que la divisi´on del problema converja a ese caso base.

Ejemplo:

xn^ =

1 si n = 0 x · xn−^1 si n > 0

Ejemplo: C´alculo del factorial con n=3.

3! = 3 * 2! 3! = 3 * 2! 2! = 2 * 1!

3! = 3 * 2! 2! = 2 * 1! 1! = 1 * 0!

3! = 3 * 2! 2! = 2 * 1! 1! = 1 * 0! (caso base)0! = 1 (3) (4)

3! = 3 * 2! 2! = 2 * 1! 1! = 1 * 1 1

3! = 3 * 2! 2! = 2 * 1 1! = 1 * 1 = 1

3! = 3 * 2 2! = 2 * 1 = 2

3! = 3 * 2 = 6

Casos generales: Si el problema es suficientemente complejo, la soluci´on se expresa, de forma recur- siva, como la uni´on de

1. La soluci´on de uno o m´as subproblemas (de igual naturaleza pero menor tama˜no).
2. Un conjunto de pasos adicionales. Estos pasos junto con las soluciones a los subproblemas componen la soluci´on al problema general que queremos resolver. '

&

$

%

Los casos generales siempre deben avanzar hacia un caso base. Es decir, la llamada recursiva se hace a un subproblema m´as peque˜no y, en ´ultima instancia, los casos generales alcanzar´an un caso base.

Ejemplo:

// Solucion no estructurada int factorial (int n) { if (n==0) //Caso base return 1; else //Caso general return n*factorial(n-1); }

// Solucion estructurada int factorial (int n) { int resultado; if (n==0) //Caso base resultado = 1; else //Caso general resultado = n*factorial(n-1); return resultado; }

Llamada: x = factorial(3);

factorial n = 3 x=factorial(3); x=factorial(3);

factorial n = 3

factorial n = 2

x=factorial(3);

factorial n = 3

factorial n = 1 factorial n = 2

factorial n = 1

x=factorial(3);

factorial n = 3

factorial n = 2

factorial n = 0

factorial n = 1

x=factorial(3);

factorial n = 3

factorial n = 2

1

x=factorial(3);

factorial n = 3

factorial n = 2

1

x=factorial(3);

factorial n = 3

2

x=factorial(3); 6 (7) (8)

Ejemplo: Averigua qu´e hace este algoritmo

int Recursivo (int *V, int i1, int i2) { int aux1, aux2;

if (i1==i2) //Caso base return V[i1]; else { //Caso general aux1 = Recursivo(V, i1, (i1+i2)/2); aux2 = Recursivo(V, ((i1+i2)/2)+1, i2); if (aux1>aux2) return aux1; else return aux2; }

llamada: Recursivo(V,0,3), con V es [3,7,0,1]

0 1 2 3

(^9)?

Recursivo(v,0,3)

i1=0,i2=(0+3)/2= Recursivo(v,0,1)

3

i1=0,i2=(0+1)/2=

0 1

aux

1 1 7

i1=((0+1)/2)+1=1,i2=

devuelve: Recursivo (v, 0, 1) =

Recursivo(v,0,0) 0 devuelve:

0 3

Recursivo(v,1,1)

v 3 7 0 1

(i1!=i2)

(i1!=i2)

(i1=i2)

(i1=i2)

3

devuelve:

aux2 7 7

aux1 7

i1 0 i

v i1 i

v

v (^) i1 i

v i1 i

3 .5 Ejemplos de funciones recursivas

1. C´alculo de la potencia

xn^ =

1 si n = 0 x · xn−^1 si n > 0

int potencia(int base, int expo){ if (expo==0) return 1; else return base * potencia(base,expo-1); }

2. La suma de forma recursiva

suma(a, b) =

a si b = 0 1 + suma(a, b − 1) si b > 0

int suma(int a, int b){ if (b==0) return a; else return 1+suma(a,b-1); }

3. El producto de forma recursiva

producto(a, b) =

{ 0 si b = 0 a + producto(a, b − 1) si b > 0

int producto(int a, int b){ if (b==0) return 0; else return a+producto(a,b-1); }

4. Suma recursiva de los elementos de un vector

sumaV (V, n) =

{ V [0] si n = 0 V [n] + sumaV (V, n − 1) si n > 0

int SumaV (int *V, int n){ if (n==0) return V[0]; else return V[n]+sumaV(V,n-1); }

6. Buscar el m´aximo entre dos posiciones de un vector

M ayor2(V, i, d) =

=

  

V [i] si i = d M ayor2(V, i, (i + d)/ 2 ´o M ayor2(V, ((i + d)/2) + 1, d) si i < d

int Mayor2 (int *V, int izq, int der) { int m_izq, m_der; if (izq==der) return V[izq]; else { m_izq = Mayor2(V, izq, (izq+der)/2); m_der = Mayor2(V, ((izq+der)/2)+1, der); if (m_izq> m_der) return m_izq; else return m_der; } }

7. B´usqueda lineal recursiva (con dos casos base)

BusquedaLineal(V, n, b) =

=

 



Verdad si V [n] = b Falso si V [0] 6 = b (V [n] == b) ´o (b ∈ {V [0],... , V [n − 1]}) en otro caso

int BusquedaLineal(int *V, int n, int b) { if (n<0) return 0; else if (V[n]==b) return 1; else return BusquedaLineal(V,n-1,b); }