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I. RESUMEN
En este trabajo se analizará los métodos de matrices de rigidez y su importancia en la aplicación a las estructuras. que desde mediados de los años 50 se vienen usando y evolucionando con éxito. Este método ha sido diseñado para realizar análisis computarizado de estructuras incluyendo aquellas estáticamente indeterminadas, para ello se definirá las características de la matriz de rigidez y lo pasos que se deben efectuar para el análisis matricial de la estructura. Siendo necesario identificar el método de rigidez directa, que es el más habitual en los programas de cálculo de estructuras. Por eso las propiedades del material son recopiladas en una sola ecuación matricial que dirige el comportamiento interno de la estructura. Finalmente, la investigación concluirá comprendiendo las diferencias entre método matricial (rigidez) y método de elementos finitos. II. PALABRAS CLAVE: métodos de matriz de rigidez, análisis matriarcal, método de rigidez directa, elementos finitos. III. ABSTRACT In this work, the stiffness matrix methods and their importance in their application to structures will be analyzed. that have been used and evolved successfully since the mid-50s.
This method has been designed to perform computerized analysis of structures including those statically indeterminate, for this the characteristics of the stiffness matrix and the steps that must be carried out for the matrix analysis of the structure will be defined. It is necessary to identify the direct stiffness method, which is the most common in structural calculation programs. That is why the properties of the material are compiled in a single matrix equation that directs the internal behavior of the structure. Finally, the investigation will conclude by understanding the differences between the matrix method (rigidity) and the finite element method. IV. KEY WORDS: stiffness matrix methods, matriarchal analysis, direct stiffness method, finite elements. V. INTRODUCCIÓN Ya desde fines del siglo XIX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática. Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto generaba algunos vacíos. Es por eso que, con el paso del tiempo, se han creado muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico, fueron apareciendo (Método de Cross) pero la mayoría de las mismas eran aplicable sólo a determinados tipos de estructuras y no a todas.
Comprender las diferencias entre Método Matricial (rigidez) y Método de Elementos Finitos VII. MARCO TEÓRICO. 7.1 CONCEPTO DE RIGIDEZ Generalmente se dice que una estructura es rígida cuando se estima que. ante un cierto estado de carga. los desplazamientos que van a aparecer son pequeños. y se dice que es flexible en el caso contrario. En el sencillo ejemplo de un muelle (sistema con un único grado de libertad) sometido a una fuerza de distensión P que provoca un alargamiento ó, estas ideas previas se formalizan a través de la ecuación:
P-k 6
donde k es la constante de rigidez del muelle y representa la que es preciso aplicar para obtener un alargamiento (desplazamiento en el extremo) unidad. Naturalmente se mantiene el sentido intuitivo del término rigidez en la ecuación anterior. pues un muelle será rígido (alto valor de k) cuando una cierta carga P provoque pequeños desplazamientos en el muelle.
7.2. CONSIDERACIONES SOBRE LA MATRIZ DE RIGIDEZ.
Atendiendo a las características de las matrices elementales y al proceso de ensamblaje seguido, se pueden establecer las siguientes consideraciones:
- La matriz de rigidez es cuadrada. siendo su orden igual a la suma de los grados de libertad de los nodos de la estructura.
- La matriz de rigidez es simétrica. Esta propiedad puede también deducirse, de forma independiente, de la aplicación del Principio de reciprocidad de Maxwell.
- Los elementos de las matrices elementales de rigidez ocupan posiciones con la diagonal de la matriz de rigidez global. o posiciones que están tanto más alejadas de ella. cuanto mayor es la separación entre la numeración de los nodos del elemento.
- Si dicha separación se reduce, los elementos distintos de cero se concentrarán alrededor de la diagonal principal y solo será preciso almacenar una banda de valores (normalmente designada semiblanda) a un lado de dicha diagonal. 7.3 PASOS QUE SE DEBEN EFECTUAR PARA EL ANÁLISIS MATRICIAL DE LA ESTRUCTURA 1.- Identificar la estructura, numerar los nudos y determinar la orientación de los elementos. 2.- Calcular los momentos de empotramiento en los nudos para cada elemento estructural 3.- Calcular los términos de las matrices de rigidez de los miembros, referidas a coordenadas generales
La elección más común de la discretización (a) obedece a que las matrices de los elementos elegidos son iguales (en coordenadas locales) para todos. Lo que no sucede en los casos (b) y (C). De cualquier forma, la estructura discretizada en la forma (a) queda definida cuando se especifican las características de los materiales (módulo de elasticidad, coeficiente de Poisson. etc.). las secciones de las barras (áreas. inercias), las coordenadas de los nodos. la conectividad de barras a los nodos y la localización de la sustentación de la estructura (condiciones de apoyo). Tal y como se sabe, una vez conocida la forma de trabajo de la estructura (celosía, pórtico. emparrillado. etc.) queda definida (con la correspondiente transformación de coordenadas) la matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas globales. 7.5 ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA. para Comprender de forma sencilla el proceso de obtención de la matriz de rigidez de la estructura a partir de las matrices elementales 7.5.1 ENSAMBLAJE (SIN CAMBIO DE BASE) Conviene definir el concepto de bloque o submatriz. Un bloque viene dado por un conjunto de componentes de una matriz de rigidez elementar, usualmente las matrices de rigidez elementales tienen cuatro bloques: si llamamos I (izquierda) a la sección externa situada más la izquierda y D (derecha) a la sección situada más a la derecha la mutr1Z de rigidez de un elemento lineal, puede escribirse como.
Análogamente se pueden definir bloques para la matriz de rigidez global a partir de la numeración global usada para numerar los nudos. Para una barra elástica recta de sección constante. Para ver esto en detalle pensemos que el nudo Izquierdo de una barra cualquiera tendrá una numeración global y el nudo derecho de la barra tendrá una numeración global lo cual significa que el bloque será el bloque (o una suma de bloques de ese tipo ellos si es común a varias barras) 7.5.2 ENSAMBLAJE (CON CAMBIO DE BASE) Se considerará el caso general de estructuras de banas. Antes de poder construir o calcular la de rigidez global, necesitamos practicar cambios de base, ya las de elementales son entes matemáticos objetos cuyas coordenadas dependen del sistema de referencia o de la base vectorial elegida para expresarlos (de manera análoga corno sucede con los vectores y a diferencia de los escalares. que son magnitudes Invariantes respecto a cambios de referencia) Cuando Intervienen barras de orientación diferente es muy importante declinar sistemas de ejes locales (0 bases vectoriales) para cada barra, barras rectas se
Por otro lado, el método de elementos finitos utiliza principios matemáticos como el de transformar una ecuación diferencial por residuos ponderados a su forma integral ponderada y luego a su forma débil. También se puede trabajar con el principio de conservación de la energía y de trabajo virtual y luego utilizar funciones de aproximación para calzar la solución real mediante una aproximación normalmente de función polinómica. Sin embargo, el método matricial tiene sus limitaciones pues logra deducir solamente matrices de rigidez de elementos lineales en una dimensión tipo barra que funcionan para absorber solicitaciones axiales cortantes de momento flector o torsor de elementos en una dimensión (de barra). También se puede afirmar, que el método de elementos finitos se extiende mucho más allá pudiendo analizar elementos en dos dimensiones triangulares y cuadrangulares con nudos en las esquinas e incluso nodos intermedios y además elementos en tres dimensiones tetraédricos o hexaédricos. VIII. CONCLUSIONES La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos conducían a sistemas con un gran número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver manualmente. Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción no tiene ahora sentido, mientras que la generalidad de los métodos permanece. Esto explica por qué los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las estructuras más al siglo XIX que al XX. Siendo el análisis estructural la columna vertebral de la razón de ser del ingeniero civil, es necesario profundizar, incentivar y actualizar nuestros conocimientos en los diferentes métodos y técnicas modernas que se pueden
aplicar para determinar las diferentes variables estructurales que se presentan en la ingeniería. Debe admitirse que los métodos matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático Las virtudes del cálculo con computadora radican en la eliminación de la preocupación por las operaciones rutinarias, el ingenio necesario para preparar el modelo con que se pretende representar la realidad y el análisis crítico de los resultados. Además, se debe ser consciente, que sin un modelo adecuado o sin una interpretación final, el refinamiento en el análisis carece de sentido, por eso la necesidad de comprender los métodos, procedimientos y técnicas usados por los modernos softwares aplicativos que desarrollan todo tipo de estructuras usando el método matricial y en el caso más completo el análisis por elementos finitos El método matricial o también llamado método de rigidez hasta cierto punto llega a ser lo mismo que el método de los elementos finitos en cuanto a su propósito. La diferencia radica en la forma de deducir las fórmulas de la matriz de rigidez por ambos métodos. IX. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Cervera, M y Blanco, (2002). Mecánica de estructuras, libro 2, método de análisis, UPC, Perú. Fornons, J, (1982). El método de los elementos finitos en la ingeniería de estructuras, Marcombo, Barcelona. Paris, F y Cañas, J (e tal), (2006). Cálculo matricial de estructuras, Ediuno, España.
