La circunferencia, Diapositivas de Cálculo

¡Descarga La circunferencia y más Diapositivas en PDF de Cálculo solo en Docsity!

LA CIRCUNFERENCIA

ARIANA YHANLY PINEDO GARCÍA

¿QUÉ ES UNA CIRCUNFERENCIA?

DEFINICIÓN:

Si en la figura, se considera el centro 𝐶(ℎ; 𝑘) fijo (de coordenadas constantes) y el punto 𝑃 𝑥; 𝑦 que gira alrededor de 𝐶, conservando la distancia constante 𝑟, se tiene la gráfica de la circunferencia. La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo, llamado centro. A la distancia fija de cualquier punto de la circunferencia al centro se le denomina radio (𝒓).

Ecuación de la circunferencia con centro en cualquier punto En el estudio de las cónicas consideramos las coordenadas del centro como ℎ para la coordenada en el eje X y 𝑘 para la coordenada en el eje Y, es decir, 𝐶 (ℎ; 𝑘).

Suponiendo que se tiene un punto cualquiera 𝑃(𝑥, 𝑦) en un plano cartesiano por donde pasa la circunferencia. Al encontrar la distancia entre el centro y este punto se obtiene el radio.

Se elevan ambos miembros al cuadrado y se acomoda la ecuación:

A esta ecuación se le llama la ECUACIÓN CANÓNICA o ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN FORMA ORDINARIA y es la forma más sencilla de representar un lugar geométrico cuando el centro se coloca en cualquier punto del plano cartesiano.

Aplicando la fórmula para la distancia entre dos puntos se obtiene:

Elevando al cuadrado ambos miembros

ECUACIÓN DE LA

CIRCUNFERENCIA EN FORMA

ORDINARIA

Obtenemos: Desarrollando los binomios al cuadrado y ordenando términos, se obtiene: Se observa que los términos cuadráticos tienen el mismo coeficiente; condición que caracteriza a la ecuación de la circunferencia.

Si se hace: llll−2ℎ = 𝐷 −2𝑘 = 𝐸 ℎ 2

• 𝑘 2 − 𝑟 2 = 𝐹 Se obtiene una nueva forma de la ecuación:

FORMA GENERAL DE LA

CIRCUNFERENCIA

Para utilizar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria se puede observar que se requiere conocer los valores de las coordenadas del centro y la longitud del radio.

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos Dados tres puntos no alineados, existe una y sólo una circunferencia que pasa por los tres. Cuando se dispone de tres puntos 𝑃, 𝑄 y 𝑅 que no estén alineados, la mediatriz de 𝑃𝑄 y la mediatriz de 𝑃𝑅 se cortan en un punto que es el centro de la circunferencia que pasa por 𝑃, 𝑄 y 𝑅 puesto que los tres equidistan de él. En otras palabras, el problema consiste en hallar la CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO. El centro de dicha circunferencia se obtiene como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo. En el caso de que los TRES PUNTOS DADOS ESTÉN ALINEADOS el problema CARECE DE SOLUCIÓN.

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR 3 PUNTOS:

¿Cómo calcular la circunferencia que pasa por tres puntos? Si 𝑃(𝑥 1 ; 𝑦 1 ), 𝑄 𝑥 2 ; 𝑦 2 y 𝑅(𝑥 3 ; 𝑦 3 ) son los puntos dados, la mediatriz de 𝑃 y 𝑄 es el conjunto de puntos 𝑀(𝑥; 𝑦) que satisface: 𝑑 𝑃; 𝑀 = 𝑑 𝑄; 𝑀 (𝑥 − 𝑥 1 | ) 2 +(𝑦 − 𝑦 1 2 ) 2 = (𝑥 − 𝑥 2 2 ) 2 +(𝑦 − 𝑦 2 2 ) 2 Elevando al cuadrado ambos miembros, se eliminan los radicales: ( 𝑥 − 𝑥 1 | 2

• 𝑦 − 𝑦 1 (^2 ) ) 2 = ( 𝑥 − 𝑥 2 (^2 )
• 𝑦 − 𝑦 2 (^2 ) ) 2 (𝒙 − 𝒙 𝟏 | ) 𝟐 +(𝒚 − 𝒚𝟏 𝟐 ) 𝟐 = (𝒙 − 𝒙𝟐 𝟐 ) 𝟐 +(𝒚 − 𝒚𝟐 𝟐 ) 𝟐 Ahora se desarrollan los binomios al cuadrado y se simplifica, el resultado es una ecuación de primer grado: 𝐴 1 𝑥 + 𝐵 1 𝑦 + 𝐶 1 = 0 Que es la ecuación de la mediatriz de 𝑃 y 𝑄. De manera similar, se obtiene la ecuación de la mediatriz de 𝑄 y 𝑅: 𝐴 2 𝑥 + 𝐵 2 𝑦 + 𝐶 2 = 0 Se resuelven simultáneamente y se obtiene el centro 𝐶(ℎ; 𝑘). Se usa la fórmula de la distancia entre dos puntos para encontrar el radio: 𝑟 = (𝑥 − ℎ)^2 + (𝑦 − 𝑘)^2 Reemplazamos los valores del centro (𝐶(ℎ; 𝑘)) y el radio (𝑟) en la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria. 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐: 𝑪(𝒉; 𝒌) 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐: 𝒓

La mediatriz de los puntos P y Q está dada por: (𝒙 − 𝟏) 𝟐 +(𝒚 − 𝟑) 𝟐 = (𝒙 + 𝟓) 𝟐 +(𝒚 − 𝟑) 𝟐 El radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos P, Q y R: 𝑟 = ( 1 + 2 ) 2

• ( 3 + 0. 2 ) 2 = 19. 24 = 4. 39 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜: 𝑟 = 4. 39 EJERCICIO: (𝒙 + 𝟐) 𝟐 +(𝒚 + 𝟎. 𝟐) 𝟐 = 𝟏𝟗. 𝟐𝟒 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P( 1 ;3), Q(-5;3) y R(-6;-2): Al desarrollar los cuadrados y pasar todos los términos al primer miembro se obtiene: −𝟏𝟐𝒙 + 𝟎𝒚 − 𝟐𝟒 = 𝟎 La mediatriz de los puntos Q y R está dada por: (𝒙 + 𝟓) 𝟐 +(𝒚 − 𝟑) 𝟐 = (𝒙 + 𝟔) 𝟐 +(𝒚 + 𝟐) 𝟐 Que al simplificar, queda: 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟔 = 𝟎 Se encuentra el punto de intersección de las ecuaciones (1) y (2) resolviéndolas como simultáneas. Este es el centro de la circunferencia que pasa por P, Q y R: 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐: 𝑪(−𝟐; −𝟎. 𝟐) La ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q y R es: …(1) …(2)

El radio de una circunferencia a partir de su ecuación general Si al llegar a la ecuación ordinaria el número que queda a la derecha es CERO, significa que la circunferencia tiene radio cero, es decir, la circunferencia es un solo PUNTO. Si el número que queda a la derecha es NEGATIVO, entonces no se tiene una raíz cuadrada y por lo tanto la ecuación NO REPRESENTA A UNA CIRCUNFERENCIA. En la ecuación general de una circunferencia, los coeficientes de los términos cuadráticos, 𝑥 2 y 𝑦 2 , son iguales. Cuando son diferentes de 1 , se divide toda la ecuación entre este coeficiente. Se debe pasar de la ecuación GENERAL, que es: A la ecuación ORDINARIA, que es: Ya que en ésta, las coordenadas del centro son (ℎ; 𝑘) y el radio es 𝑟.

De acuerdo a la siguiente ecuación general de la circunferencia: 𝑥 2

• 𝑦 2 − 12𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0 Hallar el radio de la circunferencia: Primero, se agrupan los términos en x, los términos en y, y se pasa el término constante del otro lado de la ecuación: 𝑥 2
• 4𝑥 + 𝑦 2
• 4𝑦 = 0 + 6

2 +(𝑦 + 2 ) 2 = 14 De acuerdo a la ecuación el radio es: 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜: 𝑟 = 14 = 3. 74 EJERCICIO: 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜: 𝑟 = 14 = 3. 74 De acuerdo a la siguiente ecuación general de la circunferencia: 𝑥 2

• 𝑦 2
• 4𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0 Hallar el radio de la circunferencia: Después, se completa el trinomio cuadrado perfecto con los términos en x y se suma la misma cantidad del lado derecho para no alterar la igualdad: 𝑥 2
• 4𝑥 + 4 + 𝑦 2
• 4𝑦 = 6 + 4 De igual manera, se completa el trinomio cuadrado perfecto con los términos en y y del lado derecho para no alterar la igualdad: 𝑥 2
• 4𝑥 + 4 + 𝑦 2
• 4𝑦 + 4 = 6 + 4 + 4 Luego, se factorizan los trinomios cuadrados perfectos: (𝑥 − (− 2 )) 2 +(𝑦 − (− 2 )) 2 = 14

El centro de una circunferencia a partir de su ecuación general Si en la ecuación general, los coeficientes de 𝑥 2 y 𝑦 2 , que deben ser iguales, no son 1 , se divide toda la ecuación entre este coeficiente. Se debe pasar de la ecuación GENERAL, que es: A la ecuación ORDINARIA, que es: Ya que en ésta, las coordenadas del centro son (ℎ; 𝑘) y el radio es 𝑟.

La recta pasa por dos puntos de la circunferencia

EJEMPLO:

Para encontrar los puntos donde una recta, corta a una circunferencia dada por su ecuación ordinaria o general, hemos de resolver el sistema formado por la ecuación de la recta dada y la ecuación de la circunferencia. En general, hay dos soluciones (un par de valores de x, un par de valores de y) que verifican el sistema formado por ambas ecuaciones, lo que significa que generalmente la recta corta a la circunferencia en dos puntos Encontrar los puntos donde la recta 𝑦 = 𝑥 + 3 corta a la circunferencia cuya ecuación es 𝑥 2

• 𝑦 2 − 4𝑥 − 8 𝑦 − 16 = 0 Escribamos el sistema: 𝑥 2
• 𝑦 2 − 4𝑥 − 8 𝑦 − 16 = 0 𝑦 = 𝑥 + 3 Elevando al cuadrado (b) y sustituyendo en (a), queda: (𝑦 = 𝑥 + 3 ) 2 (𝑦) 2 = ( 𝑥 + 3 ) 2 𝑥 2
• 𝑦 2 − 4𝑥 − 8 𝑦 − 16 = 0 𝑥 2
• (𝑥 + 3 ) 2 −4𝑥 − 8 (𝑥 + 3 ) − 16 = 0 2 𝑥 2 − 6x − 31 = 0 Es decir, los puntos 𝑃 1 (𝑥 1 ; 𝑦 1 ) y 𝑃 2 (𝑥 2 ; 𝑦 2 ) con los valores anotados, son los puntos donde la recta y la circunferencia se cortan:

6 + 2 71 4

18 + 2 71 4 ) y 𝑃 2 ( 6 − 2 71 4

18 − 2 71 4

Simplificando y resolviendo la ecuación resultante, obtenemos para las variables (x, y) los valores de cada una, que son:

Encontrar los puntos donde la recta 𝑦 = 𝑥 − 1 corta a la circunferencia cuya ecuación es 𝑥 2

• 𝑦 2 − 𝑥 − 5 𝑦 − 40 = 0 Escribamos el sistema: 𝑥 2
• 𝑦 2 − 𝑥 − 5 𝑦 − 40 = 0 𝑦 = 𝑥 − 1 Elevando al cuadrado (b) y sustituyendo en (a), queda: (𝑦 = 𝑥 − 1 ) 2 (𝑦) 2 = ( 𝑥 − 1 ) 2 𝑥 2
• 𝑦 2 − 𝑥 − 5 𝑦 − 40 = 0 𝑥 2
• (𝑥 − 1 ) 2 −𝑥 − 5 (𝑥 − 1 ) − 40 = 0 2 𝑥 2 − 26x + 110 = 0 Es decir, los puntos 𝑃 1 (𝑥 1 ; 𝑦 1 ) y 𝑃 2 (𝑥 2 ; 𝑦 2 ) con los valores anotados, son los puntos donde la recta y la circunferencia se cortan: 𝑥 1 = 2 + 21 𝑦 1 = 1 + 21

𝑃 1 ( 2 + 21 ; 1 + 21 ) y 𝑃 2 ( 2 − 21 ; 1 − 21 ) Simplificando y resolviendo la ecuación resultante, obtenemos para las variables (𝑥; 𝑦) los valores de cada una, que son: EJERCICIO:

Ecuación general de la circunferencia dados su centro y un punto Se sustituyen las coordenadas del punto (ℎ; 𝑘) y el valor de 𝑟 en la ecuación ordinaria: (𝒙 − 𝒉) 𝟐 +(𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐 Para conocer el radio, se calcula la distancia del centro 𝐶(ℎ; 𝑘) al punto 𝑃(𝑎; 𝑏) por donde pasa la circunferencia. Éste es el radio de la circunferencia: 𝑟 = 𝑑 𝑃; 𝐶 = (𝑎 − ℎ)^2 + (𝑏 − 𝑘)^2 Se sustituye este valor y las coordenadas del centro en la ecuación ordinaria. Se desarrollan los binomios al cuadrado y se simplifican para obtener una ecuación de la forma general. 𝒙 𝟐

• 𝒚 𝟐
• 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 El radio 𝑟 es la distancia del punto (𝑎; 𝑏) al centro (ℎ; 𝑘). Para encontrar la ecuación general de una circunferencia con centro en un punto (ℎ; 𝑘) y que pasa por un punto (𝑎; 𝑏) se realiza el siguiente procedimiento:

Ecuación de la recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos Si 𝐶(ℎ; 𝑘) es el centro de la circunferencia y 𝑃(𝑥 1 ; 𝑦 1 ) el punto dado de la circunferencia, se utiliza la fórmula de pendiente de una recta que pasa por dos puntos. 𝑚 =

OBSERVACIÓN:

Si 𝑥 1 = ℎ, entonces 𝑚 no está definida y el radio es vertical, por lo que la tangente buscada es la recta horizontal que pasa por 𝑃: 𝑦 = 𝑦 1 m Una vez encontrada 𝑚, si 𝑚 no es cero, la pendiente de la recta tangente que se busca es: 𝑚 1 = −

Si 𝑚 es cero, el radio que pasa por 𝑃 es horizontal, así que la recta tangente buscada es la recta vertical: 𝑥 = 𝑥 1 Finalmente encontramos la ecuación de la tangente con la fórmula punto-pendiente: 𝑚 =

(x − 𝑥 1 )