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Bloque I: El Saber Filosófico.
Tema 4: La Lógica Formal.
1. Las proposiciones y sus tipos.
Una proposición es una oración enunciativa, es decir, una oración que afirma o niega algo y que puede ser verdadera o falsa. Las proposiciones pueden ser simples o complejas. Una proposición simple es aquella que no puede descomponerse en partes que sean a su vez proposiciones. Las proposiciones simples se llaman también proposiciones atómicas. Una proposición compleja es aquella que puede descomponerse en proposiciones simples, también son llamadas proposiciones moleculares.
2. Los símbolos de la lógica proposicional.
2.1. Variables proposicionales.
En la Lógica Proposicional, para simbolizar las proposiciones simples se recurre a las letras minúsculas del alfabeto, comenzando por la letra “p” y después siguiendo el orden alfabético. Para representar los valores de verdad de una proposición utilizaremos dos números el “1” y el “0”. El número “1” representa que esa proposición es verdadera , y el número “0” representa que esa proposición es falsa.
2.2. Constantes proposicionales: Las conectivas o conectores.
Se denomina constantes lógicas o conectivas a las partículas que sirven para unir proposiciones simples y convertirlas en fórmulas complejas. Las constantes lógicas más usuales son las siguientes:
a. Negador.
Se representa con este símbolo “ ” , y produce fórmulas del tipo “ p”, “no es cierto que p”, “no es p”, “es imposible que p”, etc. Por definición el negador es aquella conectiva que invierte el valor de verdad de una proposición, es decir, la convierte en verdadera si es falsa, y en falsa si es verdadera. Esto se representa con la siguiente tabla de verdad:
p (^) 1 0 0 1
b. Conjuntor.
El conjuntor se representa con el símbolo “ ” , y da lugar a fórmulas del tipo “pq”, “p y q”. Por definición el conjuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas únicamente cuando son verdaderas las dos proposiciones que las componen. Se representa con la siguiente tabla de verdad:
p q (^) p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
c. Disyuntor.
El disyuntor se representa con el símbolo “ ” , dando lugar a fórmulas del tipo pq, “p o q”. Por definición, el disyuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas , cuando al menos una de las proposiciones que las componen es verdadera. Únicamente una disyunción es falsa cuando son falsas las proposiciones que la componen. Esto se representa con la siguiente tabla:
p q (^) p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
d. Condicional o implicador.
La condicional o implicador se representa con el símbolo “ ” , dando lugar a fórmulas del tipo “p q”, “sí p entonces q” o también “cuando p entonces q”. Por definición la condicional es una conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas en todos los casos menos cuando siendo verdadero el antecedente (antes de la flecha) es falso el consecuente.
p q (^) p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
5º. Se ha de interpretar la tabla:
- Puede ser una contradicción : cuando la fórmula siempre es falsa.
p p
p p pp 1 0 0 0 1 0
- Puede ser una tautología : cuando una fórmula es siempre verdadera.
p p
p (^) p pp 1 0 1 0 1 1
- Puede ser una indeterminación : Cuando una fórmula a veces es falsa y a veces es verdadera.
p q
p q (^) q p q 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0
Ejercicio nº 1.
(p q) ¬ q ¬ p
p q ¬ p ¬ q p q (p q) ¬ q Formula Completa 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
Es una indeterminación.
Ejercicio nº 2.
¬ [(p q) ¬ (¬ p ¬ q)]
p q ¬ p ¬ q p q ¬ p ¬ q ¬ (¬ p ¬ q) (p q) ¬ (¬ p ¬ q) F.C.
1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
Es una Contradicción.
Ejercicio nº 3.
(p q) r ¬ p
p q r ¬ p p q (p q) r (p q) r ¬ p 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1
Es una indeterminación.
Ejercicio nº 4.
¬ (p q) ¬ p ¬ q
p q ¬ p ¬ q p q ¬ (p q) ¬ p ¬ q ¬ (p q) ¬ p ¬ q 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
Es una Tautología.
Ejemplo:
(p q) (p q)
- p q
- p |-----------
- q
p q p q (p q) p (p q) (p q) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
Es unas tautología
2º. Consiste en compara los valores de verdad de las premisas con los valores de verdad de la conclusión. De tal forma que si el argumento es coherente, cuando las premisas son verdaderas a la vez la conclusión también lo es.
Ejemplo:
- p q
- ¬ q |--------------
- ¬ p
p q ¬ q ¬ p (^) p q 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1
Ejercicio nº 1.
Comprobar la validez de los siguientes argumentos mediante tablas de verdad de dos formas distintas
- (p q) r
- ¬ r |-------------------
- p q
[(p q) r] ¬ r (p q)
Antecedente Consecuente
p q r ¬ r (^) p q (p q) r [(p q) r] ¬ r F.C. 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1
Es una Tautología.
5.2. Comprobación de la validez de los argumentos utilizando reglas de inferencia.
El procedimiento de las tablas de verdad resulta demasiado largo y complicado cuando las proposiciones que intervienen en el argumento llevan muchas variables proposicionales, por tanto se recurre a un procedimiento más rápido que son las reglas de inferencia. Las reglas de inferencia son verdades lógicas por definición (definen las conectivas) que nos permiten trasformar las premisas dadas hasta alcanzar la conclusión. El procedimiento a seguir será también numerar las premisas transformadas haciendo constar en cada línea la regla de inferencia que hemos utilizado y las líneas a las que la hemos aplicado. En último lugar, en la última línea, tiene que aparecer la conclusión que queremos demostrar.
La de Eliminación del Conjuntor.
De una conjunción tomada como premisa podemos concluir que cualquiera de las dos proposiciones que la componen es verdadera. Esquema:
A B A B
A B E.C (Eliminación del conjuntor)
Ejercicio nº 1.
- p q |-- q r
- r
- q E.C. (1)
- q r I.C. (2,3)
Ejercicio nº 2.
- p
- q |----- (p q) s
- r s
- s E.C. (3)
- p q I.C. (1,2)
- (p q) s I.C. (4,5)
Ejercicio nº 3
- p q r |---- r s
- s
- r
- rs
b. Reglas del disyuntor.
Regla de Introducción del disyuntor : de una proposición cualquiera tomada como premisa podemos concluir su disyunción con cualquier otra.
A |--------- A A B I.D |-------- BA I.D
Ejercicio nº 1.
- p q |--- (r s) p
- r
- r s I.D. (2)
- p E.C. (1) |-----------------------------------------
- (r s) p I.C. (3,4)
Nota: La Introducción al disyuntor se aplica a más de una solo línea.
Regla de Eliminación del Disyuntor : de una disyunción tomada como premisa sí suponiendo cada una de las proposiciones que la componen llegamos a la misma conclusión, dicha conclusión es necesariamente verdadera.
A B
A... C B... C
C E.D.
Nota: Lo que hay dentro del paréntesis son suposiciones, no está demostrado. Puede haber tantas líneas como sean necesarias.
Ejercicio nº 1.
- (p q) (p r) |-------- p
- p q
- p E.C (2)
- p r
- p E.C (4)
|-------------------------------------
- p E.D.(1, 2-3, 4-5)
Ejercicio nº 1.
- p → q |---- p → r
- q → r
- p
- q M.P. (1,3)
- r M.P. (2,4) |-------------------------------------
- p → r I.I. (3 – 5)
Se usa para demostrar implicaciones: 1º. Se supone el antecedente. 2º. Se sacan líneas hasta llegar al consecuente. 3º. Una vez logrado, la implicación está demostrada.
Ejercicio nº 2.
- p → q |---- p → s t
- q r → s
- p
- q M.P. (1, 3)
- q r I.D. ( 4 )
- s M.P. (2,5)
- s t I.D. ( 6 )
|--------------------------------------------
- p → s t I.I. ( 3 - 7)
Ejercicio nº 3.
- p → q |---- p → s
- r
- q r → s
- p
- q M.P. (1,4)
- q r I.C. (2,5)
- s M.P. (3,6) |-----------------------------------------
- p → s I.I. (4 – 7)
d. Reglas del negador.
Eliminación del Negador o Doble Negación : La doble negación equivale a una afirmación, y a la inversa, una afirmación equivale a una doble negación.
¬ ¬ A |--------- A
Ejercicio nº 1.
- ¬ ¬ p |---- r
- p → q
- ¬ ¬(q → r)
- p E.N. (1)
- q M.P. (2,4)
- q → r E.N. (3) |-----------------------------------------
- r M.P (5,6)
Regla de Introducción del Negador o “procedimiento de reducción al absurdo” : No es estrictamente una regla sino un procedimiento alternativo a todo lo que hemos hecho hasta ahora. Hemos utilizado hasta el momento la denominada “deducción natural” o “vía directa” , que consiste en transformar las premisas mediante reglas hasta alcanzar la conclusión. Sin embargo, el procedimiento de reducción al absurdo consiste en suponer lo contrario de lo que queremos demostrar (la conclusión negada), se procede después deductivamente hasta alcanzar cualquier contradicción. Una contradicción es una formula del tipo A ¬ A.
A
¬ B (Siendo ¬ B lo contrario de la conclusión) · · · C ¬ C
|----------- B
b. Regla de Contraposición : de una implicación podemos deducir otra implicación, en la que el antecedente y el consecuente se inviertan y ambas se nieguen.
AB |---------------- ¬ B ¬ A C.P. Contraposición.
c. Silogismo Disyuntivo : de una disyunción y la negación de una de las proposiciones que la componen, podemos concluir que la otra es necesariamente verdadera.
A B A B
¬ A ¬B
B S.D. A S.D.
¬ p ¬ q ¬ p ¬ q p q |------------ |------------ ¬ q ¬ p
Ejercicio nº 1. Aplicación de Modus Ponens, Modus Tollens y Silogismo
disyuntivo.
- ¬ p ¬ q
- q
- ¬ p r |------ ¬ t
- s ¬ r
- s ¬ t
- ¬ p S.D. (1,2)
- r M.P. (3,6)
- ¬ s M.T. (4,7) |------------------------------
- ¬ t S.D. (5,8)
d. Dilemas : de una disyunción y dos implicaciones tomadas como premisas, podemos deducir el consecuente de las implicaciones o el antecedente de las implicaciones, o una disyunción, siguiendo los siguientes esquemas:
A B ¬ A ¬ B A → C C → ¬A B → C C → ¬ B |------------ |--------------- C ¬ C
A B ¬ A ¬ B
A → C C → ¬ A
B → C C → ¬ B
C D ¬ C ¬ D
e. Propiedades de las Conectivas :
Propiedad Conmutativa de la Conjunción : de una conjunción tomada como premisa podemos concluir otra conjunción en la que las proposiciones que la componen invierten su lugar.
A B
B A C.C.
Propiedad Conmutativa de la Disyunción : de una disyunción tomada como premisa podemos deducir otra disyunción, en la que la proposición que la componen invierten su lugar.
A B
B A C.D.
Propiedad Asociativa de la Conjunción : de una conjunción tomada como premisa podemos concluir otra conjunción en la que las proposiciones que aparecen se agrupen con paréntesis de forma diferente.
A (B C)
(A B) C A.C.
Nota: dada esta propiedad aplicamos la ley de economía de paréntesis, es decir, en las conjunciones no usamos paréntesis.
Ejercicio nº 2.
- p q
- (q p) → (r s) |----- ¬ t
- t → ¬( s r)
- q p C.D. (1)
- r s M.P. (2,4) |----------------------------------------
- ¬ t M.T. (3,5)
Ejercicio nº 3.
- p (q r)
- ¬ r |------- (p q) s
- s
- (p q) r A.D. (1)
- p q S.D. (2,4) |-------------------------------------------
- (p q) s I.C. (3,5)
Ejercicio nº 4.
- p ( q ¬ r)
- ¬ (p ¬ r) |----- s
- (p q) → s
- (p q) (p ¬ r) D.D. (1)
- p q S.D. (2,4) |-------------------------------------------------
- s M.P. (3,5)
Propiedad Transitiva de la Implicación o Silogismo Hipotético : de dos implicaciones tomadas como premisas, si el consecuente de una de ellas es el antecedente de la otra, se puede concluir una nueva implicación con el antecedente de la primera y el consecuente de al segunda.
A → B B → C |-------------- A → C S.H.
f. Leyes de Interdefinición : estas leyes se utilizan para transformar unas conectivas en otras.
Las más conocidas de estas leyes son las llamadas Leyes de Morgan , que se utilizan para trasformar conjunciones en disyunciones, y a al inversa. El procedimiento es el siguiente:
- Se niega la fórmula completa , se niega cada una de las proposiciones que forman la conjunción o la disyunción, y se cambia la conectiva.
A B
¬ (¬ A ¬ B) D.M.
A B
¬ (¬ A ¬ B) D.M.
Ejercicio nº 1. Trasformar por las Leyes de Morgan las siguientes
proposiciones:
p q a. |--------------------- ¬ (¬ p ¬ q) D.M.
¬ ( p ¬ q) b. |------------------------------------------------------- ¬ ¬ ( ¬ p ¬ ¬ q) = ( ¬ p q) D.M.
p ¬ q c. |----------------- ¬ (¬ p q) D.M
