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b) Para sacar la velocidad lineal a partir de la angular, solo tenemos que multiplicar por el radio (en metros). Esto vale para calcular cualquier magnitud lineal a partir de la angular.
v = ω · R
v = 20π/3 · 0,8 = 16,76 m/s
c) El periodo a partir de la velocidad angular:
ω = 2π/T
T = 2π/(20π/3) = 3/10 s
d) La frecuencia, acuérdate, es la inversa del periodo:
f = 1/T = 10/
Ejemplo 88.- Un carrusel gira a 30 revoluciones por minuto. Calcular la velocidad angular y la velocidad lineal de un caballito que este a 1,5 metros del centro de otro que esté a 2 metros. Calcula la aceleración normal para este último.
Solución.-
La velocidad angular es la misma para los dos caballitos, sin importar lo lejos que estén del centro. Si no fuera así, algunos caballitos adelantarían a otros dentro del tiovivo. Si la calculas del mismo
modo que en ejercicios anteriores, veras que el resultado es de π radianes/segundo.
Pero la velocidad lineal no es la misma para los dos, porque el caballito que este más hacia afuera debe recorrer un círculo mayor en el mismo tiempo. Para calcular las velocidades lineales, multiplicamos las angulares por los respectivos radios:
Caballito 1: v = π · 1,5 = 4,71 m/s
Caballito 2 = v = π · 2 = 6,28 m/s
Aunque sea un MCU, existe una aceleración, llamada “normal” que es la responsable de que el objeto se mueva en círculos en vez de en línea recta. Esta aceleración es igual a la velocidad lineal al cuadrado dividida entre el radio:
= v2/R = 6,282/2 = 19,74 m/
199.- Una rueda de 50 cm de radio gira a 180 r.p.m. Calcula:
a) El módulo de la velocidad angular en rad/s b) El módulo de la velocidad lineal de su borde. C) Su frecuencia. Resp.- 6 π rad/s; 9.42 m/s; 3 Hz.
200.- Un CD-ROM, que tiene un radio de 6 cm, gira a una velocidad de 2500 rpm. Calcula: a) El módulo de la velocidad angular en rad/s b) El módulo de velocidad lineal de su borde c) Su frecuencia. Resp.- 83.3π rad/s ; 15.7 m/s ; 41.66 Hz.
Juega con números.-
201.- Teniendo en cuenta que la tierra gira alrededor del Sol en 365.25 días y que el radio de giro es de 1.5 1011 m, calcula (suponiendo que se mueve en un movimiento uniforme): a) El módulo de la velocidad angular en rad/día b) El módulo de la velocidad a que viaja al rededor del Sol c) El ángulo que recorre en 30 días d) El módulo de la aceleración centrípeta provocada por el Sol. Resp.- 0.0172 rad/día ; 29861 m/s ; 0.516 rad = 29˚ 33 ˈ ; 5.9 10-3 m/s
202.- Un piloto de avión bien entrenado aguanta aceleraciones de hasta 8 veces de la gravedad, durante tiempos breves, sin perder el conocimiento. Para un avión que vuela a 2300 km/h, ¿Cuál será el radio de giro mínimo que puede soportar? Resp.- 5200 m
203.- Tenemos un cubo con agua atado al final de una cuerda de 0.5 m y lo hacemos girar verticalmente. Calcular: a) El módulo de la velocidad lineal que debe adquirir para que la aceleración centrípeta sea igual a 9.8 m/s2. b) El módulo de la velocidad angular que llevara en ese caso. Resp.- 2.21 m/s; 4.42 rad/s; 0.70 vueltas/s
204.- La estación espacial internacional gira con velocidad angular constante alrededor de la tierra cada 90 minutos en una órbita a 300 km de altura sobre la superficie terrestre (por tanto, el radio de la órbita es de 6670 km). a) Calcular la velocidad angular, b) Calcular la velocidad lineal, c) Tiene la aceleración?. En caso afirmativo, indicar sus características y en caso negativo, explicar las razones de que no exista. Resp.- π/2700 rad/s; 7760 m/s.
205.- Hallar el valor de la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430 revoluciones por minuto. Resp.- 4.5 rad/s, 0.139 s.
206.- Una rueda de 75 m de radio gira a razón de 250 r.p.m. ¿Calcular la velocidad angular y la velocidad lineal en la irilla de la rueda. Resp.- 19.65 m/s.
207.- Una motocicleta con llantas de 80 cm de diámetro viaja con una velocidad constante de 70 km/h ¿Cuál es la velocidad angular de las ruedas?
208.- Una bicicleta con llanta de 90 cm de diámetro recorre una distancia de 20 m en 4 segundos. Obtener: a) Periodo y frecuencia. B) Velocidad angular y velocidad tangencial. Resp.- 0.56 s, 1.768, 11.11 rad/s, 5 m/s.
209.- Un punto se mueve en un círculo de acuerdo a la ley s = + 2 , donde s se mide en pies a lo
largo del circulo y t en segundos. Si la aceleración total del punto es de 16√2 pies/ cuando t=2 s, calcular el radio del círculo.
210.- El plato de una bicicleta tiene 35 cm de radio y está unido mediante una cadena a un piñón de 7 cm de radio, que mueve una rueda de 75 cm de radio. Si la velocidad angular constante del plato es de 2 rad/s. Calcular: a) La velocidad angular del piñón y la velocidad (lineal) de un diente del piñón. b) La velocidad de un punto de periferia de la rueda.
211.- Una piedra que está en el extremo de una honda se hace girar en un círculo vertical de radio 1.2 m a una rapidez constante: = 1,5 m/s. El centro de la cuerda está a 1,5 m/s del suelo. ¿Cuál es el alcance de la piedra si se suelta cuando la honda cuando tiene una inclinación de 30˚ con respecto a la horizontal y cuando tiene 150˚? ¿Cuál es la aceleración de la piedra? c) Justamente antes de ser soltada, Justamente después de ser soltada?
212.- Un punto material P se mueve en el plano OXY con un movimiento central con centro en el punto 0, estando descrita su trayectoria por las siguientes ecuaciones paramétricas cartesianas:
() = x () + y () :
cumplirá también en el caso retardado, tomando en cuenta la negatividad de la aceleración.
En el movimiento circular uniformemente acelerado existen las dos componentes de la aceleración instantánea, la componente tangencial de esta aceleración será.
Por último la forma vectorial de estas expresiones es:
Entiende y aprende.-
Ejemplo 89.- Una rueda que gira a razón de 120 rpm incrementa su velocidad hasta 660 rpm en 6 segundos. Calcular la aceleración angular en revoluciones por segundo al cuadrado y en radianes por segundo al cuadrado.
Solución.- Tenemos
Por lo tanto
Para calcular la aceleración angular en radianes por segundo al cuadrado, debemos expresar las unidades de la velocidad angular en estas unidades.
Por lo tanto /6s
Ejemplo 90.- Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio R con aceleración angular constante partiendo en reposo. Si la partícula realiza n vueltas completas con la circunferencia en el primer segundo, determine la aceleración angular de la partícula. Determine además, el número de vueltas que realiza la partícula durante el siguiente segundo del movimiento.
Solución.-
Aquí:
Entonces
Y durante el siguiente segundo realiza:
Vueltas.
Ejemplo 91.- Un vehículo, cuyas ruedas tiene un diámetro de 80 cm y 14 radios, desciende por una pendiente sin razonamiento. El movimiento es registrado por una cámara que toma 24 fotos por segundo. Al proyectar la película se aprecia que para la t=20 s la velocidad de las ruedas es aparentemente nula. Calcular la pendiente.
Solución.- Si n es el número de radios, para la rueda parezca inmóvil tiene que girar un múltiplo de: 2en el tiempo transcurrido entre dos fotos. Sea k 2el ángulo girado en t con una aceleración angular a, partiendo de una velocidad angular. Entonces:
=
Al cabo de t = 20 s más se produce la inmovilización aparente de las ruedas en el siguiente múltiplo de 2 en el k+1 por tanto
=
De las dos expresiones deducimos que:
2
Ejemplo 92.- La tornamesa de un tocadiscos gira a razón de 33 rev/min y tarda 2 seg. En detenerse. a) Cual es la aceleración angular de la tornamesa, suponiendo que la aceleración es uniforme? b) Cuantas revoluciones efectúa la tornamesa antes de detenerse? c) Si el radio de la tornamesa de 14 cm, cuales son las magnitudes de las componentes normal y tangencial de la aceleración de un punto sobre la orilla t=0 ¿Cuál es la velocidad lineal inicial de un punto de la orilla de la tornamesa?
Solución.- Transformando unidades
Ejemplo 93.- Una rueda gira con una velocidad angular inicial de 12 rad/s experimentando una
aceleración de 5 rad/s $ en 6 s. Calcular:
a. El desplazamiento angular total
b. La velocidad angular final
Solución.-
La velocidad angular será:
El desplazamiento angular total:
Ejemplo 94.- Una hélice gira inicial mente con una velocidad angular cuya magnitud es de 10 rad/s
y recibe una aceleración contante cuya magnitud es de 3 rad/s $^ Calcular. a)¿Cuál será la magnitud
de su velocidad angular después a los 7 segundos? b)¿Cuál será la magnitud de desplazamiento angular a los 7 segundos? c)¿Cuántas revoluciones habrá dado a los 7 segundos?
Solución.-
Ejemplo 95.- Una recta se mueve normalmente a su dirección con velocidad constante c. En su movimiento corta una circunferencia fija de centro 0 en un punto variable M. Hallar la velocidad de aceleración de M sobre la circunferencia y sobre la recta, en función de c, R y a.
225.-Resp.-
226.- Resp.-
227.-Resp.-
228.- Resp.-
229.- Resp.-
230.-
231.- Resp.-
232.- Resp.-
233.- Resp.-
234.-
235.-
236.-
237.-
238.- Resp.-
239.- Resp.-
240.- Resp.-
241.- Resp.-
242.- Resp.-
243.-
244.- Resp.-
245.- Resp.-
