las técnicas de conteo, Apuntes de Biología

¡Descarga las técnicas de conteo y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!

Unidad 3

Profesora:

MCAI Gloria Alicia Olguín Zúñiga

Presenta:

Yazmin Grissel Ramirez Marin

Materia:

INGENIERIA EN ENERGÍAS RENOVABLES

Grupo:

K

Enero 2018

UNIDAD III

Sección I – Técnicas de Conteo

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelve cada uno de los siguientes problemas con permutaciones o combinaciones.

1. ¿Cuántas permutaciones de tres elementos se forman con tres objetos?

R. Seis

1, 2, 3

3, 2, 1

2, 3, 1

3, 1, 2

1, 3, 2 2, 1, 3

O también se puede resolver de la siguiente manera al multiplicar 3.2.

2. Calcula en número, las formas en que un capaz puede escoger en desorden a 12 de 18 trabajadores para asignarles trabajo de tiempo extra.

R. 18569

18 ∗ 17 ∗ 16 ∗ 15 ∗ 14 ∗ 13 ∗ 12 ∗ 11 ∗ 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 (12 ∗ 11 ∗ 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1)(6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1)

3. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. Cuantas formas distintas es posible ordenarlos si:

a) Que los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

MMMM FFFFFF QQ P 4 P 6 P 2 P 3 = 4!6!2!3! = 207,

b) Que solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

MMMMFFFFFFQQ

P 9 P 4 =P!4! = 9,709,

8. ¿De cuántas maneras ordenadas puede programar un director de televisión seis comerciales en seis intermedios para comerciales durante la transmisión televisiva del primer tiempo de un partido de hockey?, si:

a) Los comerciales son todos diferentes.

R=720 maneras

b) Dos de los comerciales son iguales.

R=360 maneras

c) Si hay cuatro comerciales diferentes, uno de los cuales debe aparecer tres

veces mientras que cada uno de los otros debe aparecer una sola vez. R=120 maneras

9. Una caja contiene una docena de focos eléctricos, que incluyen uno defectuoso. ¿En cuántas formas se puede seleccionar dos focos sin tener que repetirlos, de modo que:

a) No se incluya el foco defectuoso. R=66 maneras

C12,10=

𝐶 =

b) Se incluya el foco defectuoso.

10. Supóngase que, entre la docena de focos eléctricos del ejercicio anterior, hay dos unidades defectuosas. ¿Cuántas maneras puede seleccionarse tres focos, de manera que:

a) No se incluya ninguno de los focos defectuosos. R= 120

b) Se incluya una de las unidades defectuosas. R=

c) Se incluyan ambos focos defectuosos. R=

11. Con siete consonantes y cinco vocales diferentes, ¿Cuántas palabras pueden formarse, que consten de cuatro consonantes y tres vocales? No es necesario que las palabras tengan significado.

Se pueden seleccionar 4 consonantes diferentes de C(7,4) maneras y las 3 vocales de C(5,3)

maneras. Además, las 7 letras resultantes (4 consonantes y 3 vocales) pueden ordenarse entre

sí de 7! maneras. Por lo tanto:

El no. de palabras = C(7,4) ·C(5,3) · 7! = 35 · 10 · 5040 = 1.764.000 palabras

12. ¿De cuántas maneras diferentes, puede seleccionar un archivista cuatro expedientes de un

gabinete que contiene quince expedientes. Sin tener que repetirlos.

R =32 760 maneras.

Sección II – Teoría de Conjuntos

Resuelve cada uno de los siguientes problemas con el diagrama Venn Euler.

1. De un grupo de cuatro personas que van a comer a un restaurante se sabe que tres personas piden sopa, tres piden carne, tres piden jugo, y solo una persona pide sopa, carne y jugo. ¿Cuál

es el número de personas que pidieron sopa y carne, y no pidieron jugo? R= una persona

2. En una fiesta a la que asistieron 131 invitados, una persona que estaba aburrida observó que

de los 79 invitados que comieron pollo, 28 comieron solamente pollo.

Entre las 60 personas que comieron carne, hubo 21 invitados que comieron pescado. De los 50

que comieron pescado, 12 comieron solamente pescado. Por alguna razón 9 invitados comieron

las tres cosas.

a) ¿Cuántos comieron carne y pollo? 34 personas

b) ¿Cuántos comieron solo carne? 14 personas

c) ¿Cuántos comieron solo una cosa? 54 personas

d) ¿Cuántos no comieron ninguna de las tres cosas? 14 personas

S=3 C=

J=

U=4 S,C,J=

S,C=

S,J=1 J,C=

P,C=

C,F=

P,F,C=

P,F=

F=

C=

U=

P=

F=

P=79^ C=

N=

5. Supongamos que la clase de primer año de la Universidad está compuesta por 100

estudiantes, de los cuales 40 son mujeres, 75 estudian estadística y 12 mujeres que no estudian

estadística. ¿Cuántos hombres no estudian estadística?

R= 13 hombres

M=28 H=4 7

Mne=

H=

E=

M=

Hne=

Sección III – Teorema de Bayes.

Resuelve cada uno de los siguientes problemas con el teorema de bayes.

1. En una sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños, el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra

que ingresa a la sala selecciona a un infante al azar. Determine:

a) El valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

Suceso H: seleccionar una niña.

Suceso V: seleccionar un niño.

Suceso M: infante menor de 24 meses.

P(M)=P(H)P(M/H)+P(V)P(M/V)=0.60.2+0.40.35=0.26  26%

b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses, ¿Cuál es la probabilidad que sea

una niña?

2. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y el otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros que ocupa un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

0.2/ingenieros

0.2/economistas

0.6 otros

0.75/directivo

0.05/directivo

0.2/directivo

5. Tenemos tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, y tan sólo una fundida, y en la tercera hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. Si cogemos una bombilla fundida, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la caja 1?.

R= del 31%

P(F)=P(C 1 )P(F/C 1 )+P(C 2 )P(F/C 2 )+ P(C 3 )*P(F/C 3 )

𝑃(𝐹)^ =

Sección IV – Probabilidad Condicional.

Resuelve cada uno de los siguientes problemas con probabilidad condicional.

1. En un grupo de amigos el 80% están casados. Entre los casados, el 75% tiene trabajo.

Finalmente, un 5% no están casados y tampoco tiene trabajo.

a) ¿Qué porcentaje no tiene trabajo? R=25%

Sean los sucesos: C = estar casado; S = soltero; T = tener trabajo; P = estar en paro Se sabe que: p(C) = 0, p(S) = 0, p(T/C) = 0, p(P/C) = 0, (T/C = tener trabajo en el supuesto de estar casado; P/C = estar en paro si está casado) p(SP) = 0,05 (a) Por la probabilidad total: p(P) = p(CP) + p(SP) = p(C) · p(P/C) + p(SP) = 0,80 · 0,25 + 0,05 = 0, El 25 % no tiene trabajo.

b) Si uno tiene trabajo, ¿Qué probabilidad hay de que esté casado? R=75%

Por la probabilidad condicionada se tiene: p(C) p(T ) p(T/C) C   0,75 0,80 0,80·0,75 p(T/C)

El 75 % de los que trabajan están casados.

c) ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tienen trabajo? R=80%

Igualmente: 0,80 0,25 0,80·0,25 p(P) p(C ) p(C/P)

El 80 % de los parados están casados.

2. Una urna A contiene 5 bolas blancas y 4 negras y otra urna B contiene 1 blanca y 2 negras. Se extrae una bola al azar A y se introduce en la B. Después se extrae de la urna B una bola al azar.

a) Calcular la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea blanca.

P(b) = P(b de A) · P(b de B1) + P(n de A) · P(b de B2) =

5 9 ∗^

2 4 +^

4 9 ∗^

1 4 =^

14 36 =^

𝟕 𝟖

b) El porcentaje de que el artículo defectuoso provenga de la máquina C.

Calculamos P(A/D) y P(C/D) , comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos: