Calculo de Medias y Medianas: Aritmetica y Media Ponderada, Resúmenes de Estadística

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Palabras clave : media, mediana, moda, media ponderada.

Contenido

La media o promedio aritmético La moda

Mediana

Medidas de tendencia central

Unidad 2 / E scenario 3

Lectura f undamental

1. La media o promedio aritmético

La medida de tendencia central más conocida es la media o promedio aritmético. Esta medida es fácil de calcular, sus fórmulas permiten tratamiento algebraico. Para representarla utilizamos un símbolo que la diferencia según si se trabaja en una población o en una muestra, aunque la fórmula que se aplica es igual en los dos casos.

Símbolo Media muestral Media muestral

1.1. Datos sin agrupar

Para este tipo de datos la media se calcula sumando todos los valores que toma la variable y dividiendo sobre el número total de datos (n). Para los datos sin agrupar la fórmula utilizada es:

Ejemplo siguientes resultados:: se toma una muestra aleatoria de 7 personas y se les pregunta sobre la edad, obteniendo los X: Edad (años) 17 18 19 20 21 22 23

La media es:

1.2. Datos agrupados

Es claro que la media aritmética es la sumatoria de los valores que toma la variable dividida entre el número total de datos. Sin embargo, cuando se tiene una tabla de frecuencias o datos agrupados para efectuar ese proceso se debe recordar que para cada grupo o intervalo la variable tiene su representación en la marca de clase o punto medio y que la frecuencia absoluta es el número de datos que pertenecen al respectivo grupo.

Para los datos agrupados en una tabla de frecuencias, existe una fórmula, también fácil de aplicar:

Donde n cada grupo.i corresponde a las frecuencias absolutas y Xi al valor de marca de clase o punto medio de

Ejemplo: La siguiente tabla es la distribución de frecuencias del tiempo que gasta un grupo de personas en realizar una prueba de aptitud:

Tabla 1. Distribución de datos (tiempo de una prueba) LiIntervalos - Ls 20 - 2828 - 36 - 4444 - 52 52 - 60

Marca de clase^ Xi Frecuencias^ ni Frecuencias^ Xi^ * ni (^120320) (^480336) 1592336

(^2432) (^4048) Total^56

105 (^127) n=40^6 Fuente: elaboración propia

¿Sabía qué...?

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo. Para obtenerla se suman los límites en cada intervalo y se divide entre dos.

El tiempo promedio es de 39.8 minutos. Observe que por facilidad para el manejo de esta medida se ha abierto una columna adicional en la tabla marcada como X i*ni (la multiplicación de las dos columnas).

1.3. Media ponderada

Hay situaciones en donde cada uno de los valores de la variable tiene un peso o una importancia diferente y esto se ve reflejado en el cálculo de la media. Este que es un caso especial de la media se conoce como media ponderada. La media ponderada se obtiene multiplicando cada valor de la variable por su “peso” o ponderación correspondiente.

Observe la similitud que tiene con la media para datos agrupados.

2. La mediana

Símbolo

Me : Mediana

2.1. Datos sin agrupar

La mediana es el valor que ocupa la posición central de los datos ordenados, por lo tanto se considera que es la medida de tendencia central que divide los datos en dos partes iguales, es decir, observemos la siguiente distribución:

8, 9, 9, 10, 11, 12, 15 , 17, 18, 21, 21, 23,

La mediana es 15, porque se sitúa en el punto que divide la distribución en dos partes iguales. Hay el mismo número de casos antes y después de 15.

Para interpretar esta medida se tiene en cuenta que cuando se tienen todos los datos se habla del 100% de la información:

La mediana queda en el centro dividiendo los datos en dos grupos.

Para el grupo de la izquierda la mediana es el valor máximo del 50% de los datos más pequeños. Para el grupo de la derecha se convierte en el mínimo del 50% de los datos más grandes. Cuando el número de datos es par, (n es par) la mediana es el promedio de los dos valores centrales. Para los siguientes datos:

98, 80, 96, 86, 74, 45, 90, 89, 84, 76, 53, 94 n = 12 (par)

El valor de la mediana es 85, porque, primero al ordenar la distribución de menor a mayor queda:

45, 53, 74, 76, 80, 84, 86, 89, 90, 94, 96, 98

Para el total de 12 datos, los dos valores centrales están apareciendo en la posición sexta y séptima, entonces la mediana será:

¿Sabía qué...?

La mediana es una medida de tendencia central que no se ve afectada por los valores extremos (altos o bajos).

En la tabla anterior: 21 se compara con las N por lo tanto la mediana es 2.i y se encuentra contenido en Ni=27 (menor frecuencia que lo contiene),

2.2.2. Variable continua Para calcular la mediana se van a seguir los siguientes pasos:

1. Encuentre las frecuencias absolutas acumuladas.
2. Encuentre el valor n/2.
3. Compare el valor de n/2 con la frecuencia absoluta acumulada hasta obtener la menor frecuencia acumulada que lo contiene.
4. Aplique la siguiente fórmula:

En donde: Li = Límite inferior del grupo en donde se ubica n/2. Ni-1= Frecuencia absoluta acumulada en el grupo anterior a donde está ubicado n/2. ni = Frecuencia del intervalo donde esta n/2. C = Amplitud del intervalo en donde está ubicado n/2.

Ejemplo: Los siguientes datos representan los puntajes obtenidos por un grupo de estudiantes en una prueba de aptitud. Tabla 4. Distribución de datos (puntajes de estudiantes) Li^ Puntaje - Ls 20 - 3030 - 40 40 - 5050 - 60 60 - 7070 - 80

(^49) (^197) (^65)

No. estudiantes ni 134 (^3239) (^4550)

medianaNgrupoi-

No. acumulado Ni

Fuente: elaboración propia

Me = 46.

El 50% de los estudiantes con menores puntajes obtienen un valor máximo de 46,32.

3. La moda

Símbolo

Md : Moda

3.2. Datos agrupados variable continua

Cuando se trabaja con datos agrupados, la moda se puede calcular con la siguiente fórmula:

En donde: Li = Límite inferior del grupo en donde se ubica la moda. ni= Frecuencia absoluta del grupo de la moda. ni’1 = Frecuencia absoluta en el grupo de la moda. ni+1 = Frecuencia absoluta del grupo posterior al de la moda. Ci = Amplitud del intervalo de la moda. El grupo de la moda es el que tiene la mayor frecuencia.

La siguiente tabla muestra la distribución de los puntajes obtenidos por 50 personas como calificación en una prueba de razonamiento.

Tabla 5. Distribución de datos agrupados variable continua Li^ Puntaje - Ls 20 - 3030 - 40 40 - 5050 - 60 60 - 7070 - 80

(^49) (^197) (^65)

Número de personas ni nni- ni+1i

Fuente: elaboración propia

El intervalo que contiene el mayor número de casos o mayor frecuencia es 40 – 50. Con este intervalo se aplica la fórmula de la moda ¿Sabía qué...?

Las variables continuas toman valores decimales.

Moda = 44.

Se interpreta diciendo que la mayoría de las personas obtienen un puntaje de 44,54.

Ejemplo 1 entidad financiera en atender a un cliente:: Se registra el tiempo (en minutos) que gastan cada uno de los nueve empleados de una

1 3 2 2 3 4 2 1 3 A. ¿Cuál es la moda? B. ¿Cuál es la media? C. ¿Cuál es la mediana?

ello, seleccionó muestras en dos de sus filiales: bancos, y fondos de ahorro. Los datos obtenidos fueron los siguientes expresados en miles de pesos al mes.

» En bancos se obtuvieron los siguientes registros: 50, 72, 25, 20, 75, 85, 40, 30, 98, 50 » Y de los fondos de ahorro se obtuvo la siguiente distribución del ahorro: Tabla 6. Distribución de datos de fondos de ahorros 15 - 23^ Ahorro 23 - 3131 - 39 39 - 4747 - 55

(^169) (^2114) 10

Nro. de clientes

Fuente: elaboración propia

A. Identificar: población, muestra, variable, tipo de variable, escala de medida. B. Calcular e interpretar el ahorro promedio de los clientes en cada una de las dos filiales. C. Calcular e interpretar el ahorro promedio de los clientes en las dos filiales en conjunto.

Solución: A.

- Población : clientes que ahorran en las entidades financieras. - Muestra : 80 clientes seleccionados (10 de bancos y 70 de fondos de ahorro).

- Variable : ahorro mensual en miles de pesos. - Tipo de variable : cuantitativa continua. - Escala de medida : de razón. B. Ahorro promedio en bancos: Se utiliza la fórmula de la media para datos sin agrupar:

En bancos el ahorro promedio es de $54.500 por cliente.

En fondos de ahorro se utiliza la fórmula para datos agrupados:

Tabla 7. Distribución de datos agrupados en fondos de ahorros Ahorro15 - 23 23 - 3131 - 39 39 - 4747 - 55

Nro. de clientes ni Xi X 304 i ni (^243735) (^602510)

(^169) (^2114) 10

(^1927) (^3543) 51 Fuente: elaboración propia

Referencias Lind, Marchal y Wathen, (2012), Mac Graw Hill. Estadística Aplicada a los negocios y la economía , México: Editorial Martinez, C., (2002), Estadística y Muestreo , Bogotá, Colombia: ECOE Ediciones. Newbold, P., (2008), Estadística para los Negocios y la Economía , México: Editorial Prentice Hall. Triola, M., (2013), Estadística. México: Editorial Pearson.

INFORMACIÓN TÉCNICA

Módulo: Unidad 2: Estadística I Medidas descriptivas, de localización y de

Escenario 3:^ variación de datos Medidas descriptivas Autor: Patricia Castillo Garzón Asesor Pedagógico: Diseñador Gráfico: Yinet RodríguezJudy Fernanda Villanueva Asistente: Ginna Quiroga Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano. Por ende, es de uso exclusivo de las Instituciones adscritas a la Red Ilumno. Prohibida su reproducción total o parcial.