JOSE PAYE CHIPANA CODEX JOSUE PAYE CHIPANA
2
CALCULO II
2021
BANCO DE
EXÁMENES
JOSE PAYE CHIPANA
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CALCULO II
BANCO DE
EXÁMENES
JOSE PAYE CHIPANA
JOSE PAYE CHIPANA
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BANCO DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA
I/
1.-(a) Anote la condición que deben cumplir a , b para que a b sea bisectriz de a ,b
(b) Anote un ejemplo de un vector unitario u que sea paralelo al plano x 3 y 2 z 5 0
(c) Anote la expresión de un cono elíptico con centro en C (3,2,4) que se extiende en dirección del eje X
(d) Anote un ejemplo de una curva de
3 que tenga torsión
2.- Los puntos de un triángulo A (1,2,- 2); B( -1,0,8) ;C(2,- 1,5) están contenidos en el plano 2 x 3 y z 6
a) hallar el área del triángulo
b) analizar si el punto 0
P (0,0,6) está en el interior ó exterior del triángulo
c) calcular el área de la proyección del triángulo sobre el plano XY
3.- Hallar la ecuación del plano paralelo al plano x 2 y 2 z 1 0 que es tangente a la
superficie:
2 2 2 x y z 8 x 4 y 6 z 7 0
4.- Hallar los valores de ''t '' en la curva
3 2 2
r t 3 t t , 3t , 3t t donde la recta tangente a esta curva sea
paralela al plano x y z 2
5.- Para la curva de
3
definida por C:
2 2
x y
x y z
identificar el radio de curvatura y centro de curvatura en el punto 0
P (2,0, -2)
II/
TEÓRICAS
Responder cada pregunta con Falso o Verdadero
(a) Si, A y B son vectores paralelos entonces
B A
Pro A Pro B
(b) SI una función vectorial de variable real se encuentra parametrizada en términos de t, entonces su
curvatura es la segunda derivada de función respecto de t dos veces
(c)
dN
B
dS
(d) Se dice que la curva r r s
la torsión es igual al vector nulo.
(e) Dada la curva r r s , el plano osculador es aquel contiene a los vectores tangente unitario y binormal
principal en algún punto de dicha curva.
PARTE PRACTICA
- Sean A, B, C los vértices de un triángulo y P, Q, R los puntos medios de los lados AB , BC y CA
respectivamente, donde P(3,0,0), Q(2,1,-2) y R(1,-2,-1). Hallar A, B, C.
- Hallar la ecuación del plano, de modo que el simétrico del punto P(-1,2,1) respecto al plano sea el punto
Q(0,3,1).
I/
- Cada par de vectores u , v , w forman entre si un ángulo de
. Si u 4 , v 2 y w 6. Hallar
p ,si p u v w
- Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-5,0,0). Si su centro está en la recta:
x y
L
y z
- La normal de un plano tiene una longitud de 5, medido desde el origen de coordenadas, y dos de sus
ángulos directores son:
,
. Hallar su ecuación.
- Sea la curva de intersección de la superficie z xy con el cilindro parabólico
2 y x. Obtener en
P(0,0,0):
La ecuación del plano Osculador, Normal y Rectificante.
La curvatura, la torsión
I/
PARTE TEÓRICA
P1 anote el nombre de la cuádrica cuya ecuación es: (a)
2 2
x 4 y z , (b)
2 2 x z 0
P2 hallar el radio de curvatura de la curva:
2
y x 2 , en x=
P3 Si una curva plana esta contenida en el plano x y 2 : que direccion tiene su vector Binormal?
P4 que condicion deben cumplir los vectores A y B. Para que
A B
Pro B Pro A.
Escriba un ejemplo
Parte practica
1 La distancia del punto (4,1,-
2 x y 3 z 1 ; 3 x 2 y z 6
2 hallar la ecuacion de la esfera que es tangente a los planos 2 x y 3 z 6 ; 3 x 2 y z 4 , y tiene su
centro en el eje X.
3 Dada la curva
2
, 1,
t t
r t e t e. (a) Graficar (b) Calcular su longitud 0, 2 (c) para t=0, hallar el
Vector Binormal (d) Plano Osculador
4 Los vectores A, B, C, satisfacen la condición: A+B+C=0, demostrar que (^) A B B C C A Anote un
ejemplo.
II/
PROBLEMA 1
La intersección de la cuádrica
2 2 x 4 y z , con el plano z 2 x 1. ¿Que origina? (Bosqueje una gráfica)
PROBLEMA 2
Escribir una fórmula para la curvatura de y=f(x)
PROBLEMA 3
Si una curva plana está contenida en el plano 2 y z 4 , que dirección tiene su vector Binormal?
PROBLEMA 4
Que condición deben cumplir los vectores B y C, para que los vectores: B+C, B-C, sean perpendiculares, haga
un ejemplo. 2 x y 2 z 8
PROBLEMA 5
(a) Hallar el punto más cercano de la esfera
2 2 2
x 1 y 2 z 2 1 al plano^ x^2 y^8. b)
Calcular la distancia de dicho punto al plano.
PROBLEMA 6
Se suelta una canica que está colocada en el punto (1,1,8), sobre el plano. Luego la canica rueda por el plano
hasta llegar al plano coordenado X,Y. Que distancia ha recorrido la canica.
PROBLEMA 7
Dada la curva
2 2 1, ,
t r t t t e t. Calcular, para t=0 a) Vector binormal, b) Plano osculador, c)
Curvatura.
PROBLEMA 8
En qué puntos la tangente a la curva
3 2 3 r t 3 t t , 3 t , 3t t es paralela al plano 3 x y z 2 0
I/
PROBLEMA 1
Si A, B, C son puntos de una misma recta, hallar el vector AC sabiendo que B se encuentra entre A y C, donde
A(3,4,5),B(2,2,7) y AC 5
PROBLEMA 2
Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos P(3,1,-3) y Q(-5,0,0) si su centro esta en la recta que pasa
por los puntos A(3,-1,2) y B(-1,-3,4)
PROBLEMA 3
Encuentre la ecuación del plano que contiene al punto P(-4,1,6) y tiene la misma traza de intersección en el
plano XZ que el plano x 4 y 5 z 8
PROBLEMA 4
Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria descrita por la aplicación diferencial (ecuación vectorial):
2 t
r t sen t i t j e k. Para r 0 0, 0,1, hallar: (a) los vectores unitarios T N B, , (b) la curvatura
y la torsión (c) el plano osculador y las coordenadas del centro de la circunferencia osculadora
(b) Si
da
w a
dt
;
db
w b
dt
, probar que
d a b
w a b
dt
PROBLEMA 2
Hallar las ecuaciones de las rectas bisectrices de los ángulos que forman las rectas L1:
x y z
y L2:
x y z , , 1, 2, 1 t1, 0, 0
PROBLEMA 3
Hallar la ecuación de la esfera tangente a los planos 3 x y 5 z 45 0 , x 3 y 5 z 37 0 , que tenga su
centro en la recta
x z
y , y las coordenadas del mismo sean números enteros
PROBLEMA 4
Se la función vectorial cos s
t t
r t e ti e ent j (a)Obtener la longitud de arco 1 t 0
(b) Cambiar el parámetro t por s y obtener r r s
PROBLEMA 5
Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria descrita por la ecuación vectorial:
3 3
2
t t
r t t i t j t k Calcular las coordenadas de C , si C r t N en el punto
P dar un significado a su resultado ( es el radio de curvatura)
- (18 /09/2014) Si los vectores u , v y w ,linealmente independientes en R
3 , tienen origen común; demostrar
que el plano que contiene a los extremos libres de estos vectores es perpendicular al vector definido como:
u v w v w u
2) m , y ,pertenezcan a una misma familia
de planos
x y z
x y z
mx y z
- (18 /09/2014) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto Q(2,1,1) , y en tangente al plano
y 0 en P(1, 0,1)
- (18 /09/2014) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria que describe
P (1,1, 2)
2
C : z x y , z 2 x y
- (18 /09/2014) Una partícula se mueve con una rapidez de 2 [m/s] , contenida en un plano y siguiendo una
trayectoria curvilínea, si su vector normal unitario es paralelo al vector
2
2, 2 ,t t , determinar su curvatura y
torsión.
- (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección del vector (-1,2,1), se
intersecta con el plano de ecuación x^ y^ z^4 , Hallar la ecuación de la recta que se refleja en el plano dado.
- (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento comprendido
entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano (^) x z 2
- (27/03/2014)Dada la curva
( ) ( cos , , )
f t t sent sent (a) Determinar si la misma se encuentra
contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c) Hallar el vector Binormal
- (27/03/2014)Una trayectoria está dada por la función vectorial ( ) ( cos , sin , )
s s
r s a a
a a
a R
n (a)
T N B , , (c) Calcular la curvatura y la torsión
10)(27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a) Coordenadas
de D para que ABCD sea un paralelogramo (b) Sin Hallar
su ecuación, Demostrar que el paralelogramo se encuentra
contenido en un plano (c) Hallar el área del parelogramo
11)(25/11/2013) (a) Sean x , y R
n dos vectores unitarios tales que:
x y ; x ,y x y
(i) x e y pueden ser ortogonales (ii) x y 1
(iii) El ángulo que forman los vectores x e y es
(iv) x y 2 a
ortogonal de FC sobre BE
12)(25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:
2
x 3 t cos(2 )t
2 y 3 t sen(2 ) t
2
z 3 3 t , n t 0 , para el
punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia 38, calcular la curvatura y la torsión.
13)(25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector u (2, 1, 3). Al
llegar al espejo plano cuya ecuación es x y 2 z 30 0 , se origina el rayo reflejado L2 y esta llega a un
segundo espejo 2 x y z 30 0 generando el rayo reflejado L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos
L1 y L3.
14)(25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las ecuaciones de 4 planos
paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente
de modo que los planos tomados de a dos, se hallen separados una misma distancia, es decir que la distancia
entre PL1 y PL2 se a la misma que entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4.
15)(25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera
2 2 2
x y z 2 x 4 y 6 z 5 0 y al plano 3 x 2 y 6 z 4 0. El punto de tangencia con la esfera
(3,0,2).
C( 2 , 2 , 0 )
D
B( 1 , 1 , 1 )
A( 1 , 1 , 0 )
A
C
D
F^ E
B
33)(29/03/2012) En la cuadrica:
2 2 2
x y z 11 2( x 2 y 3 )z. Hallar el punto mas próximo al plano
3 x 4 z 19 0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano.
34)(29/03/2012) Dada la curva r t( ) (2Cosh( ),2t Senh t( ),2 ) t (a) Bosquejear una grafica (b) Calcular la
curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0.
35)(15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es perpendicular al
36)(15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que: AB 2 ,
AB 4 Si:^ Pr
AD
p oy AC ,^ Pr
AB
q oy AC Determinar p+q=?
37)(15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 5 0 , el centro es el
punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la
recta L2:
x y z
38)(15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies
2 2
2 2 2 0
x y y x
x y z
. Es plana (b) Determinar el plano
39)(15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por (0,0,2) Contiene
al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano 3 x 2 y 3 z 2 0
40)(01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R
3 ; usando propiedades vectoriales
(a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los puntos medios de los lados se forman
otro triangulo que debe ser también equilátero.
41)(01/04/2011)Si una curva C de R
3 se da por 1 2 3
r t( ) (r t ( ), r ( ),t r ( ))t (a) anote las expresiones que calculan el
centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco explique cómo se halla la
expresión de la misma curva según: 1 2 3
r s( ) ( r s( ), r ( ),s r ( ))s (c) si existe, identifique el valor de r '( )s
42)(01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman un ángulo de
,Si
el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de a ; deducir una expresión para el módulo
de b
43)(01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
L:
x y z
x y z
44)(01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2 x y 2 z 12 0 en el punto A(-
2,2,5) y tiene su centro en la recta L 0
:
y z
x y
45)(01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:
2
3
x y
x z
Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad
2
( 2)
y
46)(18/09/2010) Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas
L1:
x y z
L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros es
perpendicular a ambas rectas
47)(18/09/2010) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera
2 2 2
x y z 10 x 2 y 26 z 113 0 y paralelos a las rectas L1:
x y z
L2:
x y z
r t ( ) ( ( ), ( ), ( ))x t y t z t
igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector
2
(t ,1, 0), determinar (a) La curvatura de
como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto r(1) (1, 3, 6)
49)(18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x t ,
2
y t 4 ,
3
z t 4 t ,
tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta
x y z
(b) ¿Para qué
50)(18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2 Hallar el
módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b
51)(18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Dada la curva r r t( ) , el plano Rectificante es aquel que contiene a los vectores tangente unitario y binormal
principal en algún punto de dicha curva (F) (V)
52)(18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v (F) (V)
53)(26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados por los planos:
3 x 4 y 6 0 ; 6 x 6 y 7 z 16 0
54)(26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia
2 2
x z 2 x 2 z 3 0. Hallar su ecuación si pasa por el punto P 0
(3,4,2)
55)(26/03/2010) Una trayectoria está definida por:
( ) ( ( ), ln 1 , ( ))
g s arctg s s s arctg s (a) Determinar
la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de curvatura.
(a) c d c d 2 c d (b)
2 2
c d c d c d
69)(25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos. Demostrar que
el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD
70)(25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y es tangente al
plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P 0
(7,3,8)
71)(18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector normal de un plano,
para que la recta sea paralela al plano?
72)(18/09/2008) Si (^) a , b , c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique
73)(18/09/2008) En una Trayectoria rectilínea señale que componente de la aceleración se anula
74)(18/09/2008) En una Trayectoria circular de radio " a ", indique que dirección tiene la aceleración
75)(18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores v y w es de 45º y el módulo de v es 3;encontrar
el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º
76)(18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1), C(-5,0,0) y su centro
está en el plano 2 x y z 3 0
77)(18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma una ángulo de 60º
con el plano 2 x y z 7
78)(18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la YUHHU77intersección de
2 2 2 x y z 1 y el plano y z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto
P (b)
Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto
P
79)(20/09/2007) Un proyectil es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria dada por
2 2
z 125 x y ; y 2 x .Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que alcanza el proyectil
(b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para t=1(d)
la ecuación del plano osculador para t=
- (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0
(3,-2,-4), es paralela al plano
3 x 2 y 3 z 7 0 y se corta con la recta
x y z
81)(20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b ;sabiendo que a ,b
subtienden un ángulo de
y además a 1 b 3
82)(20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a ( b c ) b ( c a ) c ( a b)