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LA ESCUELA DE BAGDAD (Siglos IX al XII) Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Ál- gebra. A fines del Siglo VIII floreció la Escuela de Bagdad, a la que pertenecían Al Juarismi, Al Batani y Omar Khayyan. Al Juarismi, persa del siglo IX, es-
MINIMO COMIIN MULTIPLO
I. M. C. M. DE MONOMIOS
cribió el primer libro de Algebra, y le dio nombre a esta ciencia. Al Batani, sirio (858-929), aplicó el Ál- gebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan, persa del siglo XII, conocido por sus poemas escri- tos en "rubayat", escribió un Tratado de Algebra.
CAPITULO Xil
- (^) ULTIPLO de dos o más expresiones algebraicas es. toda ex-
presión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las
expresiones dadas.
Así, 8a 3 b 2 es común múltiplo de 2a2 y 4a3 b porque 8a 3 b 2 es divisible
exactamente por 2a 2 y por 4a 3 b ; 3x 2 - 9x + 6 es común múltiplo de x - 2 y
de x 2 - 3x + 2 porque 3x 2 - 9x + 6 es divisible exactamente por x - 2 y por
x 2 -3x+.
169 M I N d MO COMUN MULT I PLO de dos o más expresiones algebraicas
es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor
grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.
Así, el m. c. m. de 4a y 6a 2 es 12a2 ; el m. c. m. de 2x 2, 6x 3 y 9x 4 es 18x 4.
La teoría del in. c. m. es de suma importancia para las fracciones y
ecuaciones.
REGL±.
Se halla el m. c. m. de los coeficientes y a continuación de éste se es-
criben todas las letras distintas, sean o no comunes, dando a cada letra el
mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.
( 1) Hallar el m. c. m. de ax 2 y a 3 x. Ejemplos (^) Tomamos a con su mayor exponente a 3 y x con su mayor exponente x2 y tendremos : m. c. m. = a--"x 2. R.
8ab 2 c = 2 11 ob 2 c 12a 3 b 2 = 2 2 .3a 3 b 2.
f
(2) Hallar el m. c. m. de 8ab2 c y 12a 3 b 2.
El m. c. m. de los coeficientes es 23 .3. mayor exponente a 3 , b con^ su mayor exponente b 2 y c, luego : m, c, m. = 2 3.3a3b2 c = 24o 3b2 c.^ R.
(3) Hallar el^ m. c.^ m. de 10a 3x, 36a 2mx 2 y 24b2 m 4. /.
EJERCICIO 115
¡liallar el ni. e. ¡ti. de :
1. a^ 2 ,^ ab*`!.
- x 2y,^ xy 2.
3.^ ab^2 c, a^2 bc.
4. a 2 x 3 , a 3 bx 2.
- 6rn 2 n, 411 3.
- 9ax 3 y 4 , (^) 15x 2 y 5.
7. a :',^ ab^2 , a^2 6.
8.^ x^2 y,^ xy^2 ,^ xy^3 z.
9. 2ab -,^ 4a-b,^ 8a'^1.
- 3x 2 y^3 z,^ 4x^3 y^3 z^ 2 ,^ 6x^4.
- 6nrn^2.^ 9,n^2 n^3 ,^ 121,:3n.
12. 3a^2 ,^ 4b2,^ 8x 2.
- 5x^2 ,^ lOxy,^ 15xy^2.
II. M. C. M. DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
MINIMO COMUN^ MULTIPLO^ •^ 1 8 9
A continuación escribimos a con su
100 3 x = 2 .5a'1 x 36a 2 mx 2 = 2^2 .3 2 a=mx^2 24b 2 m 4 = 2'1 .3b 2m 4 m. c. m. = 2 3 .3 2 .5a' 1 b 2 m 4 x 2 = 360a 3 b 2 m 4 x 2. R.
- ax 3y 2 , a 3 xy, a 2 x2y 3.
- 4ab,^ ba -,^36 .
- 3x' 1 , 6x 2 , 9x 4 y 2.
17. 9a 1 bx,^ 12ab 2 x 2 , 18a 3 b^3 x.
18. l(ni 2 ,^ 1 .inin^2 2,^ 20,1 :.
- l tia 3 , 24b 2 , 36ab 3.
- 20,,1 2 ,1^3 , 241,"n, 30n,n^2.
21. ab 2 ,^ bc 2 , 00, 00.
- 2x 2 y, 8xy 3 , 4a 2 x (^3) , 120.
- 6a 2 , 9x, 12ay 2 , 18x'1y.
24. 10,n 2 , 20n", 25nm^4.
- 24a 2 x'1 36a-'Y 1 , 4(W2•'`^ 60a 3y^ 6.
26. 3a 3 ,^ 8ab, 10b 2,^ 12a-b ;1 , 16a^2 b 2.
REGLA
Se descomponen las expresiones dadas en sus factores^ primos. 'El m. c. ni. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.
Ejemplos
( 1) Hallar el m. c. m. de 6 , 3x - 3. Descomponiendo : 6 = 2. 3x-3=3(x-1) m .c .m .=2 .3(x-1)=6(x-1).^ R.
(2) Hallar el^ m. c. m.^ de^ 14a2^ ,^ 7x - 21. Descomponiendo : 14a 2 = 2.70' 7x-21 =7(x-3) m. c. m. = 2.7 .a 2 (x - 3) = 14a2 (x - 3).^ R.
(2) Hallar el m. c. m. de x3 + 2bxz, x 3y - 4b2 xy, x 2 y 2 + 4bxy2 + 4b2 y. x3 + 2bxz = x 2 (x + 2b) x 3 y - 4b2 xy = xy(x 2 - 4b2 ) = xy(x + 2b)(x - 2b) x 2y 2 + 4bxy 2 + (^) 4b2 y^2 = y = ( x - + 4bx + 4b-)- y = (x + 2b) 2
(4) Hallar el m. c. m. de (a - b) 2, a 2 - b 2, (a + b)2, a 2 + b. El alumno debe notar que no es lo mismo cuadrado de una diferencia que diferencia de cuadrados ni es lo mismo cuadrado de una suma que suma de cuadrados. En efecto : (a-b) 2 =(a- b) a2 - b2 = ( a + b)(a - b) (a+ b) 2 = (a + b) 2
o-' h-' -- (u I- b2)
m. c. m .=(a+b)2(a-b)2(a2+b2). R.
(5) Hallar el m .c .m. de (x + 1 ) 3 , x 8 + 1, x2 - 2x - 3. El alumno debe notar que no es lo mismo suma de cubos que cubo de una suma. En efecto : (x+1)3=(x+1) x 3 -f -1 =(x+1)(x2-x+1) x2 -2x --3--(x-3)(x+1) m .c.m .=(x+1)3(x-3)(x2-x+1). R.
(6)
MINIMO COMUN MULTIPLO • 1 9 1
Hallar el m. c. m. de (x - y) 3 , x3 - y3 , x 3 - xy 2 + x 2y - (^) y 3 (^) , 3a2 x + 3a 2 y. El alumno debe notar que no es lo mismo cubo de una diferencia que dife- rencia de cubos. (x - Y) 3 = (^) (x - Y) X3 - (^) ys = (x - y ) ( X
- xY + Y 2 ) X3 - xy 2 + x 2 y^ - y^3 =^ x(x 2 -^ y2 )^ +^ y(x2 - y2 ) _^ (x 2 -^ y2) (X (^) + y) (x + Y), (x - y) 3a 2 x + 3o'->y -- 30 2 ( X + y) m .c.m.=3a 2 (x+y) 2 (x - y)3 (x2 +xy+y2 ). R.
(7) Hallar el m. c. m. de 15x 3 + 20x 2 + 5x, 3x :' - 3x + x 2 - 1 , 27x9 + 18x : + 3x 2.
15x3 + 20x 2 + 5x = 5x(3x 2 + 4x + 1) = 5x(3x + 1)(x + 1) 3x 3 - 3x + x 2 - 1 = 3x (X2 - 1) + (x 2 - 1) _ (x 2 - 1)(3x + 1) _ (x + 1)(x - 1)(3x + 1) 27x' + 18x3 + 3x 2 = 3x2 (9x 2 + 6x + 1) = 3x 2 (3x + 1). m .c .m .=15x 2 (3x+1) 2(x+1)(x-1) = 15x 2 (3x +^1 ) 2 (x 2 - 1). R.
m .c .m .=x 2y 2 (x+2b) 22 (x-2b). R.
Hallar el m. c. m. de m2 - mn, mn + n2 , m2 - n 2. m2 -mn=m(m-n) mn + n2 = n(m + n) m2-n2=(m+n)(m-n) m .c .m .=mn(m+n)(m-n)=mn(m2-n2). R.
1 9 2 0 ALGEBRA
( ) Hallar el m .c .m.^ de^ 2x 3 - 8x,^ 3x 4^ +^ 3x 3 - 18x 2 , 2x 5^ +^ lOx 4^ +^ 12x 3
6x2 - 24x + 24.
2x 3 - 8x = 2x(x 2 - 4) = 2x(x + 2)(x - 2)
3x 4 + 30 -18x 2 = 3x 2 (x 2 + x - 6) = 3x2 (x + 3)(x - 2)
2x5 + 10x4 + 12x 3 = 2x 3 (x2 + 5x +6) = 2x 3 (x + 3)(x + 2)
6x2 - 24x + 24 = 6(x 2 - 4x + 4) = 6(x - 2) 2.
m .c .m .=6x3(x+2)(x-2)2(x+3). R.
o lo que es igual
1F EJERCICIO 117
Hallar el m. c. m. de :
1. 3x+3, 6x-.
2. 5x+10, 10x2 -.
- x 3 +2x 2y,^ x2 -4y.
4. 3a 2x-9a 2 , x 2 -6x+.
5. 4a 2 -9b 2 , 4a2 -12ab+9b 2.
a 3 +a 2 b, a 3 +2a 2b+ab 2.
3ax+12a, 2bx 2 +6bx-8b.
8. x 3 -25x, x 2 +2x-.
9. (x-1) 2 , x 2 -.
10. (x+1) 2, x 2 +.
11. x 3^ +y 3, ( x+y) 3.
m .c .m .=6x3(x2-4)(x-2)(x+3). R.
12. X3-y3, (x-y).
13. x 2 +3x-10, 4x 2 -7x-.
14. a 2 +a-30, a 2 +3a-.
15. x 3 -9x+5x 2 -45, x 4 +2x 3 -15x 2.
16. x 6-4x3 -32, ax 4 +2ax 3 +4ax 2.
17. 8(x-y) 2, 12(x 2 -y 2).
18. 5(x+y) 2 , 10(x2+y2).
19. 6a(in+n) 3 , 4a 2 b(m 3 +n 3).
- ax(m-n) 3 , x 3 (m 3 -n3).
21. 2a 2 +2a, 3a2 -3a, a'-a 2.
22. x 2 +2x, x^3 -2x 2 , x 2 -.
23. x 2 +x-2, x 2 -4x+3, x 2 -x-.
24. 6a 2 +13a+6, 3a 2 +14a+8, 4+12a+9a.
25. 10x 2 +10, 15x+15, 5x 2 -.
- ax-2bx+ay-2by, x 2+xy, x2-x y.
- (^) 4a 2 b+4ab 2 , 6a-6b, 15a 2 -15b 2.
28. X^2 -25, x 3 -125, 2x+.
- a 2 -2ab-3b 2 , a3b-6a2b2+9ab3, ab2+b.
- (^) 2m 2 +2mn, 4mn-4n 2 , 61n 3 n-6mn.
31. 20(x 2 -y 2 ), 15(x-y) 2 , 12(x+y) 2.
32. ax 2 +5ax-14a, x 3 +14x 2 +49x, x 4 +7x 3 -18x 2.
33. 2x 3 -12x 2 +18x, :3x 4 -27x 2 , 5x 3 +30x 2 +45x.
34. .; 3a 2 , 6+6a, 9-9a, 12+12a.
- 2(3n-2) 2 , (^) 135n 3 -40, 12n-.
- 12mn+8m-3n-2, 48m 2 n-3n+32m 2 -2, 6n 2 -5n-.
37. 18x 3 +60x 2 +50x, 12ax 3 +20ax 2 , 15a 2x 5 +16a2 x 4 -15a2 x 3.
38. 16-x 4 , 16+8x 2 +x 4 , 16-8x 2 +x 4.
39. 1+a 2, (1+a) 2 , 1+a 3.
40. 80-10n-3, 20n 2 +13n+2, 100_11n-.
41. 6a 2 +ab-2b 2 , 15a 2 +22ab+8b 2 , 10a 2 +3ab-4b 2.
42. 12x 2 +5xy-2y 2 , 15x 2 +13xy+2y2 , 20x2 -xy-y 2.
43. 6b 2 x 2 +6b 2x 3, 3a2 x-3a 2 x 2 , 1-x 4.
44. x 4 +8x-4x 3 -32, a 2 x 4 -2a 2 x 3 -8a 2 x 2 , 2x 4 -4x 3 +8x 2.
45. x 3 -9x+x 2 -9, x 4 -10x 2 +9, x 2 +4x+3, x 2 -4x+.
46. 1-a3 , 1-a, 1-a 2 , 1-2a+a 2.
47.^ a2 b-ab 2 , a 4 b 2 -a 2 b 4 , a(ab-b 2) 2, b(a2 +ab).
- M^3 -27n 3,^ m 2 -9n 2, m 2 -6mn+9n 2 , m 2 +3mn+9n 2.
