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OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
- Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para una par- tícula.
- Mostrar cómo se resuelven los problemas de equilibrio de una partícula, mediante las ecuaciones de equilibrio.
3.1 Condiciones para el equilibrio de una partícula
Se dice que una partícula está en equilibrio si permanece en reposo y en un principio estaba en reposo, o si tiene una velocidad constante y originalmente estaba en movimiento. Sin embargo, más a menudo, el término “equilibrio” o, de manera más específica, “equilibrio estático” se usa para describir un objeto en reposo. Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como
©F 0 (3-1)
donde ©F es el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. La ecuación 3-1 no sólo es una condición necesaria para el equili- brio, también es una condición suficiente. Esto es una consecuencia de la segunda ley del movimiento de Newton, la cual puede escribirse como ©F ma. Como el sistema de fuerzas satisface la ecuación 3-1, entonces ma 0 , y por lo tanto la aceleración de la partícula a 0. En consecuencia, la partícula se mueve con velocidad constante o perma- nece en reposo.
Equilibrio de una
partícula
86 C APÍTULO 3 E QUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
3
3.2 Diagrama de cuerpo libre
Para aplicar la ecuación de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas (©F) que actúan sobre la partícula. La mejor manera de hacer esto es pensar en la partícula como aislada y “libre” de su entorno. Un dibujo que muestra la partícula junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina diagrama de cuerpo libre (DCL). Antes de presentar un procedimiento formal de cómo trazar un diagra- ma de cuerpo libre, primero consideraremos dos tipos de conexiones que se encuentran con frecuencia en problemas de equilibrio de partículas.
Resortes. Si un resorte elástico lineal (o cuerda) de longitud no deformada l (^) o se usa como soporte de una partícula, su longitud cam- biará en proporción directa a la fuerza F que actúe sobre él, figura 3-1. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez, k. La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado (alargado o acortado) una distan- cia s l l (^) o , medida desde su posición sin carga, es
F ks (3-2)
Si s es positiva, lo que causa un alargamiento, entonces F debe jalar el resorte; mientras que si s es negativa, lo que causa un acortamien- to, entonces F debe empujar el resorte. Por ejemplo, si el resorte de la figura 3-1 tiene una longitud no deformada de 0.8 m y una rigi- dez k 500 N>m y se estira hasta una longitud de 1 m, de manera que s l lo 1 m 0.8 m 0.2 m, entonces se requiere una fuerza F ks 500 N>m(0.2 m) 100 N.
Cables y poleas. A menos que se establezca lo contrario, en todo este libro, excepto en la sección 7.4, supondremos que todos los cables (o cuerdas) tienen un peso insignificante y que no se pueden deformar. Además, un cable puede soportar sólo una tensión o fuerza de “jalón” que actúa en la dirección del cable. En el capítulo 5 se mos- trará que la fuerza de tensión desarrollada en un cable continuo que pasa sobre una polea sin fricción, debe tener una magnitud constante para mantener al cable en equilibrio. Por consiguiente, para cualquier ángulo , como el que se muestra en la figura 3-2, el cable se somete a una tensión T en toda su longitud.
T T El cable está en tensión
u
Fig. 3-
F
s
o
Fig. 3-
88 C APÍTULO 3 E QUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
3
EJEMPLO 3.
La esfera que aparece en la figura 3-3a tiene una masa de 6 kg y está soportada como se muestra. Trace un diagrama de cuerpo libre de la esfera, de la cuerda CE, y del nudo en C.
45
60 C E
B
A
(a)
D
k
SOLUCIÓN
Esfera. Por inspección, hay sólo dos fuerzas que actúan sobre la esfera, las cuales son, su peso: 6 kg (9.81 m>s 2 ) 58.9 N, y la fuerza en la cuerda CE. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figu- ra 3-3b.
Cuerda CE. Cuando la cuerda CE se aísla de su entorno, su diagra- ma de cuerpo libre muestra sólo dos fuerzas que actúan sobre ella, a saber, la fuerza de la esfera y la fuerza del nudo, figura 3-3c. Observe que la FCE mostrada aquí es igual pero opuesta a la mostrada en la figura 3-3b, una consecuencia de la tercera ley de Newton de acción y reacción. Además, FCE y FEC jalan la cuerda y la mantienen en tensión de manera que no colapse. Para lograr el equilibrio, FCE FEC.
Nudo. El nudo en C está sometido a tres fuerzas, figura 3-3d. Éstas son causadas por las cuerdas CBA y CE y el resorte CD. Como se requiere, el diagrama de cuerpo libre muestra todas esas fuerzas marcadas con sus magnitudes y direcciones. Es importante darse cuenta que el peso de la esfera no actúa directamente sobre el nudo, sino que la cuerda CE somete el nudo a esta fuerza.
C
F (^) CBA (Fuerza de la cuerda CBA que actúa sobre el nudo)
F (^) CD (Fuerza del resorte que actúa sobre el nudo)
F (^) CE (Fuerza de la cuerda CE que actúa sobre el nudo)
60
(d)
Fig. 3-
F (^) CE (Fuerza de la cuerda CE que actúa sobre la esfera)
58.9 N (Peso o gravedad que actúa sobre la esfera) (b)
F (^) CE (Fuerza de la esfera que actúa sobre la cuerda CE)
F (^) EC (Fuerza del nudo que actúa sobre la cuerda CE)
(c)
3
3.3 Sistemas de fuerzas coplanares
Si una partícula está sometida a un sistema de fuerzas coplanares que se encuentran en el plano x-y como en la figura 3-4, entonces cada fuerza puede descomponerse en sus componentes i y j. Para lograr el equili- brio, estas fuerzas deben sumarse para producir una fuerza resultante cero, es decir,
i& (^) X i i& (^) Y j 0
iF 0
Para que se satisfaga esta ecuación vectorial, ambas componentes x y y deben ser iguales a cero. Por lo tanto,
i&X 0 i&Y 0 (3-3)
Estas dos ecuaciones pueden resolverse cuando mucho para dos incóg- nitas, representadas generalmente como ángulos y magnitudes de fuer- zas mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Cuando se aplica cada una de las dos ecuaciones de equilibrio, debe- mos tomar en cuenta el sentido de cada componente con un signo algebraico que corresponde a la dirección de la cabeza de flecha de la componente a lo largo de los ejes x o y. Es importante observar que si una fuerza tiene una magnitud desconocida, entonces el sentido de la cabeza de la flecha de la fuerza en el diagrama de cuerpo libre puede suponerse. De esta forma, si la solución genera un escalar negativo, el sentido de la fuerza es opuesto al sentido que se supuso. Por ejemplo, considere el diagrama de cuerpo libre de la partícula sometida a las dos fuerzas que se muestran en la figura 3-5. Aquí se supone que la fuerza desconocida F actúa hacia la derecha para man- tener el equilibrio. Al aplicar la ecuación de equilibrio a lo largo del eje x, tenemos
i&X 0 ; & 10 N 0
Ambos términos son “positivos” puesto que las dos fuerzas actúan en la dirección x positiva. Cuando se resuelve esta ecuación, F 10 N. Aquí, el signo negativo indica que F debe actuar hacia la izquierda para sostener la partícula en equilibrio, figura 3-5. Observe que si el eje x de la figura 3-5 estuviese dirigido hacia la izquierda, en la ecua- ción anterior ambos términos serían negativos pero, de nuevo, después de resolver F 10 N, lo que indica que F estaría dirigida hacia la izquierda.
3.3 S ISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES 8 9
y
F (^2)
F (^1)
F (^3) F (^4)
x
Fig. 3-
F x 10 N
Fig. 3-
3
EJEMPLO 3.
Determine la tensión necesaria en los cables BA y BC para sostener el cilindro de 60 kg que se muestra la figura 3-6a.
(a)
B
3 4
5
A
D
C
45
SOLUCIÓN
Diagrama de cuerpo libre. Debido al equilibrio, el peso del ci- lindro ocasiona que la tensión en el cable BD sea T (^) BD 60(9.81) N, figura 3-6b. Las fuerzas en los cables BA y BC pueden determinarse al investigar el equilibrio del anillo B. Su diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-6c. Las magnitudes de T (^) A y T (^) C se descono- cen, pero sus direcciones son conocidas.
Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio a lo largo de los ejes x y y, tenemos (1)
C i& (^) Y 0; (^4) # sen 45° (^) 35 (^4) A 60(9.81) N 0 (2)
i&X 0; (^4) # cos 45° 45 (^4)! 0
La ecuación (1) puede escribirse como T (^) A 0.8839T (^) C. Al sustituir esto en la ecuación (2) resulta (^4) # sen 45° (^) 35 (0.8839 (^4) # ) 60(9.81) N 0
De forma que T (^) C 475.66 N 476 N Resp. Al sustituir este resultado en la ecuación (1) o la ecuación (2), obte- nemos T (^) A 420 N Resp. NOTA: por supuesto, la exactitud de esos resultados depende de la exactitud de los datos, es decir, de las medidas geométricas y de las cargas. Para la mayor parte de los trabajos de ingeniería que implican un problema como éste, los datos medidos con tres cifras significativas serían suficientes.
3.3 S ISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES 9 1
60 (9.81) N
T (^) BD 60 (9.81) N
(b)
Fig. 3-
T (^) BD 60 (9.81) N
T (^) A T (^) C
y
x
(c)
B
3 4
5 45
92 C APÍTULO 3 E QUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
3
EJEMPLO 3.
La caja de 200 kg que se muestra en la figura 3-7a está suspendida por las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede soportar una fuerza máxima de 10 kN antes de que se rompa. Si AB siempre permanece horizontal, determine el ángulo mínimo al que se puede suspen- der la caja antes de que una de las cuerdas se rompa.
(a)
D
A B
C (^) u
SOLUCIÓN
Diagrama de cuerpo libre. Estudiaremos el equilibrio del anillo A. Hay tres fuerzas que actúan sobre él, figura 3-7b. La magnitud de F (^) D es igual al peso de la caja, es decir, F (^) D 200 (9.81) N 1962 N 6 10 kN.
Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio a lo largo de los ejes x y y,
C i& (^) Y 0; & (^) # sen. 1962 N 0 (2)
cos.
i&X 0; & (^) # cos. & (^) " 0
A partir de la ecuación (1), F (^) C siempre es mayor que F (^) B puesto que cos … 1. Por lo tanto, la cuerda AC alcanzará la fuerza de tensión máxima de 10 kN antes que la cuerda AB. Al sustituir F (^) C 10 kN en la ecuación (2), obtenemos
. sen 1 (0.1962) 11.31° 11.3°
[10(10 3 ) N] sen. 1962 N 0
Resp. La fuerza desarrollada en la cuerda AB puede obtenerse al sustituir los valores de y F (^) C en la ecuación (1).
&" 9.81 kN
10 ( 103 ) N
cos 11.31°
Fig. 3-
F (^) D 1962 N
y
x
(b)
A
F (^) C
u F (^) B
94 C APÍTULO 3 E QUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
3
Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL. F3-1. La caja tiene un peso de 550 lb. Determine la fuerza en cada cable de soporte.
30
4
(^53)
A
B C
D
F3-
F3-2. La viga tiene un peso de 700 lb. Determine el cable ABC más corto que puede usarse para levantarla, si la fuerza máxima que puede soportar el cable es de 1500 lb.
10 pies
A C
B
u u
F3-
F3-3. Si el bloque de 5 kg se suspende de la polea B y la flecha de la cuerda es d 0.15 m, determine la fuerza en la cuerda ABC. No tome en cuenta el tamaño de la polea.
d 0.15m
D
A C
0.4 m
B
F3-
F3-4. El bloque tiene una masa de 5 kg y descansa sobre un plano inclinado liso. Determine la longitud sin estirar del resorte.
45
0.4 m
0.3 m
k 200 N/m
F3-
F3-5. Si la masa del cilindro C es de 40 kg, determine la masa del cilindro A a fin de sostener el ensamble en la posición mostrada.
40 kg
D
A
C
E
B 30
F3-
F3-6. Determine la tensión necesaria en los cables AB, BC y CD para sostener los semáforos de 10 kg y 15 kg en B y C, respectivamente. Además, determine el ángulo .
B
A C
D 15 ^ u
F3-
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
3
Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL.
•3-1. Determine la fuerza en cada cuerda para mantener el equilibrio de la caja de 200 kg. La cuerda BC permanece horizontal debido al rodillo en C, y AB tiene una longitud de 1.5 m. Considere y 0.75 m.
3-2. Si la cuerda AB de 1.5 m de largo puede soportar una fuerza máxima de 3500 N, determine la fuerza en la cuerda BC y la distancia y de modo que se pueda sostener la caja de 200 kg.
C B
A
2 m
y
Probs. 3-1/
3-3. Si la masa de la viga es de 3 Mg y su centro de masa se ubica en el punto G, determine la tensión desarrollada en los cables AB, BC y BD para lograr el equilibrio.
*3-4. Si los cables BD y BC pueden soportar una fuerza de tensión máxima de 20 kN, determine la viga con la masa máxima que puede colgarse del cable AB de forma que ninguno de los cables falle. El centro de masa de la viga se localiza en el punto G.
F (^) AB A
B C D G
45 30
Probs. 3-3/
•3-5. Los elementos de una armadura están conectados a la placa de refuerzo. Si las fuerzas son concurrentes en el punto O, determine las magnitudes F y T para lograr el equilibrio. Considere 30°. 3-6. La placa de refuerzo está sometida a las fuerzas de cuatro elementos. Determine la fuerza en el elemento B y su orientación adecuada para lograr el equilibrio. Las fuer- zas son concurrentes en el punto O. Considere F 12 kN.
5 kN
A
B C
D
T
O
45
u
F
8 kN
Probs. 3-5/
3-7. El suspensor de remolque AB está sometido a la fuer- za de 50 kN ejercida por un remolcador. Determine la fuerza en cada una de las retenidas BC y BD, si el barco se mueve hacia delante con velocidad constante.
30
A
B
D C
50 kN
20
Prob. 3-
PROBLEMAS
3.3 S ISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES 9 5
3
*3-16. Determine la tensión desarrollada en los cables CA y CB que se requiere para lograr el equilibrio del cilin- dro de 10 kg. Considere 40°.
•3-17. Si el cable CB está sometido a una tensión que es dos veces mayor que la del cable CA, determine el ángulo necesario para lograr el equilibrio del cilindro de 10 kg. Además, ¿cuáles son las tensiones en los cables CA y CB?
30°
A B
C
u
Probs. 3-16/
3-18. Determine las fuerzas necesarias en los cables AC y AB para mantener en equilibrio la bola D de 20 kg. Considere F 300 N y d 1 m.
3-19. La bola D tiene masa de 20 kg. Si se aplica una fuerza F 100 N de manera horizontal en el anillo locali- zado en A, determine la dimensión d necesaria para que la fuerza en el cable AC sea igual a cero.
A
C
B
F
D
2 m
1.5 m
d
Probs. 3-18/
*3-20. Determine la tensión desarrollada en cada cable usado para sostener el candelabro de 50 kg. •3-21. Si la tensión desarrollada en cada uno de los cua- tro cables no debe exceder 600 N, determine la masa máxi- ma del candelabro que se puede sostener.
A
B
D
C 30
30
45
Probs. 3-20/
J3-22. Una fuerza vertical P 10 lb se aplica a los extre- mos de la cuerda AB de 2 pies y del resorte AC. Si el resor- te tiene una longitud no alargada de 2 pies, determine el ángulo necesario para el equilibrio. Considere k 15 lb>pie. 3-23. Determine la longitud no alargada del resorte AC si una fuerza P 80 lb genera el ángulo 60° para la posición de equilibrio. La cuerda AB tiene 2 pies de longi- tud. Considere k 50 lb>pie.
2 pies
k
2 pies
A
B C
P
u
Probs. 3-22/
3.3 S ISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES 9 7
98 C APÍTULO 3 E QUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
3
A
B
E
C
(^4) D 3
5 30
30
Probs. 3-24/
D A
C
F
E
B
u
30 45
Probs. 3-26/
C
30
20 mN
20 mN
30
B
u
A
Prob. 3-
12 5
13
B
A
C
D
u
Prob. 3-
*3-24. Si la cubeta pesa 50 lb, determine la tensión desa- rrollada en cada uno de los cables. •3-25. Determine el peso máximo de la cubeta que puede sostener el sistema de cables, de forma que ninguno de los cables desarrolle una tensión superior a 100 lb.
*3-28. Dos esferas A y B tienen igual masa y están carga- das electrostáticamente de manera que la fuerza repulsiva que actúa entre ellas tiene una magnitud de 20 mN y está dirigida a lo largo de la línea AB. Determine el ángulo , la tensión en las cuerdas AC y BC y la masa m de cada esfera.
3-26. Determine las tensiones desarrolladas en los cables CD, CB y BA y el ángulo requerido para lograr el equili- brio del cilindro E de 30 lb y el cilindro F de 60 lb. 3-27. Si el cilindro E pesa 30 lb y 15°, determine el peso del cilindro F.
•3-29. Cada una de las cuerdas BCA y CD puede sopor- tar una carga máxima de 100 lb. Determine el peso máximo de la caja que puede ser levantado a velocidad constante, y el ángulo necesario para mantener el equilibrio. No tome en cuenta el tamaño de la pequeña polea en C.
100 C APÍTULO 3 E QUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
3
A
O
C
B 1 pie
2 pies
F
D 2 pies
2 pies
Prob. 3-
d
C A
B
12 pulg
k
u
Probs. 3-37/
C
D B
A
1 pie
1.5 pies
Prob. 3-
A k^ ^ 800 N/m B
D 500 mm 400 mm
400 mm
300 mm
C
Prob. 3-
*3-36. El tanque de dimensiones uniformes y 200 lb de peso está suspendido por medio de un cable de 6 pies de longitud, el cual está unido a dos lados del tanque y pasa sobre la pequeña polea localizada en O. Si el cable puede unirse a los puntos A y B o C y D, determine cuál unión produce la menor tensión en el cable. ¿Cuál es el valor de esta tensión?
•3-39. Se construye una “balanza” con una cuerda de 4 pies de longitud y el bloque D de 10 lb. La cuerda está fija a un pasador situado en A y pasa sobre dos pequeñas poleas en B y C. Determine el peso del bloque suspendido B si el sistema está en equilibrio.
•3-37. El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio del resorte que tiene una rigidez k 10 lb>pulg y una longitud sin estirar de 12 pulg. Determine la distancia d a la que se ubica el peso cuando éste se encuentra en equilibrio. 3-38. El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio de un resorte. Si el resorte tiene una longitud sin estirar de 8 pulg y el peso está en equilibrio cuando d 4 pulg, determine la rigidez k del resorte.
- *3-40. El resorte tiene una rigidez k 800 N>m y una longitud no alargada de 200 mm. Determine la fuerza en los cables BC y BD cuando el resorte se mantiene en la posi- ción mostrada.
3
3.3 S ISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES 1 0 1
•3-41. Un cable continuo con longitud total de 4 m se enrolla alrededor de las pequeñas poleas en A, B, C y D. Si cada resorte se estira 300 mm, determine la masa m de cada bloque. No tome en cuenta el peso de las poleas y las cuerdas. Los resortes están sin estirar cuando d 2 m.
- 3-43. La cubeta y su contenido tienen una masa de 60 kg. Si el cable BAC tiene 15 m de longitud, determine la dis- tancia y de la polea ubicada en A necesaria para lograr el equilibrio. No tome en cuenta el tamaño de la polea.
3-42. Determine la masa de cada uno de los dos cilindros si éstos ocasionan una comba de s 0.5 m cuando se cuel- gan de los anillos en A y B. Observe que cuando los cilin- dros se retiran, s 0.
- *3-44. Una balanza se construye con la masa de 10 kg, el platillo P de 2 kg, y el arreglo de polea y cuerda. La cuerda BCA tiene 2 m de longitud. Si s 0.75 m, determi- ne la masa D en el platillo. No tome en cuenta el tamaño de la polea.
B C
A
k 500 N/m
k 500 N/m
d
D
Prob. 3-
2 m 1 m 2 m
1.5 m
s
A B
C D
k 100 N/m k 100 N/m
Prob. 3-
2 m y
C
B
A
10 m
Prob. 3-
1.5 m
0
s
P
D
A C
B
1.5 m
Prob. 3-
3
Procedimiento para el análisis
Los problemas de equilibrio de fuerzas tridimensionales para una partícula pueden resolverse por el siguiente procedimiento.
Diagrama de cuerpo libre.
- Establezca los ejes^ x,^ y,^ z^ en cualquier orientación adecuada.
- Marque todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas cono- cidas y desconocidas sobre el diagrama.
- El sentido de una fuerza que tenga magnitud desconocida pue- de suponerse.
Ecuaciones de equilibrio.
- Use las ecuaciones escalares de equilibrio,^ ©F^ x ^ 0,^ ©F^ y ^ 0, ©F (^) z 0, en los casos en que sea fácil descomponer cada fuerza en sus componentes x, y, z.
- Si la geometría tridimensional le parece difícil, entonces expre- se primero cada fuerza como un vector cartesiano en el diagra- ma de cuerpo libre, sustituya esos vectores en ©F 0 , y después iguale a cero las componentes i, j, k.
- Si la solución para una fuerza da un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado en el diagrama de cuerpo libre.
3.4 Sistemas de fuerzas tridimensionales
En la sección 3.1 establecimos que la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula es
©F 0 (3-4)
En el caso de un sistema de fuerza tridimensional, como el de la figura 3-9, podemos descomponer las fuerzas en sus respectivas componentes i, j, k, de manera que ©F (^) x i ©F (^) y j ©F (^) z k 0. Para satisfacer esta ecuación requerimos
i& (^) Z 0
i& (^) Y 0
i& (^) X 0 (3-5)
Estas tres ecuaciones establecen que la suma algebraica de las compo- nentes de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula a lo largo de cada uno de los ejes coordenados debe ser igual a cero. Si las utilizamos, podremos resolver un máximo de tres incógnitas que por lo común se representan como ángulos o magnitudes de fuerzas los cuales se mues- tran en el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
3.4 S ISTEMAS DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES 1 0 3
F (^3) F (^2)
F (^1)
x
y
z
Fig. 3-
El anillo en A está sometido a la fuerza del gancho, así como a las fuerzas de cada una de las tres cadenas. Si el electroimán y su carga tienen un peso W, entonces la fuerza del gan- cho será W y las tres ecuaciones escalares de equilibrio pueden aplicarse al diagrama de cuerpo libre del anillo, a fin de determinar las fuerzas en las cadenas, F (^) B , F (^) C y F (^) D.
A
D
B C
F (^) C F (^) D F (^) B
W
104 C APÍTULO 3 E QUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
3
EJEMPLO 3.
Una carga de 90 lb está suspendida del gancho que se muestra en la figura 3-10a. Si la carga se sostiene mediante dos cables y un resor- te con rigidez k 500 lb>pie, determine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte para lograr la posición de equi- librio. El cable AD se encuentra en el plano x-y y el cable AC está en plano x-z.
SOLUCIÓN
El alargamiento del resorte se puede determinar una vez que se haya calculado la fuerza que hay en él.
Diagrama de cuerpo libre. Se selecciona la conexión en A para el análisis del equilibrio puesto que las fuerzas presentes en los cables son concurrentes en este punto. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-10b.
Ecuaciones de equilibrio. Por inspección, cada fuerza se puede separar fácilmente en sus componentes x, y, z y, por lo tanto, es posible aplicar directamente las tres ecuaciones escalares de equi- librio. Si consideramos las componentes dirigidas a lo largo de los ejes positivos como “positivas”, tenemos
(1) (2) i&Z 0; 35 &# 90 lb 0 (3)
i&Y 0; &$ cos 30° &" 0
i& (^) X 0; &$ sen 30° 45 &# 0
Al despejar F (^) C de la ecuación (3), luego F (^) D de la ecuación (1) y finalmente F (^) B de la ecuación (2), se obtiene
F (^) C 150 lb Resp. F (^) D 240 lb Resp. F (^) B 207.8 lb Resp.
Entonces, el alargamiento del resorte es
S (^) !" 0.416 pie
207.8 lb (500 lbpie)S!"
& " KS !"
Resp.
NOTA: como los resultados para todas las fuerzas en los cables son positivos, cada uno de los cables se encuentra en tensión; es decir, jala desde el punto A como era de esperarse, figura 3-10b.
x
y
Z
(a)
30
C
90 lb
A
5 3 4 k = 500 lbpie B D
Fig. 3-
y
x
z
(b)
30
90 lb
A
5 3 4
F (^) C
F (^) B
F (^) D
