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Rapp: libro para ingeniería referente a la geodesia geometrica
Tipo: Monografías, Ensayos
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Escrito en Inglés por Richard H. Rapp (Abril de 1991)
Revisado y Traducido al Español por Oscar A. Cifuentes [email protected] (Enero de 2001)
Observatorio Geodésico Integrado Transportable TIGO Concepción - Chile
Julio de 2001
ii
A partir del siglo XVIII, la forma precisa de la Tierra fue reconocida como un elipsoide de revolución; desde entonces, el posicionamiento geodésico sobre la superficie de la Tierra ha venido efectuándose mediante mediciones que son idealmente reducidas a un elipsoide para análisis adicional a través de los ajustes de datos. Por ello, es importante entender las propiedades básicas del elipsoide y las curvas sobre su superficie, las cuales son pertinentes a los cálculos geodésicos.
La información aquí proporcionada es la base de un curso consistente en cuarenta lecciones de geodesia geométrica, dictado en la Universidad Estatal de Ohio (OSU), Estados Unidos de Norteamérica. En el desarrollo del curso no todo el material puede ser cubierto, excepto citándolo como referencia.
El desarrollo de las herramientas matemáticas para el análisis de la geometría del elipsoide con propósitos geodésicos ha sido utilizado durante varios siglos. Estos apuntes toman ventaja de las derivaciones previas del material. Aunque uno podría pensar que todo lo que se necesita ya ha sido derivado, es una idea falsa. Hoy día, nuevas técnicas continúan publicándose para mejorar eficientemente los cálculos y la precisión. Tales antecedentes han sido incluidos en el texto, cuando es apropiado.
Estas notas son una traducción del texto Geometric Geodesy, Part I, desarrollado por el profesor Dr. Richard H. Rapp en sus clases en la OSU, desde 1975. La Escuela Cartográfica de Defensa del Servicio Geodésico Interamericano tiene una traducción al Español del texto original fechada en junio de 1988. No obstante, la obtención de una copia de ese material al finalizar la presente versión, se entrega para dominio público esta nueva edición. El profesor Rapp ha consentido la publicación de esta nueva versión en la página web del Instituto Geográfico Militar.
En esta traducción se ha complementado el texto con definiciones, notas y algoritmos que contribuyen a llenar un vacío que existía en esta materia. El propósito para efectuar este trabajo no es otro que poner al alcance de los estudiantes hispanos en geomensura, geociencias en general y especialidades relacionadas, el material que el traductor recopiló durante sus estudios de postgrado en ciencias de la geodesia desarrollados en la OSU.
El traductor agradece al profesor R. H. Rapp la gentileza de permitir esta publicación y al profesor Kennet Brace del National Imagery and Maping Agency por enviar una copia de la versión traducida en Junio de 1988. También se agradece a la Señorita Lucía Álvarez G. del Instituto Geográfico Militar, quién llevó al computador gran parte del texto y fórmulas.
v
6.1 Introducción 118 6.2 Desarrollo de Series en Potencias de s (Legendre) 119 6.2.1 El Problema Directo 119 6.2.2 La Solución Inversa 125 6.3 Las Fórmulas de Puissant 127 6.3.1 El Problema Directo 127 6.3.2 El Problema Inverso 134 6.4 Las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss 135 6.5 Las Fórmulas de Bowring 140 6.6 El Método de la Cuerda 142 6.6.1 El Problema Inverso 142 6.6.2 El Problema Directo 142 6.7 Exactitud de los Métodos Directo e Inverso para Líneas de Longitud Mediana 146 6.8 El Problema Inverso para las Coordenadas Rectangulares Espaciales 148
7.1 Coordenadas Astronómicas 156 7.2 Comparación de Cantidades Angulares Astronómicas y Geodésicas 159 7.2.1 Corrección de Dirección por Efecto de la Deflexión de la Vertical 168 7.2.2 Ecuación Extendida de Laplace 169 7.3 Ondulación Astrogeodésica del Geoide 170 7.4 Reducción de Distancias Medidas al Elipsoide 175
8.1 Fórmulas Diferenciales del Primer Tipo 180 8.2 Fórmulas Diferenciales del Segundo Tipo 188
1
La producción de mapas envuelve la determinación espacial de elementos sobre la superficie de la Tierra y la transformación de sus posiciones en un plano. Las posiciones geográficas son especificadas mediante coordenadas geodésicas. Para establecer un sistema de coordenadas geodésico debemos primero conocer la forma y tamaño de la Tierra.
La Tierra es una figura geométrica muy suave. Para nosotros la Tierra parece muy accidentada, pero aún los más altos montes y fosas oceánicas son casi imperceptibles en comparación con la suave curvatura superficial. Para comprobarlo imaginemos la Tierra como una esfera de 1 m en diámetro. El Monte Everest podría sobresalir como un abultamiento de 1,25 mm de altura y la Fosa Mariana se vería como un rasguño de 1,73 mm de profundidad.
Desde el advenimiento de la era espacial, con el lanzamiento del primer satélite Sputnik, se ha generado un incremento en la demanda del conocimiento preciso de los sistemas de referencia geodésicos, como base para la determinación de coordenadas tanto en la superficie de la Tierra como en el espacio. Del mismo modo, las agencias nacionales deben proveer las redes geodésicas nacionales con la más alta precisión para cubrir las aplicaciones de posicionamiento, navegación y proyectos de diferente orden que requieren de relaciones espaciales. Los geodestas son los encargados de satisfacer estas necesidades, y para ello utilizan metodologías rigurosas de medición y de análisis de resultados. En el presente texto se vierten las bases teóricas del pilar fundamental de la geodesia, la geodesia geométrica.
1.1 Definiciones y Clasificación de la Geodesia
Siguiendo la definición clásica de Helmert (1887), “Geodesia es la ciencia que estudia el tamaño, figura y campo gravitacional de la Tierra”
La palabra geodesia viene del griego, literalmente significa “dividir de la tierra”, y como primer objetivo la práctica de la geodesia debería proveer un marco preciso para el control de las mediciones topográficas nacionales. Por ello geodesia es la ciencia que determina el tamaño y la forma de la Tierra y las relaciones de puntos seleccionados sobre la superficie de ella mediante el uso de técnicas directas o indirectas. Estas características hacen de esta ciencia una rama de las matemáticas aplicadas, la que debe incluir observaciones que puedan ser usadas para determinar el tamaño y forma de la Tierra y la definición de sistemas de coordenadas para posicionamiento en 3D; la variación de fenómenos cercanos a o sobre la superficie, tales como gravedad, mareas, rotación de la Tierra, movimientos de la corteza y deflexión de la línea de plomada; en conjunto con unidades de medida y métodos de representación de la superficie de una Tierra curvada sobre una hoja de papel plano. (Smith,
Una definición mas contemporanea para geodesia es “ Ciencia interdisciplinaria que utiliza medios espaciales y medios aéreos remotamente censados, y mediciones basadas en la
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Tierra para estudiar la forma y el tamaño de la Tierra, los planetas y sus satélites, y sus cambios; para determinar en forma precisa posiciones y velocidades de puntos u objetos que se encuentran en la superficie u orbitando el planeta, dentro de un sistema de referencia terrestre definido, y para utilizar ese conocimiento a una variada gama de aplicaciones científicas y de ingeniería, usando las ciencias matemática, física, astronómica y computacional ”^1.
De lo anterior, podemos inferir que existen varias ramas en geodesia, entre ellas: Geodesia Geométrica, Geodesia Física, Geodesia Astronómica, Geodesia Satelital, Geodesia Planetaria y Geodesia Marina.
Geodesia puede ser dividida en tres áreas: Geodesia Global, Mediciones Geodésicas Nacionales y Mediciones Planas. Geodesia global es responsable por la figura de la Tierra y el campo de gravedad externo. Las mediciones geodésicas establecen los fundamentos para la determinación de la superficie y el campo de gravedad externo de un país. Esto es materializado mediante coordenadas y valores de gravedad en un número suficientemente grande de puntos de control, arreglados en redes de control gravimétricas y geodésicas. En este trabajo fundamental, deben ser consideradas la curvatura y el campo de gravedad de la Tierra. En mediciones planas (mediciones topográficas, catastrales o ingenieriles), es obtenido el detalle del terreno. En las mediciones geodésicas se utiliza un elipsoide de referencia para las posiciones horizontales. En mediciones planas, generalmente es suficiente el plano horizontal. (Torge, 1991)
1.2 Geodesia y Otras Disciplinas
Es tarea de la geodesia la definición de los sistemas de referencia y su materialización mediante una red de puntos de control para el conocimiento de las relaciones espaciales que existen en la Tierra. El uso primario de una red geodésica es georreferenciar la cartografía, la cual representa, mediante el uso de una proyección cartográfica las relaciones espaciales del terreno sobre una hoja de papel. Así podemos encontrar la geodesia relacionada con otras áreas de estudio, como por ejemplo: Ciencia espacial: esta requiere el conocimiento del campo de gravedad externo, de la superficie de referencia terrestre, del sistema de referencia inercial o espacio fijo, y del sistema de referencia geocéntrico o de tierra fija. Astronomía: la geodesia determina el sistema de referencia casi inercial empleando técnicas de radioastronomia; para ello, utilizando interferometría de base muy larga, desarrolla observaciones de señales extragalácticas provenientes de quasares distantes entre 3 a 15
(^1) Ohio State University, Geodesy.
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Finalmente, en el siglo IV a.C. Aristóteles dio argumentos de porqué la Tierra debería tener forma esférica. Algunas razones específicas que fueron mencionadas son:
Los sucesos siguientes ahora están relacionados con la determinación del tamaño de la tierra esférica. Aunque otras determinaciones se hubieran hecho antes, el primer intento para lograr una determinación precisa (en esa época), se le atribuye a Eratóstenes de Egipto. Los acontecimientos en Egipto fueron una continuación natural a los adelantos hechos en agrimensura con propósitos catastrales.
En el año 230 a.C., Eratóstenes, director de la gran biblioteca egipcia en Alejandría, realizó su famoso experimento a fin de determinar el tamaño de la tierra esférica. Para ello efectuó observaciones en dos ciudades egipcias, Alejandría y Siene (ahora Aswam), ubicadas ambas casi en el mismo meridiano. En la ciudad más al sur, Siene, los rayos del sol iluminaban directamente el fondo de un profundo pozo en el solsticio de verano, indicándo que el sol estaba directamente arriba. Al año siguiente, en Alejandría se midió, al mediodía, la longitud de una sombra proyectada por el gnomon de un reloj solar. Dicha longitud fue de 1/50 de 360° (7°12’) y fue el ángulo subtendido en el centro de la tierra entre Siene y Alejandría, según se muestra en la Figura 1.1.
Figura 1.1 Geometría de la Medición de Eratóstenes
Rayos Solares
θ
θ
s
Pozo
SIENE
ALEJANDRÍA R
5
Si la distancia s, entre las dos ciudades pudiera deteminarse, y el ángulo θ, representara la fracción de un círculo, la circunferencia de la Tierra sería s / θ. Alternadamente, el radio de la tierra sería s / θ si θ estuviese ahora en radianes.
La determinación de la distancia entre ambas ciudades fue una materia dificil. La distancia mayormente citada (la usada por Eratóstenes), es el valor redondeado de 5000 estadios. Esta distancia fue probablemente determinada por contadores de pasos egipcios “quienes determinaban distancias para los mapas egipcios”. Con este valor la circunferencia de la tierra fue de 250.000 estadios. Otros cálculos indicaron que la circunferencia según la determinó Eratóstenes era de 252.000 estadios, lo que quizás hubiera estado basado en una distancia más específica.
La longitud de 1 estadio es, aproximadamente, 157,5 metros, lo que nos da un radio de 6. Krn, un 1,6 por ciento más pequeño que el actual radio medio.
El método usado por Eratóstenes estaba sujeto a una serie de errores. Por ejemplo, Alejandría y Siene no están en el mismo meridiano, ni el Sol estaba directamente sobre el cenit al momento de la medición. No obstante, el método funcionó bastante bien.
Esta experiencia fue repetida por Posidonio en el siglo primero A.C. En ese cálculo se midió un arco a lo largo de un meridiano, desde Rodas hasta Alejandría. La separación angular se determinó usando la estrella Canopus. Cuando ésta rasaba el horizonte en Rodas se hallaba en un ángulo de 1/48 de un círculo completo en Alejandría. En consecuencia, la separación angular entre las dos ciudades fue 7,5°. Por mediciones basadas en trayectos de buques de vela se determinó que la distancia entre ambas poblaciones era de 5000 estadios. Esto significó un radio inferior en 5,6 % de los cálculos presentes. Sucedió que la medición angular y de distancia se mejoraron, aunque de una manera proporcional para que el resultado fuere aproximadamente correcto. Por otro lado se rumorea que Posidonio no efectuó las mediciones antes descritas, sino que más bien sólo discutió someramente el método.
En los siglos subsiguientes poco se hizo sobre estudios relacionados con la figura de la Tierra. En el siglo IX, el califa Almamún mandó realizar nuevas mediciones cerca de Bagdad, Iraq, en la planicie del río Eufrates. En esta aplicación se usaron varas de madera para medir la extensión de un grado de latitud. Después de considerar el habitual problema de conversión de unidades, las mediciones dieron un radio 10% más grande.
En el siglo XVII, Snellius llevó a cabo mediciones a lo largo de un meridiano en los Países Bajos. Por primera vez usó un procedimiento de triangulación midiendo ángulos con un minuto de precisión. Combinando esa medición con las latitudes astronómicas hechas en los puntos finales del arco meridiano, Snellius determinó el tamaño de la Tierra esférica usando el método básico de Eratóstenes. Una segunda determinación del radio (o realmente el cuadrante del meridiano), dio un resultado de 3,4% más pequeño. Van Musschenbroek (sucesor de Snellius) realizó trabajos adicionales obteniendo un radio terrestre mejorado.
Fue en esa época cuando comenzó la era de la geodesia esférica. En realidad se inició en 1666 cuando se estableció la Académe Royale des Sciencies con el fin de efectuar mediciones para la preparación de un mapa preciso de Francia y la determinación del tamaño de la Tierra.
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meridiano de 1° era superior en las regiones polares que en las ecuatoriales. Este resultado concordó con las teorías de Newton e implicó que la figura de la Tierra podría representarse por un elipsoide ligeramente achatado en los polos, según se observa en la Figura 1.3:
Figura 1.3 Elipse Achatada en los Polos
Un cálculo actual del radio ecuatorial (a) de la Tierra es de 6378137 metros. El achatamiento
( a
a b f
= ) es aproximadamente 1/298.257, lo que significa una diferencia de 21.7 km. entre
el radio ecuatorial y el radio polar.
Se efectuaron otras mediciones -Svanberg (1805) en Suecia, Lacaille (1751) en Sudáfrica, Gauss (1821-23), Bessel (1831-38)- para verificar y perfeccionar el conocimiento del tamaño y forma de la Tierra. Hoy día continúan estudios para refinar tales conocimientos. Al disponer de mejoradas técnicas de medición se hizo evidente el definir más exactamente lo que llamamos la figura de la Tierra.
Para hacerlo, consideremos la superficie topográfico real de la Tierra, y una superficie estrechamente asociada con la superficie del océano. Reconocemos que los océanos comprenden aproximadamente el 70% de la superficie terrestre. Por tanto es correcto visualizar la figura del Tierra como aquella de la superficie oceánica. En l872-73, Listing introdujo el concepto del geoide como la superficie del mar imperturbable y su continuación en los continentes. El elipsoide de los estudios previos ahora se convirtió en una aproximación al geoide.
En 1884, Helmert definió con mayor precisión el geoide identificándolo como un océano sin peregrinaciones tales como las causadas por mareas, vientos, olas, temperaturas, presión diferencias en salinidad, etc. Este geoide se consideró como una superficie equipotencial del
a
b
8
campo de gravedad de la Tierra. El geoide en áreas continentales se visualizaría por el nivel del agua en infinitamente pequeños canales “secos” en tierra.
Por desgracia, la definición del geoide antes mencionada no es totalmente realizable. Esto es así porque la superficie del océano es una superficie dinámica, en constante cambio debido a tantas corrientes, etc. Sin embargo, estos efectos generalmente ocurren a un metro de nivel por lo que para muchos propósitos podemos identificar el nivel medio del mar como el geoide.
De nuevo indicamos que ahora se usa el elipsoide para aproximarnos al geoide. Aunque hay varios tipos de elipsoide, el usado mayormente en geodesia es un elipsoide de revolución (alrededor del eje menor) que es simétrico con respecto al Ecuador. Otro es el elipsoide triaxial, en el cual el Ecuador es una elipsoide. No obstante, los cálculos en un elipsoide triaxial son bastantes complicados con respecto a los del elipsoide biaxial rotacional simétrico. Consecuentemente, en este tema de geodesia geométrica nos concentraremos en la geometría e importancia geodésica del elipsoide.
Usando una sección meridiana de la Tierra, en la Figura 1.4, se representan las distintas superficies que hemos estado revisando.
Figura 1.4 Relación entre Elipsoide, Terreno y Geoide
Podríamos poner en perspectiva las magnitudes de varias cantidades de interés. Recuérdese que el radio ecuatorial de la Tierra es aproximadamente 6378137 metros. Con respecto a un elipsoide cuyo centro está en el centro de la tierra, la desviación estandar de la ondulación del geoide (N) es 30.56 m con valores extremos aproximados de –107 m y 85 m. Finalmente, el terreno tiene una elevación máxima con respecto al nivel medio del mar de unos 9 km.
La información histórica descrita aquí ha sido basada en dos documentos de Irene Fisher (1975a, 1975b).
a
b
Superficie Topográfica
Geoide
H
N
h
Elipsoide
10
sin
x^3 x^5 x^7 x x (2.5)
2.2 Las Series Binomiales
Otra serie útil es la serie binomial, la cual puede ser escrita como:
( 1 ± x ) n^ = 1 ± nx + n ( n 2 −!^1 ) x^2 ± n ( n −^13 )(! n −^2 ) x^3 +−− − (2.6)
Los coeficientes de x , x^2 , x^3 , etc. son llamados coeficientes binomiales.
Las series binomiales existen por integración o exponentes fraccionales positivos o negativos y siempre convergen si x < 1. Las expresiones siguientes son series binomiales útiles:
1 −^1 x =^1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +...
1 +^1 x =^1 − x + x^2 − x^3 + x^4 −^ ...
( 1 +^1 x^ )^2 =^1 −^2 x +^3 x^2 −^4 x^3 +^5 x^4 −^ ...
( 1 −^1 x^ )^2 =^1 +^2 x +^3 x^2 +^4 x^3 +^5 x^4 +^ ... (2.7)
1 + x = 1 + 21 x − 81 x^2 + 161 x^3 − 1285 x^4 + 2567 x^5 − 102421 x^6 + 204833 x^7 −...
1 − x = 1 −^12 x − 81 x^2 − 161 x^3 − 1285 x^4 − ...
11 +^ x =^1 −^21 x +^83 x^2 −^165 x^3 +^12835 x^4 −^25663 x^5 +^1024231 x^6 −^2048429 x^7 +^ ...
11 −^ x =^1 +^12 x +^83 x^2 +^165 x^3 +^12835 x^4 +^ ...
11
1 − x^2 = 1 − 21 x^2 − 81 x^4 − 161 x^6 − 1285 x^8 − 2567 x^10 − ...
11 − x^2 =^1 +^21 x^2 +^83 x^4 +^165 x^6 +^12835 x^8 +^25663 x^10 +^ ...
2.3 Inversión de Series
Otras importantes series relacionadas son las series de inversión. Un tipo relaciona la inversión de series de convergencia algebraica, mientras que otro relaciona la inversión de series trigonométricas. Considere primero las siguientes series de potencias:
y = a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 + a 4 x^4 +... (2.8)
La inversión de (2.8) se transforma en la forma general:
x = A 1 y + A 2 y^2 + A 3 y^3 + A 4 y^4 +... (2.9)
donde:
1
1
a
2 (^2) a
a A =−
1
A 3 (^) = (^) a a − aa (2.10)
1
A 4 (^) = a aaa − a a − a
