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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
TEMA:
INTERÉS COMPUESTO
**1. Conceptos Básicos
- Monto o Valor Futuro a Interés Compuesto
- Valor Actual a Interés Compuesto
- Cálculo del Tiempo y la Tasa de Interés a partir de la** **Fórmula S=P(1+i)n
- Equivalencia entre Tasa de Interés Simple y Tasa de Interés Compuesto
- Equivalencia entre Tasas de Interés Compuesto
- Tasa de Interés Nominal y Tasa de Interés Efectiva
- Elección entre varias Opciones de Pago o Alternativas de Inversión a Interés Compuesto
- Descuento de Pagarés a Interés Compuesto
- Ecuaciones de Valores Equivalentes a Interés Compuesto
- Tiempo Equivalente
- Pagos Parciales. Regla Comercial y Regla de los Saldos
- Resumen de Fórmulas Relativas al Interés Compuesto
- Tabla para el Cálculo del Tiempo Exacto entre Dos Fechas**
AUTOR:
tulio a. Mateo Duval
Santo Domingo, D. N. Rep. Dom.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
■ INTERÉS COMPUESTO
1. CONCEPTOS BÁSICOS
En las transacciones financieras efectuadas a interés simple el capital permanece constante durante todo el lapso convenido, en cambio en las realizadas a interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, ya que a intervalos establecidos, el interés generado es agregado al capital, formando cada vez un nuevo capital. En este caso, se dice que el interés es capitalizable o convertible en capital y, en consecuencia, también gana interés. Si los intereses producidos en cada periodo se calculan sobre capitales cada vez mayores, dado que incluyen los intereses de periodos anteriores, se le denomina interés compuesto al que se paga sobre capitales que se incrementan de ese modo.
En el interés compuesto, se conoce como tasa nominal ( j ) a la tasa de interés cargada a una transacción, la cual es habitualmente considerada anual, aunque los intereses no siempre sean sumados anualmente al capital. Es común que el interés también se capitalice en forma semestral, trimestral, bimestral, mensual, semanal o diariamente. El periodo de capitalización o periodo de conversión es el intervalo de tiempo existente entre dos capitalizaciones sucesivas, y el número de veces por año en las que los intereses se capitalizan se conoce como frecuencia de capitalización o frecuencia de conversión (m). A continuación se muestran los valores de las frecuencias de capitalización o de conversión (m) más usuales 1.
C APITALIZACIÓN DE INTERESES F RECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN (m)
Anual 1 Semestral 2 Cuatrimestral 3 Trimestral 4 Bimestral 6 Mensual 12 Quincenal 24 Semanal 52 Diaria 360 ó 365
Al trabajar a interés compuesto se hace referencia a una tasa de interés, y con ésta ordinariamente quedan definidas la tasa nominal “j ” (tasa anual), el periodo de capitalización y la frecuencia de capitalización “m”. A seguidas se presentan varias formas de expresar la misma tasa de interés:
16% anual capitalizable trimestralmente 16% anual convertible trimestralmente 16% compuesto capitalizable trimestral 16% compuesto convertible trimestral 16% compuesto trimestral 16% nominal trimestral 2
Si la tasa de interés se indicara sin hacer referencia a la forma de capitalización, se asume que la misma se efectúe anualmente.
Es necesario que al realizar un cálculo a interés compuesto la tasa de interés de exprese en la misma unidad de tiempo que el periodo de capitalización. Es decir, debe obtenerse la denominada tasa de interés por periodo de
(^1) Los periodos de capitalización pueden ser tan pequeños como se desee, pudiéndose llegar hasta una capitalización continua. (^2) En esta modalidad se usa la palabra nominal en vez de anual o compuesto , indicando con esto que esa es la tasa nominal , es decir, la tasa anual.
Lo de trimestral se refiere a la forma de capitalización de los intereses.
▶ Ejemplo 3
Resolver el Ejemplo 2 considerando una tasa del 6% compuesto capitalizable semestralmente. SOLUCIÓN:
P = $1,000.00 j = 6% m = 2 = = 6 2 = 3 %
m
j
i t = 3 años
n = 3 ∗ 2 = 6 semestres
PERIODO DE
CAPITALIZACIÓN
C APITAL AL INICIO
DEL PERIODO ($)
INTERÉS GANADO
EN EL PERIODO ($)
MONTO COMPUESTO AL
FINAL DEL PERIODO ($)
Interés compuesto = 1,194.05 – 1000.00 = $194.
2. MONTO O VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO
El monto (S) a interés compuesto es igual al capital inicial (P) más los intereses (I) resultantes de las sucesivas capitalizaciones contempladas en la transacción de que se trate, o sea:
S = P + I FÓRMULA MONTO COMPUESTO [5]
Para deducir otra fórmula que permita obtener directamente el monto compuesto, se ejecuta el mismo proceso seguido en el cuadro anterior, pero trabajando con un capital inicial “P” invertido a la tasa de interés “i” por periodo de capitalización y por “n” periodos de capitalización. Se puede verificar que el monto compuesto al término del primer periodo es P(1+i); el monto compuesto al final del segundo periodo es P(1+i) 2 ; el monto compuesto al final del tercer periodo es P(1+i) 3 , y así sucesivamente. Esta sucesión de montos forma una progresión geométrica cuyo n -ésimo término corresponde al monto compuesto (S) al final de “n” periodos de capitalización, el cual se obtiene mediante la fórmula:
S = P ( 1 + i )^ n FÓRMULA MONTO COMPUESTO [6]
donde “S” es el monto compuesto o valor futuro de un capital inicial “P”, “i” es la tasa de interés por periodo de capitalización y “n “ es el número total de periodos de capitalización.
A la diferencia entre el monto compuesto (S) y el capital inicial (P) se le llama interés compuesto (I), el cual puede obtenerse despejando a “ I “ de la fórmula [5]:
I = S − P FÓRMULA INTERÉS COMPUESTO [7] Sustituyendo en la fórmula anterior la expresión obtenida para el monto compuesto, obtenemos otra fórmula para calcular directamente el interés compuesto :
I = P ( 1 + i ) n^ − P Factorizando se tiene: I = P [( 1 + i ) n − 1 ] FÓRMULA INTERÉS COMPUESTO [8]
Por otra parte, el capital inicial “P” (inversión o deuda) se puede obtener despejando a “P” de la fórmula [5]: P = S – I [9]
También el capital inicial “P” (inversión o deuda) se deduce al despejar a “P” de la fórmula [8], resultando:
[ ( 1 + ) − 1 ]
= (^) n i
I P [10]
▶ Ejemplo 4
¿Cuánto se acumulará al cabo de 2 años si se depositan $200,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el 12.6% anual convertible mensualmente?
SOLUCIÓN: P = $200,000.00 j = 12.6% m = 12 i = 12.6/12 = 1.05% t = 2 años n = 2 ∗ 12 = 24 meses S =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene:
S = 200 , 000 ( 1 + 0. 0105 )^24 =$ 256 , 981. 36
▶ Ejemplo 5
Obtenga el valor futuro de un capital de $50,000.00 invertido al 8% anual capitalizable cuatrimestralmente al cabo de 3 años y 5 meses.
SOLUCIÓN: P = $50,000.00 j = 8% m = 3 i = 0.08/3 4 t = 3 años 5 meses
n 3 10. 25 cuatrimest res
= S =?
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene:
S = 50 , 000 ( 1 + 0. 083 )^10.^25 =$ 65 , 482. 015
▶ Ejemplo 6
Hallar el monto compuesto de $426,500.00 al cabo de 6 años y 7 meses, si los dos primeros años generan intereses al 6% compuesto convertible quincenal y el tiempo restante al 2¾% semestral.
SOLUCIÓN: 1 ER. TRAMO P = $426,500.00 j = 6% m = 24 i = 6/24 = 0.25% quincenal t = 2 años n = 2 ∗ 24 = 48 quincenas S 1 =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene:
S 1 = 426 , 500 ( 1 + 0. 0025 )^48 =$ 480 , 805. 40
2 DO. TRAMO
P = S 1 = $480,805.40 i = 2.75% semestral m = 2 t = 4 años 7 meses
n semestres
= S^ =?
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene el valor del monto compuesto pedido:
S = 480 , 805. 40 ( 1 + 0. 0275 )^55 6 =$ 616 , 551. 63
(^4) Esta vez “j” entre “m” se deja expresado, ya que, de dicho cociente, resulta un número con infinitas cifras decimales que no se debe redondear. (^5) Aunque la fórmula del monto compuesto se obtuvo considerando un número entero de periodos de capitalización, dicha fórmula también puede
usarse cuando se tienen fracciones de periodo. Al trabajar de esta forma (que es la que aquí se empleará), se dice que se calcula con el método teórico o exacto. Otra manera de hacerlo es con la llamada regla comercial , que consiste en obtener el monto compuesto para los periodos enteros de capitalización y luego el monto simple para la fracción de periodo, utilizando como capital el monto compuesto previamente obtenido.
▶ Ejemplo 10
¿Qué depósito debe ser efectuado en una cuenta de ahorros que abona una tasa del 13.5% anual capitalizable bimestralmente, si se desea tener disponibles $310,500.00 al cabo de 17 meses?
SOLUCIÓN: S = $310,500.00 j = 13.5% m = 6 i = 13.5/6 = 2.25% bimestral t = 17 meses
n 8. 5 bimestres
= ∗ = = P =?
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene:
P = 310 , 500 ( 1 + 0. 0225 )−^8.^5 =$ 256 , 994. 25
▶ Ejemplo 11
¿Cuánto debe invertirse ahora al 1.8% mensual para tener $408,340.11 en 2 años y 3 meses? ¿Cuánto se gana por concepto de intereses?
SOLUCIÓN: S = $408,340.11 i = 1.8% mensual m = 12 t = 2 años y 3 meses
n 12 27 meses
= P =?^ I =?
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene el valor de la inversión:
27
−
P
Sustituyendo los valores de “S” y “P” en la fórmula [7], se obtiene el interés generado:
I = 408 , 340. 11 − 252 , 250. 50 =$ 156 , 089. 61
4. CÁLCULO DEL TIEMPO Y LA TASA DE INTERÉS A PARTIR
DE LA FÓRMULA S = P (1 + i )
n
El tiempo requerido para que un capital “P”, colocado a una tasa de interés anual “j ” capitalizable “m” veces por año, es decir, a una tasa de interés por periodo “i”, alcance un monto “S”, se obtiene al despejar a “n” de la fórmula [6], resultando:
log i
log S P
n
= [12]
Como “n” representa el número total de periodos de capitalización, entonces el tiempo expresado en años 7 se calcula mediante la fórmula [4]:
m
n t (^) ( años )=
Igualmente la tasa de interés por periodo “i” a la que habría que prestar o invertir un capital ”P” para que en “n” periodos de capitalización alcance el monto “S”, se obtiene al despejar a “i” de la fórmula [6], resultando:
i = n^ ( SP )− 1 [13]
(^7) Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).
Luego de calculado el valor de “i”, si fuera preciso obtener la tasa anual de interés compuesto “ j ”, se procedería según la fórmula [2] a multiplicar el valor obtenido de “i” por la frecuencia de capitalización “m”, u obtenerla directamente de la multiplicación de “m” por la expresión anterior, resultando:
j = m [ n^ ( SP )− 1 ] [14]
▶ Ejemplo 12
¿Qué tiempo (años) es necesario para que una inversión de $41,400.00 efectuada al 12% anual capitalizable bimestralmente genere intereses ascendentes a $8,076.83?
SOLUCIÓN: P = $41,400.00 I = $8,076.83 S = P + I = $49,476. j = 12% m = 6 i = 12/6 = 2% bimestral n =? t =?
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se obtiene:
bimestres log
log n 9 ( 1 0. 02 )
( 49 , 476. 8341 , 400 )
=
El cálculo del tiempo (años) se realiza empleando la fórmula [4]:
t (^) años 1. 5 años 1 ½ años 6
9 ( )= = =
▶ Ejemplo 13
¿En qué tiempo (meses) fue saldada una deuda por $115,000.00, si la misma fue contraída al 1.5% mensual capitalizable cuatrimestralmente y se liquidó pagando la suma de $147,315.27?
SOLUCIÓN: P= $115,000.00 S = $147,315. j = 1.5 ∗ 12 = 18% 8 m = 3 i = 18/3 = 6% cuatrimestral n =? t =?
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se obtiene:
cuatrimest res
log
log
n 4. 25
Como los cuatrimestres son periodos de 4 meses, luego el tiempo pedido (meses) será:
t (^) ( meses )= 4. 25 ∗ 4 = 17 meses
▶ Ejemplo 14
Encuentre la fecha de cancelación de un crédito por $79,300.00, concertado el 14 de mayo, con intereses al 37.8% anual capitalizable diariamente, si el mismo fue saldado mediante el pago de $89,659.90. Use año comercial.
SOLUCIÓN: P = $79,300.00 S = $89,659. j = 37.8% m = 360 i = 37.8/360 = 0.105% diario n =? fecha =?
(^8) Una tasa del 1.5% mensual equivale a una tasa nominal o tasa anual del 18%.
▶ Ejemplo 16
¿Qué tasa compuesta capitalizable mensualmente le fue cargada a una deuda de $88,500.00, si al cabo de un año y medio fue cancelada pagando la suma de $138,029.80?
SOLUCIÓN: P = $88,500.00 S = $138,029.80 t = 1.5 años j =? m = 12 n = 1.5 ∗ 12 = 18 meses Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene:
j =
▶ Ejemplo 17
¿Cuál sería la tasa de rendimiento anual convertible trimestralmente que obtendría un inversionista si deposita $370,900.00 con la garantía de que en 15 meses alcanzaría la suma de $442,645.00?
SOLUCIÓN: P = $370,900.00 S = $442,645.00 t = 15 meses
j =? m = 4 n 4 5 trimestres
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene:
j =
▶ Ejemplo 18
¿A qué tasa compuesta convertible semanalmente se aumenta en un 40% una inversión realizada a 2 años de plazo?
SOLUCIÓN:
P = $100.00 ( V ALOR ASUMIDO. P ODEMOS ASUMIR CUALQUIER VALOR PARA “P” )
S = 100 (1 + 0.40) = $140.00 t = 2 años j =? m = 52 n = 2 ∗ 52 = 104 semanas
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene:
j =
5. EQUIVALENCIA ENTRE TASA DE INTERÉS SIMPLE Y
TASA DE INTERÉS COMPUESTO
Se dice que una tasa de interés simple y una tasa de interés compuesto son equivalentes si al invertir dos capitales iguales, uno de ellos a la tasa de interés simple y el otro a la tasa de interés compuesto, alcanzan igual monto al cabo del mismo periodo de tiempo.
Si se invierte un capital " P "a una tasa de interés simple anual " i (^) s " y por un tiempo (en años) " t ", el monto " S (^) s "resultante se obtiene mediante la fórmula: S (^) s = P ( 1 + ist ) ( A )
Por otro lado, si se invierte el mismo capital " P " a una tasa anual " j " capitalizable " m " veces por año, es
decir, a una tasa de interés por periodo " i "( i = jm ), por un número de periodos " n "[ n = t ( años ) ∗ m ], el monto " Sc "
alcanzado se obtiene mediante la fórmula:
n S (^) c = P ( 1 + i ) ( B )
Igualando ( A )y ( B ), se tiene: n P ( 1 + is t )= P ( 1 + i ) ( C )
Dividiendo ambos miembros entre " P "y despejando a " i (^) s ", se obtiene la fórmula que permite hallar una tasa de
interés simple anual equivalente a una tasa de interés compuesto conocida:
t
i
i
n s
[ ( 1 + ) − 1 ]
= [15]
Igualmente si en la igualdad ( C ) se dividen ambos miembros entre " P " y se despeja la tasa de interés por
periodo " i ", se obtiene la fórmula (^) i = n^ ( 1 + is t )− 1
Luego, la tasa de interés compuesto " j " equivalente a una tasa de interés simple conocida se obtiene al
multiplicar el valor obtenido de “i” por la frecuencia de capitalización “m”:
j = m [ n^ ( 1 + is t )− 1 ] [16]
▶ Ejemplo 19
¿Qué tasa de interés simple anual es equivalente al 11.2% anual convertible trimestralmente para un plazo de 5 años?
SOLUCIÓN: j = 11.2% m = 4 i = 11.2/4 = 2.8% trimestral t = 5 años n = 5 ∗ 4 = 20 trimestres is =?
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se obtiene:
[ ( 1 0. 028 ) 1 ]
20
is =
▶ Ejemplo 21
¿Cuál es la tasa anual capitalizable trimestralmente equivalente al 22% anual capitalizable mensualmente? SOLUCIÓN: J 2 = 22% m 2 = 12 j 1 =? m 1 = 4 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se obtiene:
( 124 )
j = +
▶ Ejemplo 22
¿Cuál es la tasa compuesta capitalizable anualmente equivalente al 27% compuesto convertible quincenal? SOLUCIÓN: J 2 = 27% m 2 = 24 j 1 =? m 1 = 1
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se obtiene:
1 0. 30799 30. 7991 % 24
- 27 1 1
( 241 ) 1 = = ⎥
⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟ − ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ j = +
▶ Ejemplo 23
¿Qué es más productivo: invertir al 32% anual convertible semanal o al 33% anual capitalizable cuatrimestral? SOLUCIÓN: Para hacer la comparación se debieran tener las 2 tasas expresadas con la misma frecuencia (se usará capitalización semanal, aunque se puede usar cualquier otra frecuencia). Como la primera está por semana, sólo resta hallar la tasa anual capitalizable semanalmente equivalente a la segunda:
J 2 = 33% m 2 = 3 j 1 =? m 1 = 52
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se obtiene
( 352 )
j = + < 32 %
R ESP .: Es más productivo invertir al 32% anual convertible semanal.
7. TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS
EFECTIVA
La tasa anual, independientemente de su frecuencia de capitalización " m ", se conoce como tasa nominal " j ".
La tasa nominal no refleja directamente la realidad en cuanto a los intereses generados anualmente por un capital, en vista de que, para realizar cálculos a interés compuesto, en vez de usar la tasa nominal, se trabaja con una tasa de interés por periodo de capitalización o tasa efectiva por periodo de capitalización " i "( i = jm ), designada de esta forma
porque es la que realmente actúa sobre el capital, mostrando el verdadero interés generado al final de cada periodo establecido. La tasa efectiva por periodo de capitalización "^ i^ " usualmente se expresa mediante un número (en %)
seguido del periodo de capitalización de los intereses; por ejemplo: 2% mensual, 5% cuatrimestral, 9% semestral o 24% anual.
Una tasa anual muy utilizada por los inversionistas al momento de decidir la colocación de sus capitales es la llamada tasa efectiva o tasa efectiva anual " je "^11 , la cual se refiere a la tasa efectivamente ganada o pagada en un
año. Por ejemplo, la tasa de interés del 27% compuesto convertible quincenal es equivalente a un 30.7991% compuesto anual, es decir, a una tasa efectiva del 30.7991%, tal como se vio en el Ejemplo 22. Sobre ese particular, se debe precisar que, en general, la tasa efectiva " je "será mayor que lo expresado por la tasa nominal " j "capitalizable " m "
veces al año, siempre que “m > 1”, y será exactamente igual a la tasa nominal si “m = 1”, es decir cuando la tasa nominal sea capitalizada anualmente.
La relación entre las tasas nominal y efectiva se puede manejar con la fórmula [17], es decir, con la expresión usada para el cálculo de tasas equivalentes, siempre y cuando " j (^) 2 " represente la tasa conocida y " j 1 " o " j (^) e " la
tasa equivalente (nominal o efectiva) a encontrar. Por ejemplo, veamos a continuación los dos casos posibles:
- Si se conoce una tasa efectiva (ésta se identificaría con " j (^) 2 " y " m 2 " sería igual a 1) y se desea obtener
una tasa nominal (ésta se identificaría con " j 1 " y " m 1 "sería su frecuencia de capitalización), el caso se resuelve
directamente aplicando la fórmula [17]; y
- Si se conoce una tasa nominal (ésta se identificaría con " j (^) 2 " y " m (^) 2 "sería su frecuencia de capitalización) y
se desea obtener una tasa efectiva (ésta se identificaría con " j (^) e "^12 y " m (^) 1 " sería igual a 1), el caso se resuelve
aplicando la fórmula [17], o bien con la expresión simplificada que resulta de ésta, al considerar que se va a encontrar una tasa equivalente (efectiva) con una frecuencia de capitalización " m 1 (^) = 1 ":
1 1
2
2
2 ⎟⎟ − ⎠
⎞ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ = +
m
e m
j j (^) [18]
▶ Ejemplo 24
¿Cuál es la tasa efectiva equivalente al 23.7% anual capitalizable trimestralmente? SOLUCIÓN: J 2 = 23.7% m 2 = 4 je =?
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se obtiene :
1 0. 258908 25. 8908 % 4
- 237 1
4 ⎟ − =^ = ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ je = +
(^11) De la tasa efectiva anual o rendimiento anual efectivo también puede decirse que es la tasa de interés simple que produce el mismo monto en un
año que la tasa nominal capitalizada “m” veces al año. (^12) Al hallar una tasa “ j 1 ” con una frecuencia m^1 =1, es decir, una tasa efectiva, se cambia el subíndice “^ 1” por “^ e^ ” y se representa con “^ j^ e”.
3) O PCIÓN “c”
(^0 4 ) meses
i = 18% m=
VCEc $5,000 (^) $3,
VCE c = 5 , 000 ( 1 + 0. 015 )−^4 + 3 , 500 ( 1 + 0. 015 )−^10 =$ 7 , 726. 76
R ESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debería elegir la OPCIÓN “b” por involucrar la erogación de menor cuantía.
▶ Ejemplo 27
¿Qué forma de pago de las señaladas a continuación es más conveniente para el comprador de un solar, si el rendimiento del dinero es de un 36% nominal mensual?
a) $890,000.00 de contado. b) 3 pagos trimestrales iguales de $334,300.00 comenzando inmediatamente. c) $200,000.00 de inicial y 3 pagos semestrales iguales de $280,000.00 comenzando en 2 meses.
SOLUCIÓN:
Las 3 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Se obtiene el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equivalente (VCE) correspondiente a cada opción, procediéndose luego a seleccionar la que arroje la menor erogación.
1) O PCIÓN “a”
(^0) meses
j =36% m=
VC a $890,
VC a = $890,000.00 – » Este valor permanece igual.
2) O PCIÓN “b”
(^0 3 ) meses
j = 36% m=
VCE b
$334,300 (^) $334,300 $334,
VCE b = 334 , 300 + 334 , 300 ( 1 + 0. 03 )−^3 + 334 , 300 ( 1 + 0. 03 )−^6 =$ 920 , 202. 84
3) O PCIÓN “c”
(^0 2 ) meses
j = 36% m=
VCEc
$200,
8
$280,000 $280,000 $280,
VCE c = 200 , 000 + 280 , 000 ( 1 + 0. 03 )−^2 + 280 , 000 ( 1 + 0. 03 )−^8 + 280 , 000 ( 1 + 0. 03 )−^14 =$ 870 , 074. 43
R ESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debería elegir la OPCIÓN “c” por involucrar la erogación de menor cuantía.
▶ Ejemplo 28
¿Qué resulta más rentable: efectuar un depósito en un certificado financiero que abona el 17.8% compuesto quincenal o invertir en un negocio que garantiza que la suma invertida se duplique en 4 años?
SOLUCIÓN: La elección se puede efectuar, o comparando tasas de rendimiento o comparando montos. Este ejemplo será resuelto con los 2 criterios.
1. Comparando tasas:
O PCIÓN “a” – » ja = 17.8% m (^) a = 24 O PCIÓN “b” – » Se calcula la tasa que garantizaría que se duplique la inversión jb =? mb = 24 n = 4 ∗ 24 = 96 P = $100.00 S= 2(100)=$200.
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene:
jb =
R ESPUESTA : Al comparar las dos tasas, se concluye en que se debería invertir en el certificado financiero, toda vez que en éste, el rendimiento del dinero sería mayor que si se invirtiera en el negocio (17.8% > 17.39%).
2. Comparando montos:
Para efectuar la comparación, se trabaja con el tiempo de 4 años y se asume una suma a invertir, por ejemplo de: P = $10,000.00. Luego para:
OPCIÓN “a” – » Se sustituyen los valores conocidos en la fórmula [6], resultando:
Sa = 10 , 000 ( 1 + 0. 17824 )^96 =$ 20 , 327. 16
O PCIÓN “b” – » Como se estipula que la inversión su duplicará, el monto resultante al cabo de los 4 años sería:
Sb = 10 , 000 ( 2 )=$ 20 , 000. 00
R ESPUESTA : Al comparar los dos montos, se concluye en que se debería invertir en el certificado financiero, toda vez que en éste, el monto alcanzado sería mayor que si el dinero se invirtiera en el negocio ($20,327.16 > $20,000.00).
▶ Ejemplo 30
Maquinarias Pesadas, S.R.L., recibió un pagaré (como parte del pago de unos equipos vendidos) por $104,000.00 con intereses al 27.6% anual convertible quincenal y vencimiento en año y medio. A fin de obtener efectivo, ocho meses antes del vencimiento del pagaré, dicha firma lo descuenta en un banco en base a una tasa del 5% bimestral. Determine el descuento racional compuesto y el valor efectivo del pagaré.
0
j = 27.6% m =
S $104,000 (^) i = 1.15%
18 m. =1.5 años
P d =? 8 m.
P = i = 5% m = 6
10 m. 18 m.
SOLUCIÓN:
P = $104,000.00 j = 27.6% m = 24 i = 27.6 / 24 = 1.15% quincenal t = 1.5 años n = 1.5 ∗ 24 = 36 quincenas S =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene el valor al vencimiento del pagaré:
S = 104 , 000 ( 1 + 0. 0115 )^36 =$ 156 , 965. 89
Para la operación del descuento del pagaré, se tiene: S = $156,965.89 i = 5% bimestral m = 6 t = 8 m. n = 4 bimestres Dr =? Pd =?
Luego, sustituyendo los valores conocidos en las fórmulas [23] y [21], se tienen el valor del descuento racional compuesto y el valor efectivo del pagaré:
D r = 156 , 965. 89 [ 1 −( 1 + 0. 05 )−^4 ]=$ 27 , 829. 66
Pd = 156 , 965. 89 − 27 , 829. 66 =$ 129 , 136. 23
▶ Ejemplo 31
Un pagaré cuyo valor dentro de 180 días es de $312,500.00, se adquiere hoy por $257,323.00. ¿Con qué tasa de interés anual convertible semanalmente se descontó el pagaré?
SOLUCIÓN: S = $312,500.00 P d = $257,323.00 j =? m = 52 t = 180 días = 0.5 años n = 0.5 ∗ 52 = 26 semanas
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene la tasa de interés buscada:
j =
▶ Ejemplo 32
Un pagaré se firmó por un valor de $175,000.00 a una tasa anual capitalizada mensualmente y vencimiento en 10 meses. Si a los 7 meses de firmado, el pagaré se descontó en base a un 27% anual convertible diariamente, provocando un descuento racional compuesto ascendente a $14,125.15, determine: a) El valor líiquido del pagaré y b) La tasa anual capitalizada mensualmente que devengaba el pagaré.
0
Tasa Devengada j =? m =
S $175,
i = 0.075% n = 90
t =10 m. n =
3 m.
P d =? Valor Líquido
P =
j =27% m = 360
7 m. 10 m.
Dr =$14,125.
SOLUCIÓN:
a) Para la operación del descuento del pagaré, se tiene:
D r = $14,125.15 j = 27% m = 360 i = 27/360 = 0.075% t = 3 meses n = 3/12 ∗ 360 = 90 días S =? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [24], se obtiene el valor al vencimiento del pagaré:
[ 1 ( 1 0. 00075 ) ]
S = − + − 90 =
Conocidos los valores de “ S ” y “ Dr “, se obtiene a “ P d ” mediante la fórmula [21]:
Pd = 216 , 481. 94 − 14 , 125. 15 =$ 216 , 481. 94
b) Para la deuda sustentada por el pagaré (tramo superior del diagrama), se tiene:
P = $175,000.00 S = $216,481.94 t = n = 10 meses j =? m =
Luego, sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se obtiene la tasa de interés pedida:
1 0. 2580 25. 80 % 175 , 000. 00
216 , 481. 94 12 10 = = ⎥
⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟− ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ j =
